愛華網(wǎng)徐輝
知數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一，這部分內(nèi)容往往會(huì)作為比較難的題目出現(xiàn)，需要結(jié)合函數(shù)知識，通過引入輔助數(shù)列，利用等差等比數(shù)列的定義，綜合應(yīng)用迭加、迭乘、待定系數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)換等方法與思想進(jìn)行求解.下面我們通過舉例來加以說明.
1．遞推公式為型
若遞推公式為型，其中，數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列。解此種類型數(shù)列，可對等式兩邊同時(shí)取對數(shù)，得，進(jìn)而可知，即數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列知識寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例1．已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式.
解：在等式兩邊取對數(shù)得，即
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2 為公比的等比數(shù)列，
故
.
２．遞推公式為型
若遞推公式為型，則只需將原遞推公式化為，再以迭加法可知，于是．
例２．已知數(shù)列滿足，求.
解：由題得,
所以有，，…，
上述各式迭加可得
即，．
故．
３．遞推公式為型
若遞推公式為型，則只需將原遞推公式化為，再以迭乘法即可知，于是．
例３．已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式.
解：由,得
則，, …，
上述各式迭乘可得
即，.
故.
4．遞推公式為型
若遞推公式為型，其中、為常數(shù)且，則只需把原遞推公式化為（此式可化為，與遞推公式比較可得），則數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列，于是數(shù)列的通項(xiàng)可知，從而可知數(shù)列的通項(xiàng)公式．
例４．已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式．
解：令，與比較，可得，
于是：可寫為，即，
再由知：數(shù)列是以2為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，
故，
從而．
5．遞推公式為型
若遞推公式為，其中、為常數(shù)，，則只需把原遞推公式兩邊同除以得，再令，則原遞推公式可化為，從而此類型題可化為前一類型求解．
例５．已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式．
解：在原遞推式兩邊同除以得：
令，則
上式可寫為：，
再由，知，
從而數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列
故，
，
故．
6．遞推公式為型
若遞推公式為，其中、為常數(shù)且，只需把原遞推公式化為（此式可化為，與比較可知，于是Ａ，Ｂ可知），從而此類型題可化為前一種類型求解．
例６．已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式．
解：設(shè)
與比較可知：，解得或
①若，則
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列
所以
故，，…，
由迭加法可得：
從而．
②若，則，即數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，
從而，由知：
則
但由知：
而，故這種情況不符合題意，應(yīng)舍去．
綜上所述，數(shù)列通項(xiàng)公式為．
從以上幾例可以看出，已知數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng)，需首先考察遞推公式的類型，然后根據(jù)類型的不同，選用合適的解題方法。在數(shù)學(xué)解題的過程中，只有有的放矢的進(jìn)行求解，才能提高解題的速度與正確率，取得比較好的解題效果。
