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九點(diǎn)共圓，指的是三角形中，三邊的中點(diǎn)、三條高的垂足、垂心到三頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)分布在同一圓上。這個(gè)定理看起來(lái)是很不好證的 ，但是如果先不把九個(gè)點(diǎn)都考慮進(jìn)來(lái)，只考慮一邊中點(diǎn)、一個(gè)垂足、垂心到一頂點(diǎn)連線中點(diǎn)這三點(diǎn)共圓，那是肯定共圓的。然后證明這個(gè)圓的圓心和半徑對(duì)三角形來(lái)說(shuō)很特殊，就可以說(shuō)明九點(diǎn)都分布在此圓上。經(jīng)探究，這個(gè)特殊的圓心是垂心外心連線中點(diǎn)，半徑為三角形外接圓半徑的一半。已知：△ABC中，P為垂心，Q為外心，O為PQ中點(diǎn)，BE為AC邊上的高，D為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BP中點(diǎn)求證：OD=OE=OF=△ABC外接圓半徑的一半證明連接并延長(zhǎng)AP交BC于G，作BC中點(diǎn)H，連接DQ、HQ、DH、BQ∵P為△ABC的垂心，BE為AC上的高（已知）∴B、P、C三點(diǎn)共線，AG⊥BC（垂心的定義與性質(zhì)）∵Q為△ABC的外心（已知），D為AC中點(diǎn)（已知），H為BC中點(diǎn)（由輔助線點(diǎn)做法得）∴BQ為△ABC的外接圓半徑，QD⊥AC，QH⊥BC（外心的定義與性質(zhì)）又∵BE⊥AC（已知），AG⊥BC（已證）∴BE∥DQ，AG∥HQ（垂直于同一直線的兩直線平行）∵D為AC中點(diǎn)，H為BC中點(diǎn)（已證）∴DH∥AB，DH=AB/2即DH/AB=1/2（三角形中位線平行于第三邊且等于底邊一半）綜上有DH∥BA，HQ∥AP，DQ∥BP（已證）∴△DHQ∽△BAP（三邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似）∴DQ/BP=DH/AB=1/2（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）∵F為BP中點(diǎn)（已知）∴FP=BP/2即FP/BP=1/2（中點(diǎn)的定義）∴DQ=FP（等量代換）∵O為PQ中點(diǎn)（已知）∴OP=OQ（中點(diǎn)的定義）∵BE∥DQ（已證）∴∠FPO=∠DQO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）綜上有OP=OQ，∠OPF=∠OQD，PF=QD（已證）∴△POF≌△QOD（SAS）∴OF=OD，∠POF=∠QOD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等）∴O為DF中點(diǎn)（中點(diǎn)的性質(zhì)）∵P、O、Q三點(diǎn)共線（中點(diǎn)在線段上）∴∠POQ=∠POF+∠QOF=180°（共線的性質(zhì)）∴∠FOD=∠QOD+∠QOF=180°（等量代換）∴F、O、D三點(diǎn)共線（共線的判定）∵F為PB中點(diǎn)，O為PQ中點(diǎn)（已知）∴OF=BQ/2，即外接圓半徑的一半（三角形中位線為第三邊的一半）∴OD=BQ/2，即外接圓半徑的一半（等量代換）∵EF⊥AC（已知）∴∠DEF=90°（垂直的定義）又∵O為DF中點(diǎn)（已證）∴在Rt△DEF中，OE=DF/2=(OD+OF)/2=BQ/2,即外接圓半徑一半（直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半）證明完畢以上證明了三角形高的垂足、邊的中點(diǎn)、垂心到頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)一定在一個(gè)以垂心、外心間線段中點(diǎn)為圓心、外接圓半徑長(zhǎng)一半的圓上，因而結(jié)論證明。三角形三邊中點(diǎn)、三高垂足、垂心到三頂點(diǎn)連線中點(diǎn)都在同一圓上，稱為九點(diǎn)圓，亦稱歐拉圓。九點(diǎn)圓圓心在歐拉線上，到垂心、外心間距離相等。九點(diǎn)圓半徑等于外接圓半徑的一半。
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