愛華網(wǎng)一、β的定義
β作為描述股票收益水平相對股票市場平均收益水平變動的敏感性因子，有其嚴格的定義。夏普教授根據(jù)投資組合理論以及CAPM模型的假設，通過均值方差坐標平面，將投資股票的收益（以收益率表示）與風險（以收益率的方差表示）之間的關系表示成：
E（ri）= rf + Cov(ri,rM)/σM2[E（rM）-rf] （1）
式中，E（ri）和E（rM）分別為股票i和市場組合M的期望收益；Cov(ri, rM)為股票i和市場組合M期望收益的協(xié)方差；σM2為市場組合M期望收益的方差。令
βi = Cov(ri, rM)/σM2（2）
則有
E（ri） = rf+βi[E（rM）- rf] （3）
式（3）被稱為證券市場線方程，即資本資產(chǎn)定價模型CAPM，它對任意股票或其組合的期望收益與風險之間的關系給出了一種簡潔的結論。即：任意股票或其組合的期望收益由兩部分構成：其一由投資無風險報酬率rf確定，它是對放棄即期消費而進行投資的一種補償；其二由投資的風險報酬率βi[E（rM）- rf]確定，它是對投資需承擔某種不確定性風險的一種補償。
而股票市場中的風險是由兩部分構成，一部分是只與公司股票自身性質有關的特有風險，也稱為非系統(tǒng)性風險；另一部分是公司與整個市場因素有關的市場風險，也稱為系統(tǒng)性風險。非系統(tǒng)性風險在構造股票的投資組合時可以被分散，而市場的系統(tǒng)性風險則不能通過投資組合被分散掉。式（2）即為β的數(shù)學定義，由股票i的收益率和市場組合M的收益率的協(xié)方差與市場組合M收益率的方差的比值表示，用以度量股票所承擔的市場（系統(tǒng)）風險大小。因此，β也被稱為股票的市場風險指數(shù)。
若投資者認為股票已實現(xiàn)的歷史收益能較好地代表其未來，則可以應用統(tǒng)計回歸技術，對直接觀察到的、已實現(xiàn)的歷史收益數(shù)據(jù)，通過單因素線性方程擬合后來表達股票持有期收益，同樣也可以得到一個β值的表達式。
現(xiàn)在我們再來研究另一個股票收益模型。在這一模型中，以E（ri）表示股票持有期的期望收益；以Hi表示假定在股票持有期間不可預測的宏觀（或市場）因素對股票收益的影響，以ei表示假定在股票持有期間不可預測的公司特有因素對股票收益的影響。該股票收益ri的方程為：
ri = E（ri）+Hi +ei（4）
考慮到發(fā)行不同類型股票的企業(yè)對宏觀市場因素有不同的敏感度，可將宏觀市場因素對股票不可預測的影響記為M，將股票i對宏觀因素事件的敏感度記為βi，則股票i所受宏觀因素的影響Hi可表示為Hi=βiM，即式（4）變?yōu)椋?br /> ri = E（ri）+βiM +ei （5）
注意，由于所設定Hi和ei都屬于不可預測因素對股票收益的影響，根據(jù)統(tǒng)計學理論中不可預測因素期望值的定義，其期望值（平均值）為零。式（5）表明股票i的持有期收益的期望值僅隨宏觀市場事件的一個因素βiM的變動而變化。因此，該期望值等式也被稱為單因素模型（single-factormodel）。
倘若我們把股票市場的某種價格指數(shù)、如上證綜合指數(shù)或深證綜合指數(shù)的收益作為宏觀市場因素事件的代表，則可導出股票收益期望值的市場模型（marketmodel），稱為單指數(shù)模型（single-index model）。
已實現(xiàn)的股票收益可以劃分成宏觀（股票市場系統(tǒng)的）的與微觀（上市公司所特有）的兩部分。即有
ri -rf =αi+βi(rM -rf) +ei（6）
式中：
αi 表示當市場超額收益(rM-rf)為零時股票i的收益，即股票i的不規(guī)則收益率的平均值。在均值方差坐標平面中，α即是單指數(shù)方程（式6）的截距。
βi(rM-rf)表示股票i收益中隨整個市場變動的收益部分，其中βi是股票i對市場變動的敏感度。在均值方差坐標平面中，β即是單指數(shù)方程（式6）的斜率。
ei表示上市公司所特有的不可預期收益。
當使用R表示超額收益時，式（6）變?yōu)?br /> Ri=αi +βiRM +ei（7）
可以把股票收益的方差拆分成由宏觀經(jīng)濟因素的不確定性方差，與上市公司特有因素的不確定性方差兩個部分，將市場超額收益rM-rf的方差記為σM2，將ei的方差記為σ2（ei），則由于協(xié)方差Cov(RM，ei)= 0。則股票i超額收益rM-rf的方差為
σi2 =β2iσM2 +σ2（ei）（8）
同理，某兩種股票超額收益Ri和Ri的協(xié)方差，僅與宏觀經(jīng)濟因素RM有關，即某兩個股票的協(xié)方差為
Cov(Ri,Rj) = Cov(βiRM，βjRM)=βiβjσM2（9）
鑒于RM和ei的協(xié)方差等于零，并注意到αi是一個趨于零（但不一定等于零）的常數(shù)，其與所有變量的協(xié)方差也均等于零。則可導出股票i的超額收益與股票市場價格指數(shù)收益的協(xié)方差為：
Cov(Ri,RM)=Cov(βiRM+ei，RM)=βiCov(Ri,RM)+ Cov(ei,RM)=βiσM2（10）
即βi=Cov(Ri,RM)/σM2。
二、β的確定
β是CAPM模型中的一個重要參數(shù)，是對股票市場系統(tǒng)風險度量的一個關鍵因子。在評價風險、資產(chǎn)定價以及對股票投資組合進行分析中，β的確定十分重要。
1、β確定所采用的模型
CAPM模型能根據(jù)股票價格得出股票的“期望收益”。鑒于實際中可以獲取股票已實現(xiàn)的收益，因此可以通過CAPM模型，根據(jù)股票已實現(xiàn)收益進行股票定價和企業(yè)價值評估。
由于式（7）是一個標準的單指數(shù)線性方程，其收益R可利用一定樣本區(qū)間的觀察值進行簡單的統(tǒng)計回歸得到，因此我們可使用直接觀察到的已實現(xiàn)的歷史收益數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到股票的歷史β值，即
β0 =（ΣRiRM-1/nΣRiΣRM）/（ΣR2i -1/n[ΣRi]2） （11）
在β值計算中，資本市場發(fā)達的國家的咨詢機構多使用總收益形式的單指數(shù)方程進行回歸，即：
r =α +βiRM + e (12）
式（12）可替換為：
r-rf=α+β（rM-rf）+ e（13）
將式（13）展開，可以說明總收益與超額收益對β值確定時的影響。
展開式（13）：
r = rf+α+βrM-βrf+ e = α+rf（1-β）+βrM + e（14）
比較計算總收益的式（12）和計算超額收益的式（14），可以發(fā)現(xiàn)，對于一個具體的股票樣本，rf是一個常數(shù)，而這兩個方程rM和e值是相同的。因此，兩個回歸方程中無論是采取總收益的形式、還是采取超額收益的形式，對β值都不會產(chǎn)生實質性的影響。而使用總收益形式的模型可以忽略股票收益的紅利，這可以大大簡化統(tǒng)計方程的數(shù)據(jù)采集和計算的工作量。但應注意的是，式（12）中的α值只是在按周或月為基準的rf（1-β）值較小時，可近似等于超額收益的式（14）中α+rf（1-β）值。當β≠1時，式（12）中的回歸截距（α）不等于式（14）中的α。
rf雖然也在隨時間變化，但rf的方差與市場收益的變動相比是十分微小，也即短期國債利率的實際變動對β的估計值影響極微小。如美國證券市場在通過計算總收益的方程確定β時，短期國債收益率僅占總收益的約0.2%，所以采用總收益方程與超額收益方程確定β時，此變動完全可以忽略。
在計算歷史β值時，市場組合的代替品通常是某股票市場的價格指數(shù)。計算時是式(7)的一種新的形式：
Rit= αi+βitRMT+εit （15）
式中：
Rit = 股票i在t期間的收益率；
RMT = 股票市場組合在t期間的收益率；
αi =股票i的不規(guī)則收益率（不受市場影響的收益部分）；
βi =股票i對市場組合收益率變化的敏感因子（市場風險系數(shù)）；
εit = 零均值隨機誤差項。
式（15）被稱為單指數(shù)的市場模型，即證券市場線（Security marketline）特征方程。使用式（15）可以獲得歷史β值、α值、相關系數(shù)、決定系數(shù)、特性系數(shù)、殘值標準差、β標準差、α標準差、收益率以及收益率標準差等多個統(tǒng)計值。
包含G項股票的投資組合的βp，僅是投資組合中各股票βi值的加權平均，其中的權重就是該單個股票市場價值占投資組合總市場價值的百分比。即
βp = Σwiβi （16）
例如，某投資組合的30%是代碼為600009股票，β=0.57；70%是代碼為6000641股票，β=1.11時，其歷史β值就等于：
30%(0.57)+70%(1.11) = 0.95
2、β值的穩(wěn)定性問題
鑒于股票的收益率是隨市場變化而變化的，因此在對股票的歷史收益數(shù)據(jù)進行回歸擬合時，遇到的最棘手問題是如何保證β值的穩(wěn)定性。影響β值不穩(wěn)定的時間誤差，除了股票收益持有期的時間即統(tǒng)計回歸期的區(qū)間長度之外，還包括股票收益數(shù)據(jù)的時間間隔（如每日、每月還是每季）。如根據(jù)某一股票過去5年的每月收益率擬合回歸方程，則可以采用關于市場指數(shù)和單只股票收益率各60個觀察值。如根據(jù)過去三年的每周收益率擬合回歸方程，則可以采用相應的156個觀察值。如根據(jù)過去一年的每日收益率數(shù)據(jù)擬合回歸方程，得則可以采用240個交易日的觀察值。按照統(tǒng)計學原理，觀察值越多、得到的結果越可靠。但確定β值時，還必須充分揭示股票“即期”風險，即不應使得出的方程曲線“平滑”了風險，或遺漏了風險。因此，在根據(jù)股票收益進行擬合回歸方程時，必須考慮回歸期限和數(shù)據(jù)的取樣單元。
關于回歸期限的長度，許多咨詢分析機構，包括價值在線(Value Line)公司與標準普爾(Standard andPoor抯)公司，在確定β值時一般使用5年的歷史數(shù)據(jù)，而Bloomberg公司使用2年的歷史數(shù)據(jù)確定β值?；貧w期限越長，使用的數(shù)據(jù)越多，回歸的結果應該說越穩(wěn)定。但股票本身的風險特征可能會隨回歸期限的延遲推移而發(fā)生較大的改變。筆者認為，3年的回歸期限既可保持β值有一定的穩(wěn)定性，又能較充分地揭示股票風險的敏感度。
至于回歸方程所使用的數(shù)據(jù)單元，我們可以采用按月、周、日，甚至一天中的某一段時間為單元的收益數(shù)據(jù)。以日或更小的時間單位獲取收益數(shù)據(jù)可以增加觀察值的數(shù)量,但由于某些較短時間單位的股票交易量可能為零或交易價格并沒有反映市場的主體行為，從而導致β值出現(xiàn)失真的情況。如在使用每天收益率來計算某一小型上市公司的β值時，可能會因其股票在某些天內無任何交易而使得出的β值偏低。又如某一股票在某一天的價格下降不是由市場因素導致的，而是因上市公司的特殊原因所導致的（如分紅派息等），這些情況也都可能使使用每天收益率計算某上市公司得出的β值失真。而以周或月作為時間單位進行計算，則能減少這些因素導致的誤差。
研究表明，隨統(tǒng)計時間期限的延長，各單個股票的β值都表現(xiàn)出相當明顯的不穩(wěn)定性，而某一股票組合（如某行業(yè)的股票組合）的β值則相對較為穩(wěn)定。
β值不穩(wěn)定性的另一個重要原因是β涵蓋了多個宏觀經(jīng)濟因素或微觀因素所導致的風險，β作為單一的風險量度出現(xiàn)不穩(wěn)定的可能太大了。如石油價格是系統(tǒng)風險的一個宏觀因素。當石油價格水平變化時，對石油價格敏感的股票都會有所反應。因此，如果要使β值對于預測有真正意義的話，就應不斷對β計值進行適時的調整更新。
β值與股票所在的市場有很大關系。因此，當計算在上海證交所上市的股票β值時，應選用上證所的價格指數(shù)；計算在深圳證交所上市的股票時，則應選用深圳證交所的價格指數(shù)。當成份指數(shù)不能較好地代表市場狀況時，應選用綜合指數(shù)。
3、對歷史β值的調整
由回歸分析得到的β值是否應該加以調整，以消除回歸中可能產(chǎn)生的誤差呢？一些權威股票分析機構公布的β值，大多采用一種β估計值的標準差，將某一股票β值向整體市場β值調整（整體市場的β值一般假設等于1）。MarshallBlume的研究發(fā)現(xiàn)，隨著時間的推移，風險資產(chǎn)投資組合的β值趨于向市場平均值，即β趨于1.0。其經(jīng)濟學解釋是一家上市公司的風險將逐漸趨于所有上市公司的平均風險。他得出的結論是，股票i的β預測值若經(jīng)過以下調整后更為合理和準確：
β2i = a+bβ1i （17）
其中β2i和β1i是時間間隔為若干年的兩個β值，而通過回歸分析可計算出參數(shù)a和b。
美國提供β計算值的兩家主要公司Merill Lynch和Value line都使用這一方法計算未來的β值。
在這一種調整中，β值的標準差越大，調整的幅度就越大。這種調整對于采用每天收益率數(shù)據(jù)計算β值時，效果最為明顯，收益率數(shù)據(jù)時間單位的加長，將使調整效果減弱。
最近的一項研究表明，β的可預測程度與投資時間的長度（持有期）成反比，而與投資組合的規(guī)模成正比，但其結果都需要進行一定的調整。
4、關于基本β值
β是夏普教授市場模型的斜率，其含義是“一個證券的回報率相對市場指數(shù)回報率的敏感性”。在多因素模型里，則有多個β，它們同樣反映的是對不同因素的敏感性。在夏普看來，β是一個統(tǒng)計結果，它為CAMP提供了一個很好的參數(shù)。
以后有許多研究人員對決定β的因素進行了更深入的研究，研究了β與上市公司基本財務因素之間的關系，這些財務因素有紅利支付率、資產(chǎn)增長率等等。
美國紐約大學教授Damodaran則提出β是由上市公司所處的行業(yè)、經(jīng)營杠桿比率和財務杠桿比率三個因素決定的。
如在周期性較強的行業(yè)，上市公司的β就較高。當一家上市公司的經(jīng)營領域涉及多個行業(yè)，那么，其β系數(shù)應該是其所處不同行業(yè)β值的加權平均值，其權重以上市公司在各行業(yè)業(yè)績的市場價值進行衡量。
經(jīng)營杠桿比率通常定義為企業(yè)固定成本占總成本的比例。上市公司的經(jīng)營杠桿比率越高，即固定成本占總成本的比例越高，息稅前凈收益(EBIT)的波動就越大，β值就越高。
財務杠桿比率較高的上市公司其債務利息支出的增加將導致凈收益波動性增大，即在經(jīng)濟繁榮時期收入增長幅度較大，而在經(jīng)濟蕭條時期收益下降幅度也較大。則有：βL=βU[1+(1-t)(D/E)](18)
其中：βL=考慮公司債務后的β值
βU=公司無負債時的β值
t=公司稅率；
D/E=公司付息債務資本市場價值/權益資本市場價值
公司無負債的β由公司所處的行業(yè)和公司的經(jīng)營杠桿比率決定。美國BARRA咨詢公司最新發(fā)布的β基本值由58個變量決定。這些變量被分成13組，BARRA公司稱這些組為風險指數(shù)組（Riskindices）。這些變量中有市場波動性、效果、規(guī)模、交易活動、成長性、收益價格比率、賬面價值價格比率、收益偏差、財務杠桿、國外收入、勞動力密集程度、收益率和最低資本額等等。有證據(jù)表明，根據(jù)基本β值推算的未來β值的結果，優(yōu)于僅根據(jù)歷史β值對未來β值的估計結果。
人們期望使β的測算結果更準確一些，但正如夏普教授所說，根據(jù)不同信息提供者提供的信息、使用不同方法計算的同一股票的β系數(shù)并不相同，也是不足為奇的。這并不意味著這些不同的計算結果就是錯誤的。
三、β系數(shù)在非上市公司企業(yè)價值評估中的應用
β被廣泛地應用于資產(chǎn)定價、股票風險判定、確定投資組合以及股票投資分析等各個方面。對于企業(yè)價值評估師而言，最感興趣的是β值在企業(yè)價值評估中的應用。
通常，β值是由對上市公司股票的市場價格進行回歸統(tǒng)計得到。因此，若將上市公司的β值用于對非上市企業(yè)的價值評估中，需要對上市公司的β值進行相應調整。
1、上市公司未來β值的計算
首先，應注意無論是按照式（11）回歸得出的β值還是從數(shù)據(jù)公司獲取的β值，通常都只是一個β的歷史值，還應根據(jù)此值，按照經(jīng)驗公式
βt=34%K+66%βo (19)
計算未來的預計值。
式中：βt為調整后的β值；K是股票市場組合的平均風險因子，按CAMP的假設，K等于1；βo為所獲得的歷史β值。其調整的經(jīng)濟學含義是，從長遠來看，個體股票的風險是向市場平均風險值回歸的。
在選取所采用的歷史β值時，還應使其時間段盡可能地與所評估企業(yè)所選用的其他參數(shù)一致或相近。β本身的回歸時間段是不相同的，有100周、150周、60個月等等，分別代表了對不同回歸時間段的風險估計，評估師若選用3年期的平均國債收益率作為折現(xiàn)率中的無風險報酬率，則應選用3年期的β值。
2、β的因素性調整
根據(jù)上述Damodaran教授提出的理論，行業(yè)或業(yè)務類型、經(jīng)營杠桿與財務杠桿三個企業(yè)特性因素對β值有著決定性影響。因此在使用可比上市公司的β值計算非上市公司企業(yè)的β值時，需進行調整。其調整過程是，先對可比上市公司的β值進行統(tǒng)計，取其平均值；然后將其可能包括經(jīng)營杠桿，財務杠桿因素的平均β值調整成無杠桿因素的β值，最后根據(jù)所評估企業(yè)所在行業(yè)或業(yè)務與經(jīng)營杠桿財務杠桿的因素，將此無杠桿的β調整為所評估企業(yè)β值。
（1）行業(yè)類型的調整
典型的例子如IT公司與基礎性產(chǎn)業(yè)的風險是不同的，需要進行調整。在所評估企業(yè)只有單一業(yè)務的情況下，應選擇相同業(yè)務類型的上市公司的β值作為所評估企業(yè)β值的計算依據(jù)。對于包含多種經(jīng)營業(yè)務的企業(yè)，可以選擇包含類似多種經(jīng)營業(yè)務上市公司的β值作為計算依據(jù)；或是將所評估企業(yè)不同類型的經(jīng)營業(yè)務分開，按其不同業(yè)務的權重，對可比上市公司的β值數(shù)據(jù)進行加權處理。
?。?）經(jīng)營杠桿的調整
Damodaran教授的得出以下的研究結果
βb=βu/[1+(固定成本/可變成本)]（20）
在上式中，固定成本/可變成本的比值越大，包含經(jīng)營杠桿因素的βb就越小。這可以解釋為什么以石油為主要原料的化工企業(yè)受可變成本原油價格的影響而收益波動大的原因。相反，上游的石油開采業(yè)因具備較大的固定成本/可變成本比而經(jīng)營風險小。但企業(yè)的固定成本與可變成本的數(shù)據(jù)較難取得，導致上式的可操作性不強。一個可替代的方式是以營業(yè)利潤變動率與銷售收入變動率之間的比值作為經(jīng)營杠桿，這與采用固定成本/可變成本比進行調整近似。
?。?）財務杠桿的調整
企業(yè)的資本債務結構被認為是影響β的最主要因素之一。因此，必須按照所評估企業(yè)的資本債務結構，對所選用的可比上市公司β進行調整，即通過式（19）的類似方法進行調整βe=βA[1+(1-t)(D/E)](18)
式中：βe：所評估企業(yè)含財務杠桿因素的β（權益β值）；
βA：可比上市公司的無財務杠桿因素的β（資產(chǎn)β）；
t：所評估企業(yè)適用的所得稅稅率；
D：所評估企業(yè)債務資本的市場價值；
E：所評估企業(yè)權益資本的市場價值。
根據(jù)式（19）得到的β值是企業(yè)總資本中存在債務資本權益（股權）β值。利用式（18），可得出無財務杠桿的因素β值，即βA。最后，將βA和所評估企業(yè)的資本債務結構數(shù)據(jù)代入式（21），即可得到所評估值企業(yè)權益βe值。
從式（21）可知，負債率高的企業(yè)比負債率低的企業(yè)風險大，而對內在價值高于賬面價值的企業(yè)，權益資本的“增值”較大，這就會降低其權益β值，即風險降低。
在式（21）中，較困難的是杠桿比率D/E的確定。由于財務杠桿比率要求D/E應該是市場價值而非賬面價值。而權益資本E往往正是需要根據(jù)其β值求取的未知量。
鑒于這一原因，我們認為在無法獲取所評估企業(yè)負債權益比的情況下，不進行這一調整，也許是較為明智的。這一省略的調整在β值計算中所產(chǎn)生的誤差，在進行與企業(yè)個性風險有關的調整中可以部分地得到抵消。
