愛華網(wǎng)做題要在大框架內(nèi)思考！由于不同的定理功能作用不同，故不同題目類型應(yīng)用的定理不同。所有題目都是對(duì)應(yīng)定理的一個(gè)正向敘述。找到定理，找到函數(shù)，找到函數(shù)所需要的那些點(diǎn)，而后順?biāo)浦奂纯伞?/h2>縱向題型總結(jié)
題型一、求二層中值θ的極限
此題型使用導(dǎo)數(shù)定義式、牛頓萊布尼茨公式、拉格朗日中值定理、泰勒中值定理證明。
這里首先講明θ與ξ的不同之處，ξ是定義域內(nèi)(a,b)內(nèi)的某常數(shù)，而θ則表示ξ的位置在所處定義域中的大小程度，其取值范圍是（0，1），是程度中值，是中值ξ的中值，具體關(guān)系為ξ=a+(b-a)θ,故稱為二層中值。
在題目中所求的都是θ的極限值，那么，求此極限的方法有兩種：
1、當(dāng)θ可以直接由其他變量表示的時(shí)候，此題就是一套純粹的求極限題目。
2、當(dāng)θ不可以直接表示的時(shí)候，要通過導(dǎo)數(shù)定義，在拼湊分母乘除抵消的時(shí)候，θ會(huì)在分子上出現(xiàn)。而構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義形式的時(shí)候，需要用到牛頓萊布尼茨公式結(jié)合拉格朗日定理或者泰勒中值定理（有時(shí)候會(huì)基于第一次消元結(jié)果再用一次泰勒）。
下面具體說明。當(dāng)題目待證等式中一邊有一個(gè)或者兩個(gè)積分上限函數(shù)，一邊沒有的時(shí)候，此時(shí)我們首先要去掉積分符號(hào)。此時(shí)要注意兩個(gè)問題，如果有不止一個(gè)積分上限函數(shù)時(shí)，首先要通過換元的方法將兩個(gè)積分式統(tǒng)一，因?yàn)閮蓚€(gè)積分式會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)中值，而這兩個(gè)中值又毫無關(guān)系，故此時(shí)積分要統(tǒng)一。而后，我們知道，去積分號(hào)有兩種方法，一是牛頓萊布尼茨公式，一是積分中值定理。而積分中值定理中明確說明，其中值介于閉區(qū)間之上，這就意味著中值有可能在端點(diǎn)處取得，但我們回頭看看θ，它是在（0,1）開區(qū)間內(nèi)，從而ξ位于（a,b）開區(qū)間內(nèi)，這也照應(yīng)了開頭所說的微分中值定理的中值在開區(qū)間內(nèi)去的內(nèi)容。由此可見，此處去掉積分符號(hào)是絕不可以使用積分中值定理的！要用了牛頓萊布尼茨公式。使用牛頓萊布尼茨公式后，會(huì)出現(xiàn)F(x)-F(a)的情況，此時(shí)順理成章使用拉格朗日中值定理θ自然出現(xiàn)，整理即可得證。而后結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求取極限值。當(dāng)題目條件為n階連續(xù)可導(dǎo)，某處某階導(dǎo)數(shù)不得零，和一個(gè)f(x+h)的函數(shù)式時(shí)，我們知道，此時(shí)就要用泰勒定理結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求解了。這里的泰勒公式不像其他類型題要同時(shí)展開兩次再消元，這里只展開一次，在于所給的等式做消元，得到消元式后，如果是看出是導(dǎo)數(shù)定義式，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義求θ，此時(shí)的泰勒余項(xiàng)是除法除掉的。如果還有瑣碎項(xiàng)，那么將消元式做泰勒展開，在和消元式消元，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義式求θ，此時(shí)的泰勒余項(xiàng)是減法減掉的。有一個(gè)小標(biāo)記，那就是如果題目中明確表明某個(gè)數(shù)不為零，那么它十有八九要成為除數(shù)的。此題型總結(jié)完畢。
題型二、證明函數(shù)在某點(diǎn)的某階導(dǎo)數(shù)等于零（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在性、零點(diǎn)問題）
此題型使用羅爾定理、（泰勒公式）來證明。
這是羅爾定理的主力題型。道理很簡(jiǎn)單，在四個(gè)中值定理中，只有在羅爾定理的結(jié)論明確表示導(dǎo)數(shù)數(shù)值為零，其他定力沒有這么強(qiáng)力的結(jié)論。在這種題型中，題中會(huì)說明自變量在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。中間是關(guān)于某點(diǎn)函數(shù)值的條件。最后證明結(jié)論。仔細(xì)觀察題目特點(diǎn)，我們不禁會(huì)想，這不恰恰就是羅爾定理的敘述順序嗎？閉連開導(dǎo)、兩點(diǎn)函數(shù)值相等。結(jié)論某中值得零。再回頭看看題目信息，閉連開導(dǎo)、某點(diǎn)中值得零都出現(xiàn)了。而兩個(gè)相等的函數(shù)值說的卻是含含糊糊！那么，我們可以說，這種類型題的關(guān)鍵就是依據(jù)題目函數(shù)值那部分條件，判定出在閉區(qū)間內(nèi)有兩點(diǎn)的函數(shù)值相等！接著就順利成章了。所以看到這種題型，我們的目標(biāo)就是找到相等的函數(shù)值。
下面寫一下幾種常見的給出條件的方式和對(duì)應(yīng)對(duì)策。
1、條件直接說一點(diǎn)函數(shù)值大于零，一點(diǎn)函數(shù)值小于零，這時(shí)應(yīng)用閉區(qū)間上函數(shù)零點(diǎn)定理，零點(diǎn)必在其中。
2、條件說某點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)大于零、小于零，這時(shí)我們解讀此條件為左高右低或者左低右高，在利用零點(diǎn)定理，判定零點(diǎn)必在其中。
3、條件說某幾個(gè)函數(shù)值相加得常數(shù)，這時(shí)應(yīng)用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理，判定出其間必有最大值、最小值；再利用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理，判定這幾個(gè)數(shù)的平均值必在其中。
4、條件說某點(diǎn)處函數(shù)取得最值、極值，此時(shí)我們解讀此條件為該處一階導(dǎo)函數(shù)值為零，是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。
此外羅爾定理還可以連續(xù)使用，因?yàn)榻Y(jié)論中的零點(diǎn)可以作為下一次使用中的條件點(diǎn)?？梢钥闯?，使用一次羅爾定理，需要兩個(gè)相等點(diǎn)，那么要證明n階導(dǎo)數(shù)為零的話就需要找到n+1個(gè)相等點(diǎn)，用n此羅爾定理。此題型總結(jié)完畢。
題型三、結(jié)論中只含ξ，不含其它字母，導(dǎo)數(shù)之間相差一階（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在性）——ln法找源函數(shù)
此類題應(yīng)用羅爾中值定理證明。
和這種題型的總思路和題型二一樣，都是正方向應(yīng)用羅爾中值定理證明導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在性。但是比上一類型題復(fù)雜，被作為考試題出現(xiàn)的可能性更大一些。復(fù)雜就復(fù)雜在層次性的問題上。回想一下題型二中條件的敘述方式，閉區(qū)間連續(xù)、開區(qū)間可導(dǎo)，然后是兩個(gè)點(diǎn)的判定信息，直接讓證明某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。本題型仍然是閉區(qū)間連續(xù)、開區(qū)間可導(dǎo)，但是要證明的不是單純的某點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而是相差一階的導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系式。而這個(gè)關(guān)系式正式我們上一個(gè)題型所導(dǎo)論的函數(shù)的展開形式。這不就多了一層嗎？再者，我們?cè)陬}目中只能看到這個(gè)被“夾心”的一層，它本是對(duì)上一層函數(shù)應(yīng)用羅爾定理而得到的。所以要證明這層夾心的正確性，就要找到源頭函數(shù)。這里要用到所謂的“輔助函數(shù)法”了。輔助函數(shù)法的目的就是找到源頭函數(shù)，而后不就回歸題型二了嗎。
構(gòu)建輔助函數(shù)的方法也很單一，只有三步
1、將結(jié)論中的ξ全部改為x
2、利用f'(x)/f(x)=[lnf(x)]'將函數(shù)進(jìn)行還原
3、將函數(shù)合并，ln內(nèi)的函數(shù)即為輔助函數(shù)
其實(shí)輔助函數(shù)是待證函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，用微分方程的知識(shí)找到證函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)也是可以的，只不過題目的內(nèi)容只用ln函數(shù)進(jìn)行還原就足夠了，就沒必要引入微分方程了。找到了原函數(shù)，回到類型二就可以了。另外，如果出題人還想搞復(fù)雜，可能會(huì)把這個(gè)二層函數(shù)拆成和的形式或者是差的形式，當(dāng)我們開到題目中的導(dǎo)數(shù)有三階有二階有一階（321或210）即三個(gè)相差一階的情況時(shí)，我們要將他們合并。在以合并后的整體形式去找源函數(shù)。
現(xiàn)在回到類型二，有了函數(shù)，有了閉區(qū)間上連續(xù)、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的條件，還需要找到兩個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)。類型二中討論的找點(diǎn)方法依然使用，由于原函數(shù)求導(dǎo)后是一個(gè)相對(duì)來說復(fù)雜的函數(shù)，所以題目給等值點(diǎn)的方法也相對(duì)來說多了一點(diǎn)。這里的等值點(diǎn)當(dāng)然是源函數(shù)的等值點(diǎn)，題目可能是直接給源函數(shù)的等值點(diǎn)，也可能給源函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一個(gè)子項(xiàng)，繼續(xù)帶入后后再找到源函數(shù)的等值點(diǎn)。下面把我見過的方法歸納總結(jié)。
1、將所給函數(shù)點(diǎn)直接帶入源函數(shù)
2、先用羅爾定理確定一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，再講此點(diǎn)帶入源函數(shù)。
3、條件為定積分形式，可用積分中值定理找到一個(gè)點(diǎn)，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)為變上限函數(shù)，再用牛頓萊布尼茨公式得到相等的點(diǎn)。
最后，有函數(shù)方程，有兩個(gè)等值點(diǎn)，用羅爾定理即可。本題型總結(jié)完畢。
題型四、結(jié)論中只含ξ，不含其它字母，導(dǎo)數(shù)之間相差多于一階（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在性）——公式法（一般為沒有參數(shù)的某函數(shù)的乘除法）找源函數(shù)
和題型二、三的總思路完全一致，只不過是找源函數(shù)的方法不同，沒有公式，考試不會(huì)有太多的花樣，平常注意積累這類源函數(shù)就可以了。題目的輔助函數(shù)經(jīng)常是兩個(gè)函數(shù)和的形式、積的形式或者是和后積、積后和的形式。這一點(diǎn)值得注意。
題型五、結(jié)論中不僅含ξ，也含其它字母a、b、f(a)、f(b),但是中值和字母無法等式兩邊分離開來（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在性）——找含有參數(shù)的源函數(shù)（一般為含有參數(shù)的函數(shù)的乘除法）
此類題應(yīng)用羅爾中值定理證明。
依然和題型二、三、四的總思路一直，這里比題型四多了一步，那就是出題人將清晰的形式有意打亂，造成了函數(shù)值、自變量值、中值散落一地的狀態(tài)，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)，中值和字母不能分開一邊一套的時(shí)候，我們就知道這仍然是羅爾定理門徒，首先把式子整理出來，化為一個(gè)為零的等式，然后看等式一邊是誰的源函數(shù)，一下就和題型四一樣了。要注意的是積累這種含有參數(shù)的原函數(shù)的形式。此題型總結(jié)完畢。
題型六、結(jié)論中不僅含ξ，也含其它字母a、b、f(a)、f(b),中值和字母分可以等式兩邊離開來（過程變化率必有一值滿足狀態(tài)變化率）
以上二、三、四、五題型均是由羅爾定理的條件和結(jié)論演化而來，分別為最原始型，隱藏源函數(shù)型ln法型、隱含源函數(shù)公式法型、隱藏含參數(shù)源函數(shù)公式法型，下面我們就要開始介紹由拉格朗日定力演化的題型了。
看到題型六我很開心，因?yàn)槌鲱}人是善良的，你看看題型五和題型六是不是很像，差別只不過是字母中值可以分開了。這正好是一個(gè)引領(lǐng)我們從羅爾定理無痕過度到拉格朗日定力的一個(gè)橋梁啊。我們大可回到前文，看看這兩個(gè)定力的區(qū)別在哪里。我在簡(jiǎn)單說，羅爾定理?xiàng)l件為閉連開導(dǎo)兩函數(shù)值相等，結(jié)論為開區(qū)間內(nèi)必有一值，使得此值對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值為零。拉格朗日定力條件畢連開導(dǎo)，結(jié)論為開區(qū)間內(nèi)必有一點(diǎn)值得過程變化率等于狀態(tài)變化率。注意拉格朗日定理相比羅爾定理，條件少了，結(jié)論多了。而少的和多的都是與f（a）、f(b)有關(guān)的東西。定理的本質(zhì)區(qū)別也就是這兩道題型的本質(zhì)區(qū)別，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)值和中值沒有辦法分開來的時(shí)候，說明他們是一個(gè)整體，是一個(gè)整體求導(dǎo)之后而的得到的，并且整體剩下的只有零，整體求導(dǎo)數(shù)后等于零，這當(dāng)然是羅爾定理情況。而如果可以分開，這就意味著對(duì)應(yīng)中值那部分函數(shù)的源函數(shù)求導(dǎo)時(shí)候不得零！也就是說剩下的部分就是拉格朗是結(jié)論中多出的那部分！所以這是拉格朗日型！這就是區(qū)別啊。我們還可以看看這種類型的特點(diǎn)如果不可以分開，和其他羅爾定理習(xí)題一樣，我們可以找到有關(guān)函數(shù)值點(diǎn)的信息，這樣才能找到等值點(diǎn)應(yīng)用羅爾定理，而如果可以分開，那么題目就沒有函數(shù)值點(diǎn)的信息了，因?yàn)槔窭嗜斩Ρ旧淼臈l件不需要等值點(diǎn)。
當(dāng)然我們知道，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的參數(shù)方程形式，即y=f(x)而x=g(t) y=h(t)當(dāng)t提取的中值ξ時(shí)，等式成立，出于除法特性，我們我們此時(shí)必須要強(qiáng)調(diào)處于分母地位的函數(shù)不等于零。題型六的形式也有可能是柯西式的，但本質(zhì)一樣。
最后就是找到源函數(shù)了。注意乘除法方程的導(dǎo)數(shù)形式。此題型總結(jié)完畢。
題型七、含有兩種中值η與ξ
情況一，含有f'(η)、f'(ξ)、ξ、η，但是復(fù)雜程度不同
這種情況應(yīng)用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
這種題目待證的等式是針對(duì)原函數(shù)應(yīng)用柯西中值定理或者拉格朗日中值定理得到的，而由于原函數(shù)是乘函數(shù)或者加函數(shù)或者乘加函數(shù)，加上題目條件，很容易將這種函數(shù)減半成為半函數(shù)，再對(duì)半函數(shù)用拉格朗日中值定理即可得到簡(jiǎn)單形式?？偨Y(jié)為找到原函數(shù)后向右應(yīng)用柯西中值定理向左應(yīng)用拉格朗日中值定理。等號(hào)就會(huì)成立。這里注意一點(diǎn)，柯西中值定理和朗格朗日中值定理、羅爾中值定理不同，不是整體取到而是分子分母分別取導(dǎo)數(shù)。所以這種題的做法是，首先關(guān)注復(fù)雜中值，找到原函數(shù)后向右應(yīng)用柯西中值定理，得到復(fù)雜中值的形式，而后向左應(yīng)用拉格朗日，找到簡(jiǎn)單形式中值。
情況二，含有f'(η)、f'(ξ)、等多個(gè)中值。但是復(fù)雜程度相同。
這種情況應(yīng)用拉格朗日中值定理
毫無疑使用若干次拉格朗日中值定理解決，此時(shí)關(guān)鍵，沒用一次拉格朗日中值定理需要兩個(gè)點(diǎn)，那么兩個(gè)中值至少需要三個(gè)點(diǎn)，此時(shí)找到n+1個(gè)點(diǎn)是結(jié)題的關(guān)鍵了。
題型八、函數(shù)在一點(diǎn)的若干階導(dǎo)數(shù)為非零常數(shù)
這種情況應(yīng)用泰勒中值定理（多次羅爾）
泰勒中值定理有三種形式，條件為“直到n階可導(dǎo)”時(shí)，余項(xiàng)在n-1項(xiàng)后面取，為拉格朗日余項(xiàng)或者皮亞諾余項(xiàng)；條件為“n階連續(xù)可導(dǎo)時(shí)”以上兩余項(xiàng)都可以，同時(shí)也可以將除余項(xiàng)之外的最后一項(xiàng)擴(kuò)展到n項(xiàng)，再加上一個(gè)皮亞諾預(yù)想。但是注意，這三種方式中，只有第一種擁有中值。
而泰勒中值定理應(yīng)用時(shí)，一定是伴隨著消元的，大多情況是列兩個(gè)泰勒定理式子，然后加減消元。這里取點(diǎn)是關(guān)鍵，通常x0點(diǎn)取一階導(dǎo)點(diǎn)或者中點(diǎn)；x取函數(shù)值點(diǎn)或者端點(diǎn)。拆分兩端點(diǎn)，用同一中點(diǎn)表示，消元很方便。
橫向總結(jié)
1．使用零點(diǎn)定理問題的基本格式是“方程f(x)=0（也可能是左右打亂形式）在a,b之間有根”也就是題目中根本沒有涉及導(dǎo)數(shù)。從題目中我們一目了然，應(yīng)當(dāng)是對(duì)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)使用零點(diǎn)定理。應(yīng)當(dāng)注意的是零點(diǎn)定理只能說明零點(diǎn)在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)，當(dāng)要求說明根在某個(gè)閉區(qū)間或者半開半閉區(qū)間內(nèi)時(shí)，需要對(duì)這些端點(diǎn)做例外說明。
2．介值定理問題可以化為零點(diǎn)定理問題，也可以直接說明，如“證明在[a,b]內(nèi)存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說明函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內(nèi)。當(dāng)題目中出現(xiàn)幾個(gè)函數(shù)值的和的形式時(shí)，多使用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理和介值定理將這三個(gè)數(shù)取區(qū)間內(nèi)平均值。還要注意一點(diǎn)是，在閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)四個(gè)定理和微分中值定理四個(gè)定理中，只有介值定理的取值是在閉區(qū)間上（積分中值定理也是），其余的都是在開區(qū)間內(nèi)取中值。
3．用微分中值定理說明的問題中，有兩個(gè)主要特征：含有某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（甚至是高階導(dǎo)數(shù)）、含有中值（也可能有多個(gè)中值）。（1）當(dāng)問題的結(jié)論中出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，肯定是對(duì)某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理；（2）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，使用柯西中值定理，此時(shí)找到函數(shù)是最主要的；（3）當(dāng)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常歸結(jié)為兩種方法，對(duì)低一階的導(dǎo)函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明；（4）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)中值點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點(diǎn)不一樣，需要注意區(qū)間的選擇，兩次使用中值定理的區(qū)間應(yīng)當(dāng)不同；（5）使用微分中值定理的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)，如何選擇區(qū)間。對(duì)此我的體會(huì)是應(yīng)當(dāng)從需要證明的結(jié)論入手，對(duì)結(jié)論進(jìn)行分析。
4．積分中值定理其實(shí)是微分中值定理的推廣，對(duì)變上限函數(shù)使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且?guī)в兄兄档淖C明題時(shí)，一定是對(duì)某個(gè)變上限積分在某點(diǎn)處展開為泰勒展開式或者直接使用積分中值定理。當(dāng)證明結(jié)論中僅有積分與被積函數(shù)本身時(shí)，一般使用積分中值定理；當(dāng)結(jié)論中有積分與被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般需要展開變上限積分為泰勒展開式。
5.可導(dǎo)的階數(shù)不同，方法可能不同，
一階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用中值定理。
二階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。
三階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用泰勒公式。
微分中值定理的條件和結(jié)論都是非常精煉的，我們審題的時(shí)候更是要小心對(duì)比，才能知道只這道題到底使用四個(gè)中哪一個(gè)定理來證明。我總結(jié)了一下蛛絲馬跡，我們需要注意。
1、點(diǎn)很重要！某點(diǎn)自變量值a、b；函數(shù)值f(a)、f(b)、中點(diǎn)f[0.5(a+b)]；導(dǎo)數(shù)值f'(a)、f'(b)；這些變量在條件中還是在待證式中？大于0，等于0，還是小于0？(一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的解讀)
2、函數(shù)可導(dǎo)到幾階？一階？二階？三階？n階？
3、閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)還是某階連續(xù)可導(dǎo)還是沒提連續(xù)直接就僅僅是某階可導(dǎo)？
4、所求共有幾個(gè)中值？f'(η)、f'(ξ)、ξ、η，還是其中哪個(gè)？
5、中值等于0還是非零常數(shù)、參數(shù)？
6、中值的取值范圍有沒有0？開區(qū)間還是閉區(qū)間？
7、有沒有不得0（要當(dāng)除數(shù)），得0（處于隱身狀態(tài)、隨叫隨到）
