愛華網(wǎng)設(shè)
(1)當(dāng)x→a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；
(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)當(dāng)x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再設(shè)
(1)當(dāng)x→∞時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；
(2)當(dāng)|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)當(dāng)x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么
x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：
①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或∞/∞型未定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當(dāng)不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。
②若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。
③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.泰勒公式（Taylor's formula）
泰勒中值定理：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于（x-x.)多項式和一個余項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導(dǎo)數(shù)，不是f(n)與x.的相乘。）
證明 我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有l(wèi)imΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確；于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
來近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設(shè)函數(shù)P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表達式了。設(shè)Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據(jù)柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),這里ξ1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)這里ξ2在ξ1與x.之間；連續(xù)使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，這里ξ在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數(shù)，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般來說展開函數(shù)時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。 麥克勞林展開式 ?。喝艉瘮?shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于x多項式和一個余項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),這里0<θ<1。
證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函數(shù)f(x)且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當(dāng)x.=0時的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)
由于ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。 麥克勞林展開式的應(yīng)用 ?。?br />
1、展開三角函數(shù)y=sinx和y=cosx。
解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期規(guī)律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這里就寫成無窮級數(shù)的形式了。）
類似地，可以展開y=cosx。
2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：對指數(shù)函數(shù)y=e^x運用麥克勞林展開式并舍棄余項：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
當(dāng)x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、歐拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數(shù)單位）
證明：這個公式把復(fù)數(shù)寫為了冪指數(shù)形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數(shù)證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數(shù)函數(shù)e^z，然后把各項中的z寫成ix。由于i的冪周期性，可已把系數(shù)中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩余的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然后讓sinx乘上提出的i，即可導(dǎo)出歐拉公式。有興趣的話可自行證明一下。
泰勒展開式原理 e的發(fā)現(xiàn)始于微分,當(dāng) h 逐漸接近零時,計算 之值,其結(jié)果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發(fā)現(xiàn)此值的人是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數(shù).
計算對數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),得 ,當(dāng) a=e 時, 的導(dǎo)數(shù)為 ,因而有理由使用以 e 為底的對數(shù),這叫作自然對數(shù).
若將指數(shù)函數(shù) ex 作泰勒展開,則得
以 x=1 代入上式得
此級數(shù)收斂迅速,e 近似到小數(shù)點后 40 位的數(shù)值是
將指數(shù)函數(shù) ex 擴大它的定義域到復(fù)數(shù) z=x+yi 時,由
透過這個級數(shù)的計算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函數(shù)的和差角公式等等都可以輕易地導(dǎo)出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我們不僅可以證明 e 是無理數(shù),而且它還是個超越數(shù),即它不是任何一個整系數(shù)多項式的根,這個結(jié)果是 Hermite 在1873年得到的.
甲)差分.
考慮一個離散函數(shù)(即數(shù)列) R,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個函數(shù)書成 或 (un).數(shù)列 u 的差分 還是一個數(shù)列,它在 n 所取的值以定義為
以后我們干脆就把 簡記為
(例):數(shù)列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數(shù)列為 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我們說「數(shù)列」是「定義在離散點上的函數(shù)」如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當(dāng),因為這樣才跟連續(xù)型的函數(shù)具有完全平行的類推.
差分算子的性質(zhì)
(i) [合稱線性]
(ii) (常數(shù)) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列數(shù)列.
(iv) 叫做自然等比數(shù)列.
(iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列(幾何數(shù)列)rn 之差分數(shù)列(即「導(dǎo)函數(shù)」)為 rn(r-1)
(乙).和分
給一個數(shù)列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎么算呢 我們有下面重要的結(jié)果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個數(shù)列 (vn),使得 ,則
和分也具有線性的性質(zhì):
甲)微分
給一個函數(shù) f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導(dǎo)數(shù),記為 f'(x0) 或 Df(x),亦即
若 f 在定義區(qū)域上每一點導(dǎo)數(shù)都存在,則稱 f 為可導(dǎo)微函數(shù).我們稱 為 f 的導(dǎo)函數(shù),而 叫做微分算子.
微分算子的性質(zhì):
(i) [合稱線性]
(ii) (常數(shù)) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列 ax 之導(dǎo)函數(shù)為
(乙)積分.
設(shè) f 為定義在 [a,b] 上的函數(shù),積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割:
;其次對每一小段 [xi-1,xi] 取一個樣本點 ;再求近似和 ;最后再取極限 (讓每一小段的長度都趨近于 0).
若這個極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積.
(事實上,連續(xù)性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
積分算子也具有線性的性質(zhì):
定理2 若 f 為一連續(xù)函數(shù),則 存在.(事實上,連續(xù)性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
定理3 (微積分根本定理) 設(shè) f 為定義在閉區(qū)間 [a,b] 上的連續(xù)函數(shù),我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數(shù) g,使得 g'=f,則
注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣.
我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那么對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.
甲)Taylor展開公式
這分別有離散與連續(xù)的類推.它是數(shù)學(xué)中「逼近」這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的:給一個函數(shù) f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很復(fù)雜而不易對付,于是我們就想法子去找一個較「簡單」的函數(shù) g,使其跟 f 很「靠近」,那么我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現(xiàn).由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清
兩個問題:即如何選取簡單函數(shù)及逼近的尺度.
(一) 對于連續(xù)世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數(shù)作為簡單函數(shù),并且用局部的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點,給一個直到到 n 階都可導(dǎo)微的函數(shù) f,我們要找一個 n 次多項函數(shù) g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式.
g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,于是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當(dāng)f是足夠好的一個函數(shù),即是所謂解析的函數(shù)時,則 f可展成 Taylor 級數(shù),而且這個 Taylor 級數(shù)就等于 f 自身.
值得注意的是,一階 Taylor 展式的特殊情形,此時 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是,我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化「用平直取代彎曲」的精神,是微分學(xué)的精義所在.
利用 Taylor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函數(shù)的極大值與極小值,求積分的近似值,作函數(shù)表(如三角函數(shù)表,對數(shù)表等),這些都是意料中事.事實上,我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」.
復(fù)次我們注意到,我們選取多項函數(shù)作為逼近的簡單函數(shù),理由很簡單:在眾多初等函數(shù)中,如三角函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),多項函數(shù)等,從算術(shù)的觀點來看,以多項函數(shù)最為簡單,因為要計算多項函數(shù)的值,只牽涉到加減乘除四則運算,其它函數(shù)就沒有這么簡單.
當(dāng)然,從別的解析觀點來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數(shù).例如,三角多項式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 Fourier 級數(shù)展開,這在應(yīng)用數(shù)學(xué)上占有舉足輕重的地位.(事實上,Fourier 級數(shù)展開是采用最小方差的逼近尺度,這在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn),而且在統(tǒng)計學(xué)中也有應(yīng)用.)
注:取 x0=0 的特例,此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或變數(shù)代換)就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式.
(二) 對于離散的情形,Taylor 展開就是:
給一個數(shù)列 ,我們要找一個 n 次多項式數(shù)列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指:
答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式.
乙)分部積分公式與Abel分部和分公式的類推
(一) 分部積分公式:
設(shè) u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續(xù),則
(二) Abel分部和分公式:
設(shè)(un),(v)為兩個數(shù)列,令 sn=u1+......+un,則
上面兩個公式分別是萊布尼慈導(dǎo)微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及萊布尼慈差分公式 的結(jié)論.注意到,這兩個萊布尼慈公式,一個很對稱,另一個則不然.
(丁)復(fù)利與連續(xù)復(fù)利 (這也分別是離散與連續(xù)之間的類推)
(一) 復(fù)利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年復(fù)利一次,要問 n 年后的本利和 yn= 顯然這個數(shù)列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根據(jù)(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是復(fù)利的公式.
(二) 若考慮每年復(fù)利 m 次,則 t 年后的本利和應(yīng)為
令 ,就得到連續(xù)復(fù)利的概念,此時本利和為y(t)=y0ert
換句話說,連續(xù)復(fù)利時,t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我們看出離散復(fù)利問題由差分方程來描述,而連續(xù)復(fù)利的問題由微分方程來描述.對于常系數(shù)線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個要點就是疊合原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推.
(戊)Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理(也是離散與連續(xù)之間的類推)
(一) Fubini 重和分定理:給一個兩重指標(biāo)的數(shù)列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對 (ars) 作和 ,則這個和可以這樣求得:光對 r 作和再對 s 作和(反過來亦然).亦即我們有
(二)Fubini 重積分定理:設(shè) f(x,y) 為定義在 上之可積分函數(shù),則
當(dāng)然,變數(shù)再多幾個也都一樣.
(己)Lebesgue 積分的概念
(一) 離散的情形:給一個數(shù)列 (an),我們要估計和 ,Lebesgue 的想法是,不管這堆數(shù)據(jù)指標(biāo)的順序,我們只按數(shù)值的大小來分堆,相同的分在一堆,再從每一堆中取一個數(shù)值,乘以該堆的個數(shù),整個作和起來,這就得到總和.
(二)連續(xù)的情形:給一個函數(shù) f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積.
Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割:
函數(shù)值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 于是 [a,b] 就相應(yīng)分割成 ,取樣本點 ,作近似和
讓影域的分割加細,上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 積分. 余項 泰勒公式的余項f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n階導(dǎo)數(shù)]
泰勒余項可以寫成以下幾種不同的形式：
1.佩亞諾(Peano)余項：
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余項：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)，θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余項：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)，θ∈(0,1)]
5.積分余項：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的積分]/n!
[f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)]
也叫Cauchy中值定理。
設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足是在[a,b]連續(xù)，（a、b）可導(dǎo)，g'(x)≠0(x∈(a,b))
則至少存在一點,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]成立
幾何意義 若令u=f(x),v=g(x)，這個形式可理解為參數(shù)方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]則是連接參數(shù)曲線的端點斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲線上某點處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦，這一點Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了適用y=f(x)表示的曲線，還適用于參數(shù)方程表示的曲線。
當(dāng)柯西中值定理中的g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
證明 令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由羅爾定理知：存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.
又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]
故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0
即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命題得證。
羅爾定理 羅爾定理說明圖片
如果函數(shù)f(x)滿足：
在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；
其中a不等于b；
在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，
那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
羅爾定理的三個已知條件的直觀意義是：f(x)在[a,b]上連續(xù)表明曲線連同端點在內(nèi)是無縫隙的曲線；f(x)在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)表明曲線y=f(x)在每一點處有切線存在；f(a)=f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸.羅爾定理的結(jié)論的直觀意義是：在(a,b)內(nèi)至少能找到一點ξ，使f'(ξ)=0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，也就平行于x軸
