愛華網(wǎng)相信學(xué)過數(shù)學(xué)分析的朋友都有這樣的經(jīng)驗，講到實數(shù)系基本定理的時候，只看到若干定理相互推導(dǎo)，好像誰都可以來充當(dāng)公理，結(jié)果就被搞得一頭霧水，根本不知道它想要干什么。其實，實數(shù)系并不是討論這些問題的理想舞臺，這些內(nèi)容得到點集拓撲與泛函分析中才能夠講清楚，現(xiàn)在勉強放到實數(shù)當(dāng)中，只會導(dǎo)致很多無謂的技術(shù)負擔(dān)。
實際上，實數(shù)系基本定理主要就是討論它的完備性與局部緊致性，與完備性有關(guān)的定理有確界原理、單調(diào)有界定理和Cauchy收斂原理，涉及緊致性的定理則有區(qū)間套定理、致密性定理與有限覆蓋定理。
關(guān)于實數(shù)的這些基本定理，總結(jié)起來就是一句話，實數(shù)系在分析上是完備的，直觀來看就是沒有“洞”的。有人也許會說，中學(xué)時我就知道實數(shù)就是直線，直線當(dāng)然是沒有“洞”的，還用得著這么啰嗦嗎？實際上，這里有一個邏輯循環(huán)，只有先肯定實數(shù)沒有“洞”，才能夠把它等同于直線，初等數(shù)學(xué)就這樣默認了直觀的前提，但是在分析學(xué)中就得往前研究，討論一下這里的沒有“洞”到底是怎么回事。
對于完備性的刻畫，通常是以Cauchy收斂原理作為定義的模板。它的意思就是說如果數(shù)列本身已經(jīng)滿足了必須收斂的良好條件（Cauchy列），假若它竟然還不收斂，那唯一的可能性就是相應(yīng)的背景是有“洞”，最后的極限不幸掉到了“洞”里，因此我們看不見了。而Cauchy收斂原理就是說，在實數(shù)中不會出現(xiàn)這樣奇怪的情況。假若我們故意在實數(shù)上挖一個洞{0}，那么在R*=R{0}考慮的話，數(shù)列{1/n}盡管也是Cauchy列，但它卻是不收斂的（盡管我們可以從“洞”重新挖出極限點0，但是卻發(fā)現(xiàn)它并不在我們所設(shè)定的舞臺R*上）。
對于這個問題，確界原理是從整體上進行考慮的，不知不覺就把“洞”排擠到了邊緣處，保證不能讓最后的上確界（或下確界）掉進“洞”里。而單調(diào)有界定理則是從局部考慮，先在邊緣處把一頭堵住，然后在不斷逼近的過程中保證數(shù)列最后無“洞”可逃。比如在上面的R*中，非空集（0,1）的下確界就不幸掉進洞里了，而數(shù)列{1/n}盡管遞減有下界，但是其極限卻也是逃到了洞里。請讀者自己考慮有理數(shù)Q的情形，它上面的“洞”可以R*多得多??！
下面我們來看緊致性，它是比完備性更強的概念，不僅要求沒有洞，而且還需要一定的有限性。事實上，在泛函分析中有這樣一個結(jié)論：度量空間的緊致性等價于完備性與完全有界性，而在有限維空間中完全有界性就是有界性（反之考慮可分Hilbert空間的標準正交基），因此實數(shù)上的完備性其實就是局部的緊致性。而實數(shù)系傷問題往往帶著有界（特別是Cauchy）之類條件，因此總是可以在局部轉(zhuǎn)化為緊致的形式。
緊致性的模板就是有限覆蓋定理，對此可以從閉區(qū)間不相交更加嚴格這個角度來理解，舉例來說就是(0,1)與（1,2）可以不交，但換成它們的閉包（相應(yīng)的閉區(qū)間）就必須相交了，因此就必須拉開距離，正是這個距離導(dǎo)致了最后覆蓋的有限性。事實上，這個定理就是溝通有限與無限的主要工具，在拓撲學(xué)和幾何學(xué)中要大用特用，只是在直線上談覆蓋實在是太勉為其難了！
緊致性的一個具體表現(xiàn)就是致密性定理（或者說更一般的聚點定理），本質(zhì)就是要保證有界數(shù)列（無限點集）的極限點的存在性。直觀上看，由于緊致的高度壓縮，而點又沒有“洞”可以逃避，因此極限總是必然存在的。實際上，拓撲學(xué)中緊性與相應(yīng)極限的存在性是等價的，只是不過那里的極限是網(wǎng)的極限，幸好實數(shù)滿足第一可數(shù)公理，因此就可以用序列極限來代替。
對于緊致性的有限覆蓋刻畫，我們可以取其補集形式，也就是有限交非空的閉集族的交非空，要是再加上實數(shù)的局部性考慮，就可以劃歸為連通的有界閉鄰域，也就是大家熟悉的閉區(qū)間了，因此就自然導(dǎo)出了區(qū)間套定理。實際上，我倒是覺得區(qū)間套定理是說明實數(shù)無“洞”的最形象的表現(xiàn)，比如還是在R*上來看，區(qū)間列{[-1/n,1/n]}就沒有能夠套住任何點，因此R*不是完備的！在拓撲學(xué)中，這樣類似區(qū)間套式的結(jié)構(gòu)被稱為濾子，它與網(wǎng)一樣都是極限在（不一定滿足第一可數(shù)公理的）拓撲空間中的推廣，因此致密性定理與區(qū)間套定理實際上就是網(wǎng)與濾子收斂的等價性在實數(shù)上的具體表現(xiàn)。
對于初學(xué)者而言，只要對實數(shù)系基本定理了解個大致框架，對完備性與緊致性有個直觀印象，能夠比較一些有洞與無洞具體例子，基本上也就足夠了。至于這些形式化的證明推導(dǎo)，則是大可不必過于深究，正如文章中所提到的那樣，詳細的內(nèi)容會在點集拓撲與泛函分析中研究，到時候這些看似麻煩的大定理實際上就只是一些平凡的推論而已。
數(shù)學(xué)分析的困難很多都是人為的啊，請看博文：數(shù)學(xué)分析為什么那么難學(xué)
