澤尼克多項(xiàng)式（Zernike Polynomials），澤尼克系數(shù)

什么是 ZernikePolynomials

通常人們會使用冪級數(shù)展開式的形式來描述光學(xué)系統(tǒng)的像差。由于澤尼克多項(xiàng)式和光學(xué)檢測中觀測到的像差多項(xiàng)式的形式是一致的，因而它常常被用來描述波前特性（澤尼克，1934）。但這并不意味著澤尼克多項(xiàng)式就是用來擬合檢測數(shù)據(jù)的最佳多項(xiàng)式形式。在某些情況下，用澤尼克多項(xiàng)式來描述波前數(shù)據(jù)具有很大的局限性。比如說，當(dāng)需要考慮空氣擾動的時候，澤尼克多項(xiàng)式幾乎沒有什么價值。同樣地，我們也無法找到一組合適的澤尼克多項(xiàng)式來描述單點(diǎn)金剛石車削加工（single point diamond turningprocess）中的制造誤差。為了準(zhǔn)確地描述圓錐面光學(xué)元件（conical optical elements）的對準(zhǔn)誤差，必須對澤尼克多項(xiàng)式進(jìn)行修正。盲目地使用澤尼克多項(xiàng)式來表達(dá)檢測數(shù)據(jù)只會導(dǎo)致糟糕的結(jié)果。

澤尼克多項(xiàng)式是由無窮數(shù)量的多項(xiàng)式完全集組成的，它有兩個變量，ρ和θ，它在單位圓內(nèi)部是連續(xù)正交的。需要注意的是，澤尼克多項(xiàng)式僅在單位圓的內(nèi)部連續(xù)區(qū)域是正交的，通常在單位圓內(nèi)部的離散的坐標(biāo)上是不具備正交性質(zhì)的。

澤尼克多項(xiàng)式具有三個和其他正交多項(xiàng)式集不一樣的性質(zhì)。

⒈ 澤尼克多項(xiàng)式Z(ρ, θ)可以被化解為徑向坐標(biāo)ρ和角度坐標(biāo)θ的函數(shù)，其形式如下：

Z (ρ, θ) = R ( ρ ) G( θ )，

這里，關(guān)于角度的函數(shù)G(θ)是一個以2π弧度為周期的連續(xù)函數(shù)，并且滿足當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)α角度之后，其形式不發(fā)生改變，也就是旋轉(zhuǎn)不變性：

G (θ + α ) = G ( θ ) G ( α )

其三角函數(shù)集形式如下：

G(θ) = e^{±i mθ}

這里m是任意正整數(shù)或0。

⒉ 澤尼克多項(xiàng)式的第二個性質(zhì)是徑向函數(shù)R ( ρ ) （Radial Function）必須是ρ的n次多項(xiàng)式，并且不包含冪次低于m次的ρ方項(xiàng)。

⒊ 第三個性質(zhì)是當(dāng)m為偶數(shù)時R(ρ)也為偶函數(shù)，m為奇數(shù)時，R(ρ)也為奇函數(shù)。

徑向多項(xiàng)式R ( ρ )可以看作是雅可比多項(xiàng)式（Jacobi polynomials）的特例，記做。它們的正交和歸一化性質(zhì)可由如下式子表示：

上式中的δ_mn‘是克羅內(nèi)克符號（Kronecker delta），即當(dāng)n=n’時，δ_mn‘=1當(dāng)n≠n'時，δ_mn‘=0。并且它具有歸一化的性質(zhì)：

在計(jì)算徑向多項(xiàng)式時，為了方便起見，我們通常會將其分解成如下形式：

其中的次數(shù)為2(n-m)，由下式給出：

《光學(xué)原理》下冊第9.2.1小節(jié)給出了上述徑向函數(shù)的前幾個m，n值的顯函數(shù)形式。
通常我們會用實(shí)數(shù)形式的多項(xiàng)式（正弦和余弦函數(shù)）來代替復(fù)制數(shù)多項(xiàng)式，這樣的話，波前像差函數(shù)W(ρ, θ)的澤尼克展開式就有如下形式：

這里W是平均波前差，An，B_nm，C_nm是多項(xiàng)式展開系數(shù)。由于”0級“項(xiàng)是個常數(shù)（或者叫平移項(xiàng)）1并且所有其他的澤尼克項(xiàng)在單位圓區(qū)域上的平均值是均為零，∴波前像差函數(shù)W的平均值就是這個“0級”項(xiàng)的系數(shù)A₀，這樣，上述公式就等價于：

對于一個回轉(zhuǎn)對稱的光學(xué)系統(tǒng)來說，物體位于子午面內(nèi)，因而波前像差相對于yz面是對稱的，也就是只有θ的偶函數(shù)（余弦項(xiàng)）項(xiàng)是非零項(xiàng)。對于一般情況，波前是不對稱的，因而也就是同時包含兩種三角函數(shù)形式。

澤尼克項(xiàng)

下面給出了48項(xiàng)澤尼克多項(xiàng)式，外加一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。需要注意的是，讀者并不需要嚴(yán)格按照下文所示的順序排列這些澤尼克項(xiàng)，實(shí)際上在不同的應(yīng)用和機(jī)構(gòu)會采用不同的排列順序。
表中的#0項(xiàng)是個常數(shù)或者說是平移項(xiàng)（piston term），這一項(xiàng)的系數(shù)也代表了平均光程差；而#1和#2項(xiàng)分別是x和y方向的傾斜項(xiàng)（tilt terms），#3代表了聚焦，因此，#1到#3項(xiàng)代表了波前的高斯或者近軸特性；#4和#5項(xiàng)代表了像散和離焦，#6和#7項(xiàng)代表彗差和傾斜，而#8項(xiàng)代表了3級像差和離焦，也就是說#4到#8項(xiàng)為3級相差項(xiàng)；同樣地，#9到#15項(xiàng)代表了5級像差，而#16到#24項(xiàng)代表了7級像差，#25到#35項(xiàng)代表了9級像差，#36到#48項(xiàng)代表了11級像差。2.1 極坐標(biāo)形式的澤尼克多項(xiàng)式

2.1 笛卡爾坐標(biāo)系下的澤尼克多項(xiàng)式

2.1 OSC澤尼克多項(xiàng)式

很多早期的用澤尼克多項(xiàng)式來對干涉圖樣做計(jì)算機(jī)分析的工作，是在上個世紀(jì)七十年代，由亞利桑那大學(xué)光學(xué)科學(xué)中心（OSC，Optical Sciences Center）的John Loomis進(jìn)行的。OSC澤尼克多項(xiàng)式采用了n從1到5，以及n=6，m=0的項(xiàng)。n=m=0的常數(shù)項(xiàng)（piston term）也用來做干涉圖樣分析，但是這一項(xiàng)并不包含在澤尼克多項(xiàng)式中。因此，OSC澤尼克多項(xiàng)式包含36項(xiàng)，外加一項(xiàng)平移項(xiàng)（piston term）。這也是在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件OSLO和Code V中采用的形式。

澤尼克多項(xiàng)式的圖形

1n=1～6，m=0時的澤尼克多項(xiàng)式的三維圖

2像散：2x²-ay²，其中a∈(-4, 4)

3彗差：2ρ²x+ax，其中a∈(-5, 3)；2ρ²x+ay，其中a∈(-4, 4)

4球差和離焦：ρ²(2ρ²+1.3a)，其中a∈(-5, 3)

5前36個澤尼克多項(xiàng)式

澤尼克多項(xiàng)式常用于干涉測試，而光學(xué)設(shè)計(jì)人員用的更多的則是賽德爾像差多項(xiàng)式。

澤尼克多項(xiàng)式和賽德爾像差

波前的初級和3級像差系數(shù)可以用澤尼克多項(xiàng)式來表示。我們將波前函數(shù)用澤尼克項(xiàng)的Z₀～Z₈這九項(xiàng)來表示成如下形式：

這些澤尼克項(xiàng)和像差的對應(yīng)關(guān)系見表四。

表四：前9個澤尼克項(xiàng)和像差的對應(yīng)關(guān)系

繼續(xù)將上述波前函數(shù)改寫成如下形式：

W(ρ, θ ) = W₁₁ cosθ + W₂₀ ρ²
+ W₄₀ ρ4 + W₃₁ ρ³ cosθ + W₂₂ ρ² cos²θ

由于這些澤尼克項(xiàng)中與視場無關(guān)，它們并非真正的賽德爾像差。用干涉測試的方法智能得到單個視場點(diǎn)的波前數(shù)據(jù)。這使得場曲看上去像離焦，而畸變看上去像傾斜。因此，要得到賽德爾像差，就必須測量一定數(shù)量的視場點(diǎn)。
我們可以按照初級和3級像差的形式繼續(xù)改寫上述波前函數(shù)，也就是合并同類項(xiàng)，并用波前相差系數(shù)做等價替換，結(jié)果如下：

W(ρ, θ' ) = Z₀ -Z₃ +Z₈平移（Piston）
+ ( Z₁ - 2Z₆ )ρcosθ' + (Z₂ - 2 Z₇ )ρ sin θ'傾斜（Tilt）
+ (2Z₃ - 6 Z₈ +Z₄cos2θ‘ + Z₅sin2θ' ) ρ²離焦+像散（focus + astigmatism）
+3(Z₆cosθ’ + Z₇sinθ‘) ρ³ 彗差（coma）
+6Z₈ρ⁴球差（Spherical）

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