愛華網(wǎng)（項目負責人填寫）
工作單位： 昆陽二中
項目名稱
集體備課
項目負責人
施少婷
活動時間
6月1日
活動地點
物理實驗室（二）
活動主題
三角形中位線
主講人
陳笑霆
參加對象
八年級數(shù)學備課組
申請學時
參加者1學時，主講人2學時
活動內容
及進程
6月1日八年級數(shù)學備課組全體教師集中在物理實驗室（二）進行本學期的第四次集體備課。由施陳笑霆老師主備，全體八年級備課組數(shù)學教師共同參與備課。
集體備課時圍繞著教學重點： 為便于同學對定理能更好的掌握和應用三角形中位線，可引導學生分析三角形中位線定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關系，在應用時可根據(jù)需要來選用其中的結論（也可以單獨用其中結論）
重點難點分析
重點
重點是三角形的中位線定理。
難點
三角形的中位線定理的證明，因為其中添加輔助線的方法和思想學生比易掌握，是本節(jié)教學的難點。
學情分析
難點突破:教學預設
設 計 意 圖
引導學生概括出中位線的概念：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用。三角形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數(shù)量關系，
為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路。
教案
課題
5.6 三角形的中位線
教學目標
1、了解三角形的中位線的概念；
2、了解三角形的中位線的性質“三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”和定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”；
3、能應用三角形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的計算能力；
4、通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力。
重點難點
重點是三角形的中位線定理。三角形的中位線定理的證明，因為其中添加輔助線的方法和思想學生比易掌握，是本節(jié)教學的難點。
教學
設想
結合教材編寫思路，首先要創(chuàng)造性使用教材中的問題情景，把教材中不動的問題情景轉化為學生互動的問題情景，使學生在互動中去感受。而有關的一些知識，都是在教師的引導下，經(jīng)過學生充分的思考、討論，并結合大量特例，由學生自己歸納、總結發(fā)現(xiàn)。此外，還要根據(jù)實際情況，對不同的學生進行有針對性的指導，使不同的學生都有發(fā)展，真正把課堂還給學生，使學生真正地變?yōu)檎n堂學習的主人，老師只是學生學習的引導者和組織者。
教 學 流 程 設 計
課前預習
教 學 過 程
備 注
一、創(chuàng)設情境，引入新課
情境1、如圖，為了測量一個池塘的寬BC，在池塘一側的平地上選一點A，再分別找出線段AB、AC的中點D、E，若測出DE的長，就可以求出池塘的寬BC，你知道這是為什么嗎？
情境2、如圖，如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點，AM、CN分別交BD于點E、F，證明BE=EF=FD。
首先要讓學生敘述上述兩個問題的類似之處：在三角形中都有兩邊的中點（隱含三角形的中位線）。在讓學生口述清凈2中問題的證明思路。在這里，只需要分析思路即可：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等。如要證BE=EF=FD，只要BE=EF和EF=FD即可。因此要首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后結合定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”證出。（在后面補充介紹）。
二、合作學習，發(fā)展能力：
2、動手操作：剪一刀，將一張三角形紙片剪成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰?br />
（1）如果要求剪得的兩張紙片能拼成平行的四邊形，剪痕的位置有什么要求？
（2）要把所剪得的兩個圖形拼成一個平行四邊形，可將其中的三角形做怎樣的圖形變換？
3、引導學生概括出中位線的概念：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用。三角形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數(shù)量關系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路。）
問題：（1）三角形有幾條中位線？（2）三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？
——啟發(fā)學生得出：三角形的中位線的兩端點都是三角形邊的中點，而三角形中線只有一個端點是邊中點，另一端點上三角形的一個頂點。并結合三角形中線的定義，讓學生明確兩者區(qū)別，可做一練習，在⊿ABC中，畫出中線、中位線
4、猜想：DE與BC的關系？（位置關系與數(shù)量關系）
三、師生互動，探究新知
1、證明你的猜想（引導學生寫出已知，求證，并啟發(fā)分析）
已知：⊿ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DEBC。
啟發(fā)1：證明直線平行的方法有哪些？（由角的相等或互補得出平行，由平行四邊形得出平行等）
啟發(fā)2：證明線段的倍分的方法有哪些？（截長或補短）
學生分小組討論，教師巡回指導，經(jīng)過分析后，師生共同完成推理過程，板書證明過程，強調有其他證法。
證明：如圖，以點E為旋轉中心，把⊿ADE繞點E，按順時針方向旋轉180゜，得到⊿CFE，則D，E，F(xiàn)同在一直線上，DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE。
∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴AB∥CF。又∵BD=AD=CF，∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴DF∥BC（根據(jù)什么？），∴DEBC。
2、進行題后小結：
對于一些沒能直接進行證明的問題，我們通常采用的思想是將它轉化為我們熟悉的圖形，如上面的證明方法，就是將三角形的中位線（新知識）轉化為平行四邊形和全等三角形（舊知識），進行證明的，當然這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線?？梢砸龑W生用不同的方法來證明以活躍學生的思維，開闊學生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力。但也應指出，當一個命題有多種證明方法時，要選用比較簡捷的方法證明。如右圖中的輔助線等。我們可以發(fā)現(xiàn)：主要思路還是進行適當?shù)霓D化。
l）延長DE到F，使EF=DE，連結CF，由△ADE≌△CFE，可得ADFC。
（2）延長DE到F，使EF=DE，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得ADFC。
（3）過點C作CF∥AB，與DE延長線交于F，通過證△ADE≌△CFE，可得ADFC。
3、啟發(fā)學生歸納定理，并用文字語言表達：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半——三角形中位線定理。
為便于同學對定理能更好的掌握和應用，可引導學生分析三角形中位線定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關系，在應用時可根據(jù)需要來選用其中的結論（也 可以單獨用其中結論）。
四、學以致用、落實新知
1、練一練：已知三角形邊長分別為6、8、10，順次連結各邊中點所得的三角形周長是多少？
2、想一想：如果⊿ABC的三邊長分別為a、b、c，AB、BC、AC各邊中點分別為D、E、F，則⊿DEF的周長是多少？
例1、已知：如圖ΔABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點
（1）指出圖中有幾個平行四邊形
（2）圖中與ΔDEF全等的三角形有哪幾個
（3）若AB=10cm，AC=6cm,則四邊形ADFE的周長為______cm
（4）若ΔABC周長為6cm,面積為12cm2,則ΔDEF的周長是 _____cm,面積是_____cm
例2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。
因為已知點分別是四邊形各邊中點，如果連結對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對邊的關系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形。若學生在此時一時間找不到思路，則可進行如下的啟發(fā)：
啟發(fā)1：由E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，你會聯(lián)想到什么圖形？
啟發(fā)2：要使EF成為三角的中位線，應如何添加輔助線？應用三角形的中位線定理，能得到什么？你能得出EF∥GH嗎？為什么？
證明：如圖，連接AC。∵EF是⊿ABC的中位線，
∴EFAC（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊一半）。同理，HGAC?！郋FHG。∴四邊形EFGH是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
挑戰(zhàn)：順次連結上題中，所得到的四邊形EFGH四邊中點得到一個四邊形，繼續(xù)作下去……你能得出什么結論？
五、學生練習，鞏固新知
1、請回答引例中的問題（1）
2、如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M，N，P分別是AD，BC， BD的中點。求證：∠PNM=∠PMN。
3、拓展：如圖，已知：在四邊形ABCD中，AD、BC不平行，E、F分別是AB、CD的中點。求證：EF<（AD+BC）
分析：考慮到三角形任意兩邊之和大于第三邊，我們可以把AD、BC或EF轉到一個三角形之中，也可能與中點E、F構成相關的中位線，從而達到解題的目的。
證明：連結BD，取BD中點為O，連結OE，OF，
∵ E為DC中點，O為BD中點，∴ OE=BC。同理可證：OF=AD。
而在△OEF中，OE+OF>EF，∴BC+AD>EF，即EF<（AD+BC）
說明：構造中位線的方法如能恰當使用，能使證題走上捷徑.
說明選題角度：
主要側重兩點：一、有助于訓練學生思維；二、有助于學生參與
典型例題
例、如圖，已知：在中，D、E、F分別為BC、AD和AB的中點，已知的周長為.求：的周長.
分析：由于D、E、F分別是三角形三邊的中點，所以DE、DF、EF都是的中位線.那么根據(jù)三角形的中位線的性質，可知它們的長度分別為第三邊的一半，所以的周長為的一半.
解答：∵D、E是BC和CA的中點， ∴DE是的中位線，
∴. 同理，.
∴
∴的周長為.
說明三角形的中位線是連結三角形兩邊中點的線段，它不同于三角形的中線，要分清楚三角形的中位線和中線的區(qū)別和聯(lián)系．那么三角形的中位線定理提供了三角形中的線段的關系，解題時要注意運用這一關系．
六、小結回顧，反思提高
1、三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別。
2、三角形中位線定理及證明思路。
七、作業(yè)布置：
已知: 如圖,DE,EF是⊿ABC的兩條中位線.求證:四邊形BFED是平行四邊形.
如圖,DE是⊿ABC的中位線,AF是BC邊上的中線,DE和AF交于點O.求證:DE與AF互相平分。
（1）在本次集體備課中，大家覺得中位線定理的證明是難點，因為其中添加輔助線的方法和思想學生不易掌握。很多老師提出不采用課本的證明方法。
教后隨筆
猜想DE與BC的關系？（位置關系與數(shù)量關系）
很多學生只想到位置的關系，而沒想到數(shù)量的關系。
活動反思
與建議
對于三角形的中位線的特殊的證明方法和結論的特殊性的教學各位八年級數(shù)學老師都提出了自己的想法，取長補短，效果顯著。
過程確認
科研處負責人簽字：陳建華
