記得自己上小學(xué)時,老師就告訴我們:1、2、3、4、......這類數(shù)字,就是自然數(shù)。課本上也是這么說的,當(dāng)然不包括數(shù)字“0”。由此,自然數(shù)中不包括0,在我的腦海里根深蒂固。

然而,許多年后,問題還是出現(xiàn)了。那時,兒子還在上小學(xué),有一天,他指著發(fā)下來的一張數(shù)學(xué)模擬試卷問我,最小的自然數(shù)應(yīng)該填幾,我不假思索地回答:是1。可是第二天,兒子放學(xué)回來后,很委屈地告訴我,我告訴他的答案是錯的,最小的自然數(shù)是0!這怎么可能?!我感到極其驚訝,對我而言,這是常識性的錯誤啊。我當(dāng)時立刻翻閱了兒子的教科書,果然發(fā)現(xiàn)在自然數(shù)的序列里,“0”赫然排在第一位!我先是不相信自己的眼睛,其后,又懷疑是印刷錯誤,最后,我把它歸結(jié)于編教材者的誤人子弟。然而,當(dāng)我最后安靜下來時,又覺得事情可能并不那么簡單。于是,我開始查閱一些相關(guān)的資料,結(jié)果發(fā)現(xiàn),以前的的教科書中,自然數(shù)就是正整數(shù),當(dāng)然沒有0。由華羅庚、蘇步青、吳文俊、谷超豪等數(shù)學(xué)大家任主任編委的中國大百科全書數(shù)學(xué)卷中,在自然數(shù)的集合里,0也是被排除在外的。真正的轉(zhuǎn)折出現(xiàn)在1993年,國家計(jì)量當(dāng)局以規(guī)定的形式,確定“0”也是自然數(shù)。自此,自然數(shù)的集合中,又增添了0這個代表什么都沒有的新成員。
Let me beclear,(呵呵,奧巴馬的口頭禪。坦白地說),我對這一紙行政命令并不心悅誠服。原因就在于“自然”這兩個字。所謂自然的事,一定是有其演變發(fā)展的歷史的。所以,自然的也一定是歷史的。
我們認(rèn)知這個世界,無一例外,都是從一個、兩個孤立的事物開始的,沒有哪個孩子開始學(xué)數(shù)數(shù)是從0開始的。通過不斷的積累,數(shù)得越多,了解得越多,我們學(xué)會了演繹和歸納,我們的思維在向無窮高歌猛進(jìn)很久之后,才慢慢地開始嘗試?yán)斫饷煨『吞摕o。古代中國的十進(jìn)制,太平洋島嶼居民的五進(jìn)制,印第安人的二十進(jìn)制,大都起源于我們用手指或手指、腳趾并用來計(jì)數(shù)。存在決定意識,這才是發(fā)展的“自然”法則。
不同于1、2、3、4。......這些數(shù)字,0的出現(xiàn)要晚得多。關(guān)于0的出現(xiàn),有許多不同的版本,根據(jù)有的故事記載,0最早出現(xiàn)于公元前3世紀(jì),是古巴比倫王國首創(chuàng)的。(但自尼布甲尼撒死后,公元前539年,連新巴比倫業(yè)已被波斯所滅!時間上矛盾啊?。5@是我看到的最早的關(guān)于0的出現(xiàn)的記錄了。我猜想這是可能的,因?yàn)樗吘雇碛谥ブZ的生卒年月,否則,古希臘著名的芝諾二分悖論就不成其為悖論。芝諾的困惑在于,他不知道0的存在,所以,他無法預(yù)知他所給出的2的N次方的倒數(shù)(N為正整數(shù))形成的級數(shù)是有極限的。也有記載表明,0出現(xiàn)于公元后十世紀(jì)的印度和阿拉伯半島。但最確切記載的應(yīng)該是出現(xiàn)在12世紀(jì)的印度,一位叫巴士卡拉的數(shù)學(xué)家明確地提出了0這個數(shù)及其性質(zhì),盡管一些性質(zhì)的闡述是錯誤的。但這無疑是人類認(rèn)識上的一個飛躍。
我最初對0被定義為自然數(shù)不以為然的原因在于,自然數(shù)應(yīng)該具備序數(shù)特征。我們會這樣告訴別人:處理這件事情,第一件要做的事情就是......,而絕不會說第0件事情;主席臺上發(fā)言的人也不會說:今后,我們要落實(shí)好如下幾項(xiàng)工作,第0,......,第一,......,第二,......;同樣,體育競技的優(yōu)勝者,我們會贊美他得了第一名,而不是第0名。
此外,自然數(shù)若以1為起始點(diǎn),后續(xù)數(shù)字的連續(xù)性就有了邏輯上的保障,只要在1的基礎(chǔ)上連續(xù)加上1,我們就可以擁有整個自然數(shù)的集合,例如,1=1,2=1+1,3=1+1+1,4=1+1+1+1,......。但如若以0為自然數(shù)的起始點(diǎn),我們就前進(jìn)不了半步:0=0,0+0=0,0+0+0=0,0+0+0+0=0,......,這樣,雖然(N+1)-N=1,(N為大于等于1的正整數(shù)),1-0也等于1,但0與1、2、3、4......之間的邏輯鏈就完全中斷了。
翻看所有的數(shù)論書籍,不管是國內(nèi)的或是國外的,在談及自然數(shù)時,0總是無一例外地被排除在自然數(shù)的序列之外的,或是被禮貌地婉拒,或是被粗暴地踹出。這是由于0的某些奇異的或曰不“自然”的屬性引起的。0最引人注目的禁忌是不能做除數(shù),這犯了動輒研究數(shù)的整除性質(zhì)的數(shù)論的大忌。其次在于,0與任何數(shù)相乘都為0,換句話說,0有無數(shù)個因子,這給研究素?cái)?shù)、合數(shù)帶來極大的困擾。我曾看到這么一則報(bào)道花絮,說的是有些數(shù)學(xué)家,甚至要把2這個數(shù)字逐出素?cái)?shù)的行列,原因很簡單,沒有了2,所有的、無窮無盡的素?cái)?shù)就全都是奇數(shù)了。僅僅因?yàn)橐粋€2,數(shù)學(xué)家們常常不得不用“奇素?cái)?shù)”一詞,來表示除了2以外的全體素?cái)?shù)!焉能不煩?連2這個真真正正、貨真價實(shí)的素?cái)?shù),研究數(shù)論的數(shù)學(xué)家們尚且存有欲除之而后快之心,更遑論硬往自然數(shù)序列里擠的“0”了。
今天,我們許多人認(rèn)為,0是個很自然的數(shù)了,的卻如此?!氨敬芜_(dá)標(biāo)考試,我們班的達(dá)標(biāo)率為0”;“開盤五分鐘之后,該股的成交筆數(shù)為0”,我們當(dāng)然明白,它們表示一個也沒有。但0并不是一個簡單的數(shù)字,相同的0,它背后代表的意義也許大相徑庭。你期末考試考得糟糕,得了個0;我自知自己通不過考試,請了個病假逃考,下學(xué)期再考,我成績單上也是0。但你是實(shí)實(shí)在在得了個鴨蛋,而我的0是代表缺考,沒分,與面子、榮譽(yù)無關(guān)。兩個老婦人,一個命運(yùn)坎坷,子女早夭;另一位終身未嫁,無子無嗣,在人口普查的表格里,表示子女?dāng)?shù)的數(shù)字都是0,但意義絕不相同。
什么樣的0表示實(shí)實(shí)在在的0,什么樣的0代表“無”的意思,這是個有趣的問題,也許它不是數(shù)學(xué)的命題,倒像是個哲學(xué)的命題了。但不管怎么講,我對“0”的“自然”屬性還是深深敬畏的。
隨著康托爾的集合論被不斷地發(fā)展、完善,如今許多大、中學(xué)的數(shù)學(xué)教材都作了較大的變動與更新。進(jìn)化是歷史演進(jìn)的規(guī)律。我只是期盼某些變動能給出合理的理由,讓我們明白它所帶來的益處,而不是一句簡單的“與國際接軌,方便國際交流”,以及一紙命令規(guī)定。
此刻,您若是問我,0是不是自然數(shù)。我的回答將會是果斷和堅(jiān)定不移的:是!盡管其實(shí)多么地心有不甘。不過,平心而論,我并不覺得0的歸屬真有那么重要。誰又能保證,當(dāng)初把正整數(shù)定義為自然數(shù),不是某位國王或皇帝的敕令呢?現(xiàn)時的事物終將會在未來成為歷史的一部分,成為未來的人們視為自然的東西。只要1+1=2不變(當(dāng)然不能是二進(jìn)制),一切其實(shí)照舊。
“通常把正整數(shù)叫自然數(shù)。有點(diǎn)名氣的數(shù)學(xué)家布爾吉巴還把0算作自然數(shù)。在我們的命題里,任何一個數(shù)都不會是0。因?yàn)橐阎鼈儾荒鼙凰財(cái)?shù)p整除。而0可以被任何數(shù)整除。”引自一位俄國數(shù)學(xué)家。當(dāng)然,他的這番話,是在我國計(jì)量部門頒布有關(guān)規(guī)定前說的,不足為據(jù)。呵呵。
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