子集，是對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也說集合A是集合B的子集。如B包含A，說明A是B的子集；或如A包含于B，也說明A是B的子集。如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，而集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則稱集合A是集合B的真子集。空集是任何集合的子集。任何一個(gè)集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集。

子集_子集 -定義

子集_子集 -性質(zhì)

子集_子集 -舉例說明

任何一個(gè)正偶數(shù)都是自然數(shù)。就是說，正偶數(shù)集E的任何一個(gè)元素都是自然數(shù)集N的一個(gè)元素。
對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。
記作：A?B
讀作“A含于B”（或B包含A）。例如，上述的如果A是B的子集，但A中至少有一個(gè)元素不屬于B，那么A就是B的真子集，可記作
讀作“A不含于B”（或“B不包含A”）。

子集_子集 -分類

命題1：空集是任意集合的子集。

證明：給定任意集合A，要證明Φ是A的子集。這要求給出所有Φ的元素是A的元素；但是，Φ沒有元素。
對(duì)有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家們來說，推論"Φ沒有元素，所以Φ的所有元素是A的元素"是顯然的；但對(duì)初學(xué)者來說，有些麻煩。因?yàn)棣禌]有任何元素，如何使"這些元素"成為別的集合的元素？換一種思維將有所幫助。
為了證明Φ不是A的子集，必須找到一個(gè)元素，屬于Φ，但不屬于A。因?yàn)棣禌]有元素，所以這是不可能的。因此Φ一定是A的子集。這個(gè)命題說明：包含是一種偏序關(guān)系。

命題2：若A，B，C是集合，則：
自反性:A?A
反對(duì)稱性:A?B且B?A當(dāng)且僅當(dāng)A=B
傳遞性:若A?B且B?C則A?C
這個(gè)命題說明：對(duì)任意集合S，S的冪集按包含排序是一個(gè)有界格，與上述命題相結(jié)合，則它是一個(gè)布爾代數(shù)。

命題3：若A，B，C是集合S的子集，則：
存在一個(gè)最小元和一個(gè)最大元：Φ?A?S(thatΦ?AisProposition1above.)
存在并運(yùn)算:A?A∪B若A?C且B?C則A∪B?C
存在交運(yùn)算:A∩B?A若C?A且C?B則C?A∩B
這個(gè)命題說明：表述"A?B"和其他使用并集，交集和補(bǔ)集的表述是等價(jià)的，即包含關(guān)系在公理體系中是多余的。

命題4:對(duì)任意兩個(gè)集合A和B，下列表述等價(jià)：A?BA∩B=AA∪B=BA?B=B′?A′

子集_子集 -注意問題

談起子集，特別要注意的是空集，記住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集。然后要知道，如果一個(gè)集合的元素有n個(gè)，那么它的子集有2的n次方個(gè)（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方減1個(gè)，真子集有2的n次方減1個(gè)，非空真子集有2的n次方減2個(gè)。

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