愛華網(wǎng)龐卡萊(J.H.poincom,1854—1912)說過:“感覺數(shù)學(xué)美，感覺數(shù)與形調(diào)和，感覺幾何優(yōu)雅……這是所有真正數(shù)學(xué)家都知道的真正美感?！贝髷?shù)學(xué)家克萊因認為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！比欢F(xiàn)代信息化的社會中，人素質(zhì)的高低可以說是由數(shù)學(xué)素質(zhì)的高低決定的；一個國家的是否興旺發(fā)達，數(shù)學(xué)也是重要的標志之一，近30年來獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的專家的工作，絕大部分是因為他們在數(shù)學(xué)方面的重要成就而獲獎。運用的廣泛性對數(shù)學(xué)大眾化提出必然的要求?？筛叨刃问交⑦壿嫽?、抽象化的數(shù)學(xué)材料，總給人單調(diào)乏味，莫測高深的感覺。由此可見，對數(shù)學(xué)美的研究，不僅僅是數(shù)學(xué)家的事，能夠體驗數(shù)學(xué)美感的也不僅僅是數(shù)學(xué)家。本文想就數(shù)學(xué)美的本質(zhì)、形式和美育等方面談一些觀點、心得，供同行商榷。
一、數(shù)學(xué)美的本質(zhì)馬克思“勞動創(chuàng)造了美”的觀點明確提出了美源于實踐。實踐是溝通人與自然的橋梁，一方面改變了外部現(xiàn)實，消滅它的規(guī)定性，把握自然界使之為自己服務(wù)；另一方面又通過消滅外部世界某些規(guī)定性來獲得具有外部現(xiàn)實性的實在性，于是自然變成人化的自然，人成為人化的人，都成為對象性的存在。這就是通過實踐而構(gòu)建世界的圖畫，美源于其中，存在于人所創(chuàng)造的客觀圖畫中。數(shù)學(xué)美是客觀世界中固有規(guī)律的反映，是現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的程序性、統(tǒng)一性、規(guī)律性的呈現(xiàn)。原來以過程、動態(tài)形式存在的自然美，通過人類的生產(chǎn)實踐就抽象成為結(jié)果、靜態(tài)的數(shù)學(xué)理性美、冷峻美?？梢姅?shù)學(xué)美是對數(shù)學(xué)必然的認識和對世界的改造，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自由形式。任何一個數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)構(gòu)、體系等，要本質(zhì)上都具有真理性，都是人對自然規(guī)律的認識，這就呈現(xiàn)了自由。而同時，必然的認識成果作為指導(dǎo)實踐的工具使人能動地進行創(chuàng)造活動，使人從數(shù)學(xué)必然王國到達數(shù)學(xué)自由王國，從而再次獲得自由。可見任何一次數(shù)學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)，任何一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐都可以使人在實踐中獲得自由形式，這就是數(shù)學(xué)本質(zhì)所在。
二、數(shù)學(xué)美的形式人們在對客觀事物觀念的認識過程中所具有的美感及在科學(xué)認識中具有審美價值的超感性對象稱為科學(xué)美。數(shù)學(xué)美顯然是一種科學(xué)美，它失去了美感的“具象性”，是一種抽象美，是超感覺的理性美、冷峻美。數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往表現(xiàn)出簡單性、對稱性、統(tǒng)一性、諧調(diào)性、奇異性，因而，統(tǒng)一、諧調(diào)、對稱、簡潔、奇異及應(yīng)用是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美的主要形式。
【統(tǒng)一美】統(tǒng)一美是指呈現(xiàn)于基礎(chǔ)上的統(tǒng)一、結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一、方法上的統(tǒng)一。
數(shù)量關(guān)系與空間形式是多種多樣的，因而反映在數(shù)學(xué)科學(xué)上就是各種不同的數(shù)學(xué)門類。每門數(shù)學(xué)都有自己的概念、符號、命題體系，概念、命題和方法相互交叉形成十分龐雜的數(shù)學(xué)體系，但它們卻有共同的基礎(chǔ)——集合論。比如幾何學(xué)，歐氏幾何已經(jīng)有二千多年的歷史，人們沒有懷疑它的真理性。而后來出現(xiàn)的羅氏幾何、黎曼幾何卻與歐氏幾何有明顯的矛盾.譬如關(guān)于三角形內(nèi)角和，歐氏幾何說是“等于π”,黎曼幾何卻說是“大于π”,羅氏幾何又說是“小于π”。再如關(guān)于平行公理，歐氏幾何說“平面上過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”,羅氏幾何卻說“平面上過直線外一點至少能引兩條直線與已知直線不相交”,黎曼幾何卻說是“平面上過直線外一點作已知直線的平行線一條都沒有”。而后來凱萊(Cayleg)的射影測度出現(xiàn)后就解釋了非歐幾何學(xué)，實現(xiàn)了三大幾何學(xué)的統(tǒng)一。保證無窮遠直線不變的射影幾何學(xué)稱仿射幾何學(xué)；保證圓點不變（或偽球面上高斯曲率K=0）的仿射幾何學(xué)稱為歐氏幾何學(xué)；保證一條虛二次曲線不變（K>0）的射影幾何學(xué)稱為黎曼幾何學(xué)；保證一條實二次曲線不變（K<0）的射影幾何學(xué)稱為羅氏幾何學(xué)。十九世紀，斯坦納、馮斯滔已經(jīng)完全確定了由綜合法入手的射影幾何學(xué)，而后來，綜合法在應(yīng)用上受到一定的限制，于是人們又引入新的研究方法——代數(shù)公理法，亦通過公理體系規(guī)定代數(shù)運算,利用運算來處理幾何問題,一方面,人們想把通常的空間的射影幾何學(xué)，與代數(shù)結(jié)合在一起;另一方面,把射影幾何學(xué)，與格論結(jié)合在一起發(fā)展成為無窮維射影幾何學(xué)即連續(xù)幾何學(xué).此外還能把射影空間與測度空間結(jié)合在一起,把微分、張量分析與射影幾何學(xué)聯(lián)結(jié)在一起.但無論哪一種聯(lián)結(jié)方式;哪一種統(tǒng)一方法,其基礎(chǔ)都是集合觀念.
17世紀出現(xiàn)各種各樣的幾何學(xué),1872年克來因才明確指出它們共同的基礎(chǔ)——變換群.他指出:幾何學(xué)就是關(guān)于變換群下的不變式理論.拓樸學(xué)是關(guān)于射影變換群(一一映射且雙方連續(xù))的不變式理論;射影幾何學(xué)是關(guān)于射影變換群下不變式理論;仿射幾何學(xué)是仿射變換群下不變式理論,由于仿射變換群是射影變換群的子群,因而它保持射影性質(zhì)如交比、平行性不變;歐氏幾何學(xué)是正交變換群下不變式理論,正交變換群是仿射變換群的子群,因此它保持仿射性質(zhì),而同時又有自己的不變性質(zhì):長度、角度、面積等.在正交變換群下有且只有三種幾何-----歐氏、羅氏、黎氏,這樣,克萊因用群的觀念把各種幾何學(xué)統(tǒng)一了起來.就“數(shù)”和“形”來說，直到16世紀，人們一直奉幾何學(xué)為正統(tǒng)，代數(shù)學(xué)從屬于幾何學(xué)。16世紀后代數(shù)研究才活躍起來，1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，才把幾何學(xué)同代數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來。
除了統(tǒng)一基礎(chǔ)外，數(shù)學(xué)美還表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中的一個集合的元素間的關(guān)系通常是用運算或變換聯(lián)系著，這樣集合就形成了結(jié)構(gòu)。比如整數(shù)集其元素通過加法構(gòu)成整數(shù)群，形成整數(shù)群結(jié)構(gòu)；其元素通過乘法又形成整數(shù)環(huán)結(jié)構(gòu)。不同的代數(shù)有不同運算群結(jié)構(gòu)，1935年布爾巴基學(xué)派提出用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)統(tǒng)一數(shù)學(xué)的觀點，他們將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為三類：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓樸結(jié)構(gòu)。
另外，數(shù)學(xué)方法也是統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)發(fā)展總是在機械化法與公理化法相結(jié)合的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。
在大統(tǒng)一中的各個子系統(tǒng)、各個分層分支存在統(tǒng)一，枚不勝舉。如圓錐曲線統(tǒng)一于極坐標方程——；立體幾何的體積公式統(tǒng)一于辛卜生公式；各種函數(shù)展開式統(tǒng)一于泰勒展開式等等。
