愛華網(wǎng)授課人： 劉 千 海淀區(qū)上地實驗小學
評析人：吳正憲 北京市基教研中心
郭麗軍 海淀區(qū)教師進修學校
（一）指導思想與理論依據(jù)
1．把握學生已有知識經(jīng)驗，讓每一個學生真正參與試驗研究。
學習活動是學生以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎的主動建構(gòu)的過程，教師必須重視學生的生活經(jīng)驗，使學生在已有的知識和經(jīng)驗中學習新知。這堂課我力求以學生的知識經(jīng)驗為基礎，讓更多的學生參與有價值的探究學習，目的是教會學生一種學習的方法，而不是成為一節(jié)好學生的展示課。整節(jié)課注重學生對知識的感悟、體驗的過程，注重絕大多數(shù)學生獲得知識的過程，把握不同學生解決問題的不同策略。如：有些學生用圓面積與正方形面積進行比較,研究出圓面積范圍；有的學生通過學生自己動手剪拼,找關系,在充分探索的過程中感悟出圓的面積公式。從討論圓與正方形面積的關系,猜測圓的面積,到如何把圓剪拼成已學的圖形以及圓面積的推導過程，老師在其中只是起到點撥的作用，更重要的是幫助學生建立各種解決問題的模型，注重對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)、動手操作能力的培養(yǎng)及小組協(xié)作能力的培養(yǎng)。
2．尊重學生差異，讓每一種學生的思維都能在課堂中閃光。
每個學生都有分析、解決問題和創(chuàng)造的潛能，由于學生個體之間存在著一定的差異，他們的發(fā)展需求也不同，不同學生可以運用自己的智慧與策略獲得不同的體驗，多樣化的解決問題，這樣既尊重了學生生活經(jīng)驗、認知特點等差異，也能力求使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。從不同角度進行思考和探索，也為學生的個性發(fā)展提供了廣闊的空間。有時我們面臨學生在研究過程中遇到的問題會忽略他的價值，因為他無法得到正確的結(jié)論。但我們應意識到這些帶有問題的研究策略對于孩子自身是可貴的，他也在思考，也有自己的研究方向，也許多給他些時間他能有新的發(fā)現(xiàn)。問題是暫時的，但他研究了，他在想辦法試圖解決問題，我認為這更可貴。作為教師就是盡可能的了解學生的學習歷程，關注每一個學生學習的結(jié)果，更要關注他們學習的過程，要關注學生學習數(shù)學的水平，幫助學生認識自我，建立自信。
（二）教學背景分析
1．本課在小學階段的地位。
圓的面積對于小學階段的學生可以說是一次思維的飛躍。學生從學習一維的點、線到學習二維的面，一直接觸的都是直線圖形，而對于圓這個曲邊圖形是非常陌生的。在過去所學習的平面圖形面積中運用的轉(zhuǎn)化思想是顯性的，如將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形等。而圓的面積對于學生來說運用轉(zhuǎn)化的思想不是難點，但由于是曲邊圖形的問題使得學生不知該如何轉(zhuǎn)化成他們所熟悉的直線圖形成為了本課的一大難點。
2．我的困惑。
為了設計本課我看了不少的教案、資料，多種轉(zhuǎn)化方法的展現(xiàn)使我常常驚嘆于學生的出色，但也會不斷的自問：學生的理解力能達到本課知識的難度嗎？我先在自己班進行試驗，發(fā)現(xiàn)還真有孩子的思維水平讓我刮目相看，可我也發(fā)現(xiàn)有80%的孩子這節(jié)課沒有參與真正的實驗研究，只是跟著別人看、聽，下課時有一半的孩子還不認可圓面積轉(zhuǎn)化的過程。多種方法的出現(xiàn)雖然讓我欣喜，但一節(jié)課是為20%的孩子服務，還是應讓80%的孩子都有不同層次的體驗與收獲，我選擇了后者。
3．教學前測。
為了真正從學生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，發(fā)現(xiàn)學生學習的困難，我制作了一份課前調(diào)查問卷，把握學生實際情況。
（一）問卷：
（1）一個半徑為2米的圓形花池，占地面積是多少平方米？
前測人數(shù)
理解題意、能正確解答
公式不會使用或記憶錯誤
不會解答的
45人
9人（20%）
6人（13.3%）
30人（66.7%）
（2）請寫出你熟悉的圖形的面積公式。
前測人數(shù)
已學圖形掌握情況
圓面積公式掌握情況
45人
45人（100%）
正確
錯誤
不會
13人
（28.9%）
5人
（11.1%）
27人
(60%)
（二）訪談
（1）你還記得長、正方形面積公式是怎樣推導的嗎？請簡單描述。
前測人數(shù)
能說出推倒方法
遺忘
45人
11人（24.4%）
34人（75.6%）
（2）你還記得平行四邊形、三角形和梯形公式怎樣轉(zhuǎn)化嗎？請簡單描述。
前測人數(shù)
清楚描述
遺忘
45人
34人（75.6%）
11人（24.4%）
（3）你認為圓面積公式可以怎樣推倒？你會有什么困難嗎？
前測人數(shù)
45人
分析
將圓分割、拼擺成長、正方形
5人（11.1%）
學生想法和書上相同的只占全班的11.1%。
應該可以轉(zhuǎn)化，但不知從何入手
11人（24.4%）
接近一半的學生對圓的面積已經(jīng)產(chǎn)生了興趣并根據(jù)自己的思考有了一些困惑。
無從下手，曲邊怎樣轉(zhuǎn)化成直邊
10人（22.2%）
圓的面積一定會和正方
形有關系，愿意嘗試
14人（31.1%）
接近一半的學生對于圓面積求解的方法有自己的思考。
也許可以使用長、正
方形面積的推導方法
5人（11.1%）
4．本課的數(shù)學核心思想
本課從教材內(nèi)容來看，數(shù)學的核心思想依然在延續(xù)平面圖形的研究方法：轉(zhuǎn)化。但是根據(jù)教學前測的情況，挖掘教學資源，為學生終身的學習建立良好的數(shù)學模型，我認為本課數(shù)學的核心思想應該落腳在“以直代曲”的思想上，并在此基礎上制定了新的教學目標和重、難點。
5．教學方式與教學手段
采取的教學方式主要有獨立思考、合作研究、交流討論、引導講授。
教學手段主要有實物演示及電腦課件等。
（三）本課教學目標設計
1．知識與技能：使學生理解和掌握圓面積的計算公式，溝通圓與其它圖形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生觀察、操作、分析、概括的能力以及邏輯推理能力。
2．過程與方法：引導學生學會利用已有的知識，運用數(shù)學思想方法，推導出圓面積計算公式；滲透極限、轉(zhuǎn)化、以直代曲等數(shù)學思想方法。
3．情感態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學生認真觀察、深入思考的良好思維品質(zhì)，鍛煉學生面對困難勇于克服、棄而不舍的精神。
（四）教學過程與教學資源設計
教學過程
教學步驟
師生活動
設計意圖
一、開門見山直接引入課題。（預計時間：3分鐘）
今天我們一起來研究一個新的圖形的面積：圓的面積。請你先想一想，你打算怎樣研究圓面積的求解方法呢？
學生獨立思考。
由于本課內(nèi)容需要給學生較大的探究空間與時間，因此沒有過多的課前鋪墊與情景設置，直接提出核心問題：“請你先想一想，你打算怎樣研究圓面積的求解方法?！边@樣設計的目的是讓學生先有一個獨立思考的空間，幫助學生搭設舊知（已有的數(shù)學思想方法）與新知（本課內(nèi)容）的橋梁。
二、探究新知。（預計時間：20分鐘
1．引發(fā)矛盾。
學生在獨立思考后把自己的想法和小組同學交流、討論。在小組的交流討論中引發(fā)問題和困難。
全班交流各小組在討論中遇到的問題和困難。如：
（1）能否轉(zhuǎn)化成學過的圖形，怎樣轉(zhuǎn)化？
（2）曲線無法變成直線，轉(zhuǎn)化后的圖形不準確。
師：請大家關注同學們的發(fā)言，從中你一定會受到啟發(fā)或發(fā)現(xiàn)問題。
在全班討論時教師只是一個參與者，而且要延遲判斷，力爭讓學生提出的問題在學生間相互解答。在這里不怕引發(fā)學生的爭論，甚至應歡迎學生爭論。
結(jié)合學生發(fā)言，教師有針對性地引導，如：“曲線無法變成直線，轉(zhuǎn)化后的圖形不準確?！睂τ谶@個問題要利用課件直觀演示，滲透極限思想。
2．深入探究。
師：同學們已經(jīng)有了自己的研究方法，可以利用一些學具開始探究?？梢元毩⒀芯?，也可以有相同想法的同學自由合作。研究的過程可能會有困難，老師相信你們，一定不怕困難勇于探索，遇到問題也可以向老師尋求幫助。
在探究活動中教師要充分參與學生的研究活動，并給于適當?shù)闹笇А?br />
本課轉(zhuǎn)化不是難點，關鍵是學生不知如何把圓轉(zhuǎn)化成直線的圖形。因此老師的放手是有層次的，在幫助絕大多數(shù)學生開拓思路，解決關鍵難點后再進行下一步的探究活動。讓絕大多數(shù)學生都能有探究的方向，避免較有難度的課堂只能成為優(yōu)等生的課堂，大多數(shù)學生只能做聽眾的情況。
三、匯報交流。（預計時間：14分鐘）
教師要特別留意研究活動中與眾不同的方法策略，并請有比較獨特想法的小組先匯報！
學生方法1：把圓的四邊去掉變成正方形（即用一個圓折出了一個內(nèi)接正方形），但我們不知道這4個小面怎樣求？
教師要抓住學生思維的閃光點加以引導：剩下的部分的確不太好求，但你們能想到圓和我們熟悉的正方形最接近，所以想通過正方形解決圓的面積，非常了不起。你們可以繼續(xù)研究，看看有沒有比正方形更接近圓面積的圖形呢？利用課件演示：
學生方法2：可以在圓上畫方塊，如果不足一個方塊可以用其他地方的方塊來補，但我們不知道哪個方塊補在哪里合適？
教師要抓住學生思維的閃光點加以引導：這個小組的研究方法非常獨特，嘗試用直線圖形代替曲邊圖形，而且還想到了求圖形面積必不可少的面積單位，其實你們的想法特別接近數(shù)學大師的想法，這個思想在你們今后的大學學習中一定會用到，你們可以繼續(xù)研究，看看能否讓每一小部分都更接近面積單位呢？利用課件演示：
學生方法3：將圓等分成若干分，拼成一個近似的平行四邊形或長方形，圓周長的一半是平行四邊形下面的底，上面的底就是圓周長的另一半。圓周長的一半乘半徑就是圓面積的公式：∏r2。
教師提出請大家關注的問題：
1轉(zhuǎn)化前后的圖形有什么關系？
2怎樣推導出公式的？
在小組匯報，學生思考后，教師引導并追問，全班再進行一次公式的整理。
先匯報最獨特的方法，其實是在保護和加強每一個學生的創(chuàng)造性思維，因為這是最原始的、最真實的思考，是書上不曾有過的。也許在這節(jié)課上他們的研究一時解決不了問題，但這個思考的價值是非常大的，如果多給他們一些時間他們一定會有新的發(fā)現(xiàn)，而他們的收獲比早已知道剪拼，只是去動手驗證的收獲要豐富的多。
在這里也可以讓每一個孩子感覺到，解決問題的方法是多樣的，書并不是唯一的，只要開動腦筋一定會有解決問題的思路。
這種方法有可能是學生曾經(jīng)看過書或在其他地方學習過的，但它能在課堂上求解圓面積的公式，也要引起學生足夠的重視，并幫助決大多數(shù)學生理解。
四、課堂小結(jié)。（預計時間：3分鐘）
依靠同學們的聰明智慧，運用數(shù)學的思想方法解決了圓面積的問題，在研究過程中同學們的思路是靈活的，面對困難，積極地想辦法，老師非常欽佩你們。
也許因為時間的關系有些同學的思路并沒有完全展現(xiàn)出來。但老師希望你們能夠繼續(xù)研究下去，我相信你們一定會有豐富的收獲。我也希望每一個同學都能喜歡數(shù)學的探索過程，更希望你們都能大膽的運用數(shù)學的思想方法繼續(xù)研究解決問題，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美妙和它的廣泛用途。
（五）學習效果評價設計：教學后測。
學生問卷部分：
（1）一個半徑為2米的圓形花池，占地面積是多少平方米？
（2）請寫出圓面積的公式。
（以上兩道小題和教學前測的內(nèi)容一致，可以明顯的看出一節(jié)課前、后
學生的整體情況。）
學生訪談部分：
（1）能談談這節(jié)課你的收獲和感受嗎？
（2）你認為圓面積的求解方法是怎樣得到的？請簡單描述。
（3）關于圓的面積你還有不同的想法嗎？
（4）你喜歡今天的數(shù)學課嗎？你認為自己的表現(xiàn)如何？為什么？
（5）你還有其他的想法或建議嗎？
教師自評部分：
（1）設計的內(nèi)容和形式學生是否能夠輕松愉快地完成任務?
（一節(jié)成功的課堂教學設計，在教學過程中教師和學生是愉快投入的，而不是教師用盡全力的引導，學生卻不知回答什么才是老師想要的；在完成課堂教學后教師和學生的身心應該是愉悅的。）
（2）是否積極參與小組活動，適時地在小組最需要幫助的時候給予指導？
（學生是學習的主體，教師是參與者，起引導的作用。引導是要在合適的時機給予一定的指導，既不應是教師不能在課堂中起作用，也不能讓教師的作用代替了學生的思考。）
（3）是否抓住了學生思想的閃光點，并給予了學生適時的、鼓勵的評價？
（我認為學生思想的閃觀點并不一定是正確的解題思路，及時地發(fā)現(xiàn)學生學習過程中遇到的困難并把它顯現(xiàn)出來應該會使課堂更閃光。）
（六）課后反思：
雖然這只是一節(jié)普通的數(shù)學課，可是卻讓我體會到收獲的喜悅。因為在課堂上我看到了學生眼中自信與收獲的喜悅；同時我也要感謝學生帶給我的收獲，他們讓我進一步的看到了學生不同思維的可貴，他們讓我學會放慢速度去欣賞“障礙物”的美。這節(jié)課讓我感受到任何一個看似簡單的內(nèi)容，如果教師能真正站在孩子的基點去想一想，如果眼界放得再遠一點，如果給學生的探索空間再大一點，如果敢于在課堂上展現(xiàn)學生的不同思想，那么任何一節(jié)課都將不簡單！做一個有思想的教師，那樣我們的孩子就會更喜歡數(shù)學課，就會更愿意自己去思考與發(fā)現(xiàn)！
評析《圓的面積》
1．教師具有長遠的發(fā)展眼光
聽過課后使我聯(lián)想到這樣一個小故事。有三個泥瓦匠在砌一堵墻，一位哲人問三個人：“你們在干什么？”第一個人回答：“砌墻?！钡诙€人回答：“蓋一棟樓?！钡谌齻€人回答：“我們正在建設自己的家園?！闭苋寺牶髮Φ谌齻€人說：“今后你將是幸運的。”果然，許多年后，第一個人依然是泥瓦匠，第二個人成為工程師，第三個人成為前兩個人的老板。這個故事使我聯(lián)想到了本課教師對待教學的一種態(tài)度。她沒有像第一個人那樣只關注“砌墻”（即推導圓面積的公式），最起碼她是在關注“蓋一棟樓房?！睆南旅娴膱D中就可以看出教師的思考具有整體性，眼光是長遠的。
從學生最初學習長、正方形面積的拼擺方法，到學生學習所有直線段圖形的轉(zhuǎn)化方法，再到今天要研究的圓面積，以及學生今后還將要學習的和圓面積相關的內(nèi)容，作為一名教師如果有了發(fā)展的眼光，才能去發(fā)現(xiàn)學生思維的價值。那么教師自身就會不斷的提高，學生也會有不斷的發(fā)展。
2．關注學生已有的認知基礎
學習活動是學生以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎的主動建構(gòu)的過程。本課教師非常重視學生已有的知識和生活經(jīng)驗，在備課之前為更好地把握學生的認知基礎，進行了課前調(diào)研。在調(diào)研中一方面可以了解學生對已有知識（長、正方形；平行四邊形；三角形；梯形公式推導過程）的掌握程度，另一方面也可以了解學生對于新知（圓的面積公式）的認識程度。調(diào)研后教師根據(jù)班級的整體情況有針對性的進行教學預設，使學生能夠在已有的知識和經(jīng)驗的基礎上更好地學習新知。
3．直面學生的數(shù)學現(xiàn)實，讓學生親歷完整的數(shù)學化過程
每個學生都有分析、解決問題和創(chuàng)造的潛能，由于學生個體之間存在著一定的差異，他們的發(fā)展需求也不同。不同學生可以運用自己的智慧與策略獲得不同的體驗與多樣化解決問題的方法。只有堅持讓每個學生根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式生動地、自由地、開放地去探索，才能使學生的數(shù)學學習活動真正成為一個主動的、富有個性的過程。
本節(jié)課教師并沒有像以往那樣直接帶著學生按照剪拼的方式推導圓面積的公式，而是給了學生很大的探究空間，讓學生在主動參與中去“做數(shù)學”， 通過學生親歷數(shù)學化的過程，提高學生的探索能力以及對知識的深層理解。教師一上課就直接提出了本課的核心問題：“你想怎樣求解圓面積的公式？”學生在獨立思考、小組交流后開始匯報。在匯報的過程中教師抓住了學生與眾不同的思想。
教師給了每一種不同思維的小組展現(xiàn)的機會和更好的引導。從課堂的結(jié)果就可以看出學生的思維是活躍的。這樣使每一名學生都能大膽地從不同角度進行思考和探索，使每一個孩子都親歷這個學習的過程。這樣既尊重了學生生活經(jīng)驗、認知特點等差異，也能使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。
4. 滲透數(shù)學思想，關注學生的終身發(fā)展
數(shù)學思想是數(shù)學知識的“靈魂”，它隱形于知識的形成過程之中，是數(shù)學活動中的根本想法，是對數(shù)學內(nèi)在規(guī)律的理性認識，是數(shù)學知識與數(shù)學方法的高度概括總結(jié)。學生在探索活動中建立數(shù)學思想，反過來數(shù)學思想又幫助了學生理解與解決數(shù)學問題。
從本課可以看出老師的著眼點不是單純的圓面積公式的教學，而是在探索圓面積公式的過程中滲透“以直代曲”的數(shù)學思想，為學生的終身發(fā)展服務。通過這節(jié)課學生進一步學會了數(shù)學地思考和解決問題，這也正是新課程標準所倡導的。
心理學家米德說：“讓一個二十世紀的兒童自己去發(fā)現(xiàn)：在直角三角形里，勾股邊的平方之和等于弦邊的平方，那么他也就完成了跟畢達哥拉斯一樣的創(chuàng)造性勞動，盡管這個發(fā)現(xiàn)的結(jié)果對于文化傳統(tǒng)來說等于零，但在孩子的心靈深處卻會認為自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。”
這節(jié)課老師就是在不斷肯定并欣賞學生的學習成果，讓學生從成功中增強自信、激發(fā)潛能、享受學習的快樂。當學生想到這兩種方法的時候，老師并沒有因為他們在課堂上無法求出圓面積的公式而回避，而是給學生進一步的引導，碰撞出學生創(chuàng)新思維的火花。長期如此，學生必將終身受益。每個學生身上都蘊藏著閃光點，我們要善于挖掘?qū)W生身上的閃光點，要看到學生人人有才。
5．教師具有不斷反思和學習的意識
反思是一種內(nèi)省行為，是對認識的再認識，是對感悟的再體驗。從教學設計可以看出教師經(jīng)歷了一個“學習—反思—調(diào)研—再學習—預設—再反思”的過程。在教師的第一次學習后意識到學生的知識基礎和生活經(jīng)驗對于解決圓的面積問題有一定的難度，隨后教師開展了教學前測，從中發(fā)現(xiàn)了學生不同的思維， 這引起了教師的思考并再次學習，正是這次的再學習使教師發(fā)現(xiàn)學生思維的可貴，從而也確立了本節(jié)課的教學目標：展現(xiàn)學生自身的不同思維，滲透數(shù)學思想。預設后教師并沒有結(jié)束這節(jié)課的研究活動，而是再一次的反思：學生把40分鐘托付給我們，那么我們在這40分鐘里應該給孩子什么？不應該給孩子什么？這使教師進一步意識到：只有教師有思想、善學習，才能教出一代愛學習、會思考的學生。
