愛華網(wǎng)任念兵發(fā)表于《數(shù)學(xué)教學(xué)》2014年第11期
筆者參加了第六屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動的上海賽區(qū)的選拔，比賽課題是一種新課型——序言課，包括立體幾何序言和解析幾何序言兩個(gè)課題.筆者通過上海賽區(qū)選拔后，就以《解析幾何序言》的課例參加全國評比.現(xiàn)行的各種版本教材中，都沒有《解析幾何序言》這節(jié)課，筆者想通過自己的教學(xué)設(shè)計(jì)拋磚引玉，就如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)分支序言課求教于方家.
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1.解析幾何的誕生是近代數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑.笛卡兒創(chuàng)造性地提出了兩個(gè)基本觀念──用坐標(biāo)表示點(diǎn)、用方程表示曲線；費(fèi)馬洞察了數(shù)量方法的深遠(yuǎn)意義，用變量代數(shù)來系統(tǒng)研究曲線.笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立解析幾何的原動力是他們對研究幾何問題的普適性方法的追求；把代數(shù)的知識和方法系統(tǒng)地用于研究幾何，不但使代數(shù)、幾何獲得了前所未有的進(jìn)展，而且還使微積分的發(fā)明水到渠成.因此，解析幾何既是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁.
2.解析幾何以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)法為核心，以幾何圖形為研究對象，用代數(shù)方法研究幾何；中學(xué)階段的平面解析幾何與函數(shù)知識緊密聯(lián)系，是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁.
通過解析幾何學(xué)習(xí)，學(xué)生可以將已學(xué)知識融會貫通，把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.同時(shí)，系統(tǒng)地掌握解析幾何的基礎(chǔ)知識，也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
3.作為數(shù)學(xué)分支的起始課，本節(jié)課的定位是：介紹中學(xué)階段平面解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容；介紹解析幾何的核心方法——坐標(biāo)法.以策略性知識為主，構(gòu)建解析幾何的研究框架.
本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：理解利用坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的理論依據(jù)（坐標(biāo)表示點(diǎn)、方程表示曲線）；了解利用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程（翻譯──代數(shù)討論──翻譯）.
二、學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課的學(xué)習(xí)主體為華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二學(xué)生，他們是基礎(chǔ)知識扎實(shí)、思維活躍、敢于創(chuàng)新的學(xué)生群體.
學(xué)生在初中和高一階段已經(jīng)掌握了平面幾何的基本知識（直線、圓、三角形等），具備了一定的演繹推理能力；熟悉平面直角坐標(biāo)系、平面向量和基本初等函數(shù)（變量數(shù)學(xué)）的重要性質(zhì)，具備了一定的分析、轉(zhuǎn)化問題的能力.而解析幾何的本質(zhì)上是點(diǎn)與坐標(biāo)對應(yīng)、曲線與方程對應(yīng)、用代數(shù)方法解決幾何問題，這就要求學(xué)生能夠選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并能熟練地進(jìn)行數(shù)、形轉(zhuǎn)化，這種能力是學(xué)生尚未具備的.
本節(jié)課將通過對一系列問題的剖析，引導(dǎo)學(xué)生體會解析幾何的核心是坐標(biāo)法，初步培養(yǎng)在坐標(biāo)系下數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力.
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：體會平面解析幾何兩大問題“由曲線得方程、由方程研究曲線”中所體現(xiàn)的數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.
三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1． 了解解析幾何的研究對象和中學(xué)階段平面解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容；
2．初步理解解析幾何的研究方法——坐標(biāo)法，具體包括利用坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的理論依據(jù)和利用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程；會運(yùn)用坐標(biāo)法解決典型的幾何問題；
3． 了解解析幾何的發(fā)展史，體會解析幾何的研究意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)解析幾何的興趣.
四、教學(xué)策略分析
1.對本節(jié)課的框架設(shè)計(jì):
是什么——解析幾何的研究對象是什么,研究方法是什么？中學(xué)階段平面解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容是什么？
為什么——為什么要學(xué)習(xí)解析幾何？為什么會產(chǎn)生解析幾何這門學(xué)科？
還有什么——解析幾何創(chuàng)立后給數(shù)學(xué)和科學(xué)研究帶來的意義還有什么？
2.對教學(xué)過程各環(huán)節(jié)的教學(xué)材料分析：
為了具體體現(xiàn)框架設(shè)計(jì)意圖，本節(jié)課以“為什么要用方程表示曲線——什么情況下方程可以表示曲線——如何通過方程研究曲線”為主線來組織教學(xué)材料.
環(huán)節(jié)1：“為什么要用方程表示曲線”.“形缺數(shù)時(shí)難入微”，通過研究“如何判斷點(diǎn)在直線上”這個(gè)幾何問題引出解析幾何的概念和學(xué)習(xí)解析幾何的必要性，第一次回答“是什么”（解析幾何的研究對象是什么？）和“為什么”（為什么要學(xué)習(xí)解析幾何？）.在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)掌握的知識“坐標(biāo)表示點(diǎn)，一次函數(shù)表示直線”是良好的認(rèn)知基礎(chǔ).
環(huán)節(jié)2：“什么情況下方程可以表示曲線”.解析幾何的研究方法是坐標(biāo)法，坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的理論依據(jù)是“坐標(biāo)表示點(diǎn)、方程表示曲線”，“坐標(biāo)表示點(diǎn)”是學(xué)生初中時(shí)就熟悉的，而“方程表示曲線”是需要著力闡述的，但又不能過多嚴(yán)密論證方程的純粹性與完備性，否則沖淡本節(jié)課的主題.圓與圓弧是學(xué)生熟悉的曲線，兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式是學(xué)生熟悉的公式，所以對比這兩個(gè)曲線的代數(shù)關(guān)系式，可以讓學(xué)生體會到“方程表示曲線”的前提是“曲線上的點(diǎn)與方程的解一一對應(yīng)”；而用二元一次方程（一次函數(shù)）表示直線，在學(xué)生的認(rèn)知中已是顯然的事實(shí)，以直線為例反而不易體現(xiàn)“曲線上的點(diǎn)與方程的解”的對應(yīng)關(guān)系.
環(huán)節(jié)3：“如何通過方程研究曲線”.“方程表示曲線”的目的是利用方程研究曲線的性質(zhì)、解決幾何問題.“到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線”是學(xué)生熟悉的幾何結(jié)論，用方程表示這個(gè)軌跡后，通過方程可以發(fā)現(xiàn)軌跡顯然是直線.由此自然地提出問題“到兩定點(diǎn)距離之比為2的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？”，這是學(xué)生未知的軌跡圖形（阿波羅尼斯圓），“用方程表示曲線、通過方程研究曲線”的價(jià)值就呼之欲出了.通過這個(gè)問題可以提煉出坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（用方程表示曲線），用代數(shù)方法研究出代數(shù)結(jié)果，再將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論（通過方程研究曲線性質(zhì)）.這個(gè)過程可以通俗的簡化為“翻譯——代數(shù)討論——翻譯”.環(huán)節(jié)2、3是第二次回答“是什么”（解析幾何的研究方法是什么？）.
最后，通過數(shù)學(xué)史介紹，指出解析幾何的創(chuàng)立是由于實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)家對研究幾何問題普適性方法的追求，第二次回答“為什么”（為什么會產(chǎn)生解析幾何這門學(xué)科？）；順勢介紹中學(xué)階段平面解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容是直線和二次曲線，第三次回答“是什么”（中學(xué)階段平面解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容是什么？）.解析幾何的創(chuàng)立不僅提供了統(tǒng)一處理數(shù)學(xué)問題的工具，還促進(jìn)了微積分的發(fā)明，是數(shù)學(xué)史上的一次劃時(shí)代變革.
3.對教學(xué)方法和手段的分析：
為了激發(fā)學(xué)生的興趣，本節(jié)課通過數(shù)學(xué)游戲和數(shù)學(xué)文化兩大模塊將問題主線“為什么要用方程表示曲線——什么情況下方程可以表示曲線——如何通過方程研究曲線”有機(jī)串聯(lián)起來；不同認(rèn)知基礎(chǔ)的同學(xué)都可以參與到相應(yīng)的游戲環(huán)節(jié)中.通過多媒體和板書結(jié)合，呈現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展過程；通過師生共同探討，對學(xué)生的課堂反饋及時(shí)加以引導(dǎo).
本節(jié)課的教學(xué)手段是多媒體（圖片、動畫等）和板書結(jié)合；教學(xué)方法是師生共同探討.
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1.情景引入，回顧坐標(biāo)
師：假期老師去你家家訪，如何簡捷地描述你家的位置，讓一個(gè)不熟悉上海的人也能準(zhǔn)確地找到你家？
生1：告訴家庭地址（門牌號），如××路××號, ××路與××路交叉口附近.
師：日常生活中我們用門牌號確定建筑位置，數(shù)學(xué)中如何確定平面上點(diǎn)的位置？
生2：用坐標(biāo)，平面上的點(diǎn)和坐標(biāo)一一對應(yīng).
師：用坐標(biāo)，就要有參照系，我們熟悉的是平面直角坐標(biāo)系.
2. 課堂游戲，理解方程
4. 了解歷史，感悟文化
17世紀(jì)，天文學(xué)、力學(xué)等有一系列的新發(fā)現(xiàn).開普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽的運(yùn)動軌道是橢圓；伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的物體是沿著拋物線的軌道運(yùn)動的.因?yàn)樘煳摹⒑胶！④娛拢ū热缗趶椳壽E）等方面的實(shí)際需要，對這些曲線（橢圓、拋物線、雙曲線等）進(jìn)行計(jì)算成了必需（定量研究）.
其實(shí)這些曲線在古希臘時(shí)期就有人研究過（定性研究），但幾乎每一個(gè)問題都需要某種新的、技巧性很強(qiáng)的想法，比如“問題研討”實(shí)際上是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯研究過的問題，后人將該圓稱為阿波羅尼斯圓，該問題的證明就需要一定的技巧.因此，數(shù)學(xué)家們都在追求研究幾何問題的普適性方法.
“時(shí)勢造英雄”！
17世紀(jì)法國的兩位數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)造性地將代數(shù)與幾何結(jié)合起來，創(chuàng)立了解析幾何.解析幾何將點(diǎn)、曲線轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)、方程，從而能夠?qū)崿F(xiàn)代數(shù)運(yùn)算；費(fèi)馬利用斜坐標(biāo)系系統(tǒng)研究了直線和二次曲線的方程和性質(zhì),這些曲線的性質(zhì)也正是中學(xué)階段平面解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容.觀察環(huán)節(jié)3和“問題研討”的解決過程，發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)法處理幾何問題是普適性的方法.解析幾何不僅研究直線和二次曲線，還研究阿基米德螺線等有用、美麗的曲線……
解析幾何的意義不僅限于此，《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》薄薄的一本書的附錄，卻深刻地改變了人類的歷史.解析幾何的發(fā)明促進(jìn)了微積分的發(fā)明，數(shù)學(xué)和科學(xué)的面貌從此發(fā)生了翻天覆地的變化……
