愛華網(wǎng)高分辨率波前測量儀
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什么是Zernike Polynomials
通常人們會使用冪級數(shù)展開式的形式來描述光學系統(tǒng)的像差。由于澤尼克多項式和光學檢測中觀測到的像差多項式的形式是一致的，因而它常常被用來描述波前特性（澤尼克，1934）。但這并不意味著澤尼克多項式就是用來擬合檢測數(shù)據(jù)的最佳多項式形式。在某些情況下，用澤尼克多項式來描述波前數(shù)據(jù)具有很大的局限性。比如說，當需要考慮空氣擾動的時候，澤尼克多項式幾乎沒有什么價值。同樣地，我們也無法找到一組合適的澤尼克多項式來描述單點金剛石車削加工（singlepoint diamond turning process）中的制造誤差。為了準確地描述圓錐面光學元件（conical opticalelements）的對準誤差，必須對澤尼克多項式進行修正。盲目地使用澤尼克多項式來表達檢測數(shù)據(jù)只會導致糟糕的結果。澤尼克多項式是由無窮數(shù)量的多項式完全集組成的，它有兩個變量，ρ和θ，它在單位圓內(nèi)部是連續(xù)正交的。需要注意的是，澤尼克多項式僅在單位圓的內(nèi)部連續(xù)區(qū)域是正交的，通常在單位圓內(nèi)部的離散的坐標上是不具備正交性質(zhì)的。
澤尼克多項式具有三個和其他正交多項式集不一樣的性質(zhì)。
⒈澤尼克多項式Z(ρ, θ)可以被化解為徑向坐標ρ和角度坐標θ的函數(shù)，其形式如下：
Z (ρ,θ) = R ( ρ ) G ( θ )，![[轉載]澤尼克多項式 澤尼克](http://img.413yy.cn/images/30101030/30080138t01973513d3f5abb841.jpg)
這里，關于角度的函數(shù)G(θ)是一個以2π弧度為周期的連續(xù)函數(shù)，并且滿足當坐標系旋轉α角度之后，其形式不發(fā)生改變，也就是旋轉不變性：
G (θ +α ) = G ( θ ) G ( α )
其三角函數(shù)集形式如下：
G(θ) =e± i mθ
這里m是任意正整數(shù)或0。
⒉澤尼克多項式的第二個性質(zhì)是徑向函數(shù)R ( ρ) （RadialFunction）必須是ρ的n次多項式，并且不包含冪次低于m次的ρ方項。
⒊第三個性質(zhì)是當m為偶數(shù)時R(ρ)也為偶函數(shù)，m為奇數(shù)時，R(ρ)也為奇函數(shù)。
徑向多項式R ( ρ )可以看作是雅可比多項式（Jacobipolynomials）的特例，記做。它們的正交和歸一化性質(zhì)可由如下式子表示：上式中的δmn‘是克羅內(nèi)克符號（Kroneckerdelta），即當n=n’時，δmn‘=1當n≠n'時，δmn‘=0。并且它具有歸一化的性質(zhì)：
在計算徑向多項式時，為了方便起見，我們通常會將其分解成如下形式：
其中的次數(shù)為2(n-m)，由下式給出：
《光學原理》下冊第9.2.1小節(jié)給出了上述徑向函數(shù)的前幾個m，n值的顯函數(shù)形式。
通常我們會用實數(shù)形式的多項式（正弦和余弦函數(shù)）來代替復制數(shù)多項式，這樣的話，波前像差函數(shù)W(ρ,θ)的澤尼克展開式就有如下形式：
這里W是平均波前差，An，Bnm，Cnm是多項式展開系數(shù)。由于”0級“項是個常數(shù)（或者叫平移項）1并且所有其他的澤尼克項在單位圓區(qū)域上的平均值是均為零，∴波前像差函數(shù)W的平均值就是這個“0級”項的系數(shù)A0，這樣，上述公式就等價于：
對于一個回轉對稱的光學系統(tǒng)來說，物體位于子午面內(nèi)，因而波前像差相對于yz面是對稱的，也就是只有θ的偶函數(shù)（余弦項）項是非零項。對于一般情況，波前是不對稱的，因而也就是同時包含兩種三角函數(shù)形式。
澤尼克項
下面給出了48項澤尼克多項式，外加一項常數(shù)項。需要注意的是，讀者并不需要嚴格按照下文所示的順序排列這些澤尼克項，實際上在不同的應用和機構會采用不同的排列順序。
表中的#0項是個常數(shù)或者說是平移項（pistonterm），這一項的系數(shù)也代表了平均光程差；而#1和#2項分別是x和y方向的傾斜項（tiltterms），#3代表了聚焦，因此，#1到#3項代表了波前的高斯或者近軸特性；#4和#5項代表了像散和離焦，#6和#7項代表彗差和傾斜，而#8項代表了3級像差和離焦，也就是說#4到#8項為3級相差項；同樣地，#9到#15項代表了5級像差，而#16到#24項代表了7級像差，#25到#35項代表了9級像差，#36到#48項代表了11級像差。
2.1極坐標形式的澤尼克多項式
2.1 笛卡爾坐標系下的澤尼克多項式
2.1 OSC澤尼克多項式
很多早期的用澤尼克多項式來對干涉圖樣做計算機分析的工作，是在上個世紀七十年代，由亞利桑那大學光學科學中心（OSC，OpticalSciences Center）的JohnLoomis進行的。OSC澤尼克多項式采用了n從1到5，以及n=6，m=0的項。n=m=0的常數(shù)項（pistonterm）也用來做干涉圖樣分析，但是這一項并不包含在澤尼克多項式中。因此，OSC澤尼克多項式包含36項，外加一項平移項（pistonterm）。這也是在光學設計軟件OSLO和CodeV中采用的形式。澤尼克多項式的圖形
- n=1～6，m=0時的澤尼克多項式的三維圖
- 像散：2x2-ay2，其中a∈(-4,4)
- 彗差：2ρ2x+ax，其中a∈(-5,3)； 2ρ2x+ay，其中a∈(-4,4)
- 球差和離焦：ρ2(2ρ2+1.3a)，其中a∈(-5,3)
- 前36個澤尼克多項式
澤尼克多項式常用于干涉測試，而光學設計人員用的更多的則是賽德爾像差多項式。
澤尼克多項式和賽德爾像差
波前的初級和3級像差系數(shù)可以用澤尼克多項式來表示。我們將波前函數(shù)用澤尼克項的Z0～Z8這九項來表示成如下形式：
這些澤尼克項和像差的對應關系見表四。
表四：前9個澤尼克項和像差的對應關系
Z0 | 平移（piston） |
Z1 | x軸傾斜 |
Z2 | y軸傾斜 |
Z3 | 離焦 |
Z4 | 像散@ 0° & 離焦 |
Z5 | 像散@ 45° & 離焦 |
Z6 | 彗差 & x軸傾斜 |
Z7 | 彗差 & y軸傾斜 |
Z8 | 球差 & 離焦 |
繼續(xù)將上述波前函數(shù)改寫成如下形式：
W(ρ, θ ) = W11 cosθ +W20 ρ2
+ W40 ρ4 + W31 ρ3 cosθ +W22 ρ2 cos2θ
由于這些澤尼克項中與視場無關，它們并非真正的賽德爾像差。用干涉測試的方法智能得到單個視場點的波前數(shù)據(jù)。這使得場曲看上去像離焦，而畸變看上去像傾斜。因此，要得到賽德爾像差，就必須測量一定數(shù)量的視場點。
我們可以按照初級和3級像差的形式繼續(xù)改寫上述波前函數(shù)，也就是合并同類項，并用波前相差系數(shù)做等價替換，結果如下：
W(ρ, θ' ) = Z0-Z3 +Z8平移（Piston）
+ (Z1 - 2Z6 )ρcosθ' + (Z2 - 2Z7 ) ρ sinθ'傾斜（Tilt）
+(2Z3 - 6 Z8 + Z4cos2θ‘ +Z5sin2θ' )ρ2離焦+像散（focus+ astigmatism）
+3(Z6cosθ’ + Z7sinθ‘)ρ3彗差（coma）
+6Z8ρ4球差（Spherical）
對上式中做如下恒等變換：
便可得到如下所示的視場無關的波前相差系數(shù)：
表五列出了上述視場無關像差多項式的度量（Magnitude），符號和角度（Angle）。注意離焦項的符號選擇原則是使得其系數(shù)的數(shù)值最小，像散符號的選取則相反。
表五：用澤尼克多系數(shù)表示的3級像差
注意：在計算角度值（表中的Angle）的時候，如果分母<0，angle ← angle+ 180°
波前差的RMS值和P-V值如果波前像差可以用3級像差多項式來表示的話，我們就可以很方便地用每種3級像差所反映出來的波數(shù)來描述波前像差。這種方法在僅有一種3級像差存在的情況下尤為方便。而對于更加復雜一些的波前像差，我們也可以很方便地得出其波前的P-V（peak-to-valley）值（有時候也叫做P-P值），其數(shù)值就是實際波前和理想波前之間的最大偏差，包括正向和負向兩個方向。比如，如果正向的波前最大偏差⒑+0.2波長，負向最大的波前偏差為-0.1波長，那么這個波前差的P-V值就是0.3波長。
雖然用P-V值來描述一個波前質(zhì)量很簡單方便，但缺容易引起誤導。一個波前差的P-V值比較大的光學系統(tǒng)的實際性能有可能會優(yōu)于一個波前差的P-V值相對比較小的系統(tǒng)。這樣，用RMS波前差來描述波前質(zhì)量會更有意義一些。
下述方程定義了圓形光闌下的波前差σ及其方差σ2。ΔW ( ρ, θ)是相對于理想球面波的偏差，其單位通常為波長數(shù)。ΔW是平均波前光程差（OPD）。
62）
如果將波前像差用澤尼克多項式的形式表示的話，波前差的方差就可以很簡單地通過澤尼克多項式的正交關系計算出來。最終的結果（單位圓形區(qū)域）如下：
（63）表五給出了圓形光闌下的波前差σ和平均波前像差之間的關系。公式（62）可以用來計算表五中給出的值的σ值。而一般的3級像差就可以通過澤尼克多項式的簡單線性組合表示，然后使用公式（63）計算波前差的方差。
