讀書(shū)志第一千四百八十一部·《詳解九章算法》

《詳解九章算法》，《詳解九章算法》，是一部數(shù)學(xué)著作，為南宋末年楊輝所撰。

楊輝，字謙光，錢(qián)塘(今浙江杭州》人，其生平事跡、生卒年月則無(wú)可詳考。只能由一些有關(guān)著述推測(cè)其某些行蹤。楊輝《日用算法》之陳幾先序稱(chēng)：“錢(qián)塘楊輝以廉飭已，以儒飾吏，吐胸中之靈機(jī)，續(xù)前賢之奧旨?！币来丝芍瑮钶x可能在南宋擔(dān)任過(guò)某些地方官吏，又由《田畝比類(lèi)乘除捷法》卷上五次引用臺(tái)州(今浙江臨?？h)量田圖來(lái)猜測(cè)．楊輝可能在臺(tái)州工作過(guò)。再根據(jù)楊輝《續(xù)古摘奇算法》卷上稱(chēng)：“輝伏睹京城見(jiàn)用官斛號(hào)杭州百合，浙郡一體行用。”其卷下稱(chēng)：“輝因到姑蘇，有人求三七差分，繼答之?！笨梢?jiàn)楊輝足跡曾遍歷蘇、杭。

楊輝生平事跡雖然知道甚少，但其著作流傳至今者卻較磊，共有五種二十一卷，即：《詳解九章算法》十二卷，宋理宗景定二年(1261年)；《日用算法》二卷，宋理宗景定三年(1262年)；《乘除通變本末》三卷，宋度宗咸淳十年(1274年)；《田畝比類(lèi)乘除捷法》二卷，宋恭宗德祜元年(1275年)；《續(xù)古摘奇算法》二卷，宋恭宗德韋占元年(1275年)。其前兩種乃是楊輝早年著述，其后期所作三種一般稱(chēng)之為《楊輝算法》。

楊輝《詳解九章算法》序稱(chēng)：“輝雖慕此書(shū)，未能貫理，妄以淺也。聊為編述，擇八十題以為矜式，自余一百六十六問(wèn)，無(wú)出前意，不敢廢先賢之文，刪留題次，習(xí)者可以聞一知十，……，凡題法解白不明者，別圖而驗(yàn)之，編乘除諸術(shù)，以便入門(mén)，篡法問(wèn)類(lèi)次見(jiàn)之章末，總十有二卷”?？梢?jiàn)現(xiàn)傳本已面目全非，除保留有“篡類(lèi)”外，而“篡類(lèi)”雖附合楊輝原意，但其“圖”及“乘除算法”今已不存，且次序也非原貌。從楊輝《詳解九章算法》編排上看，首先，是解題，即是對(duì)《九章》原題作詳細(xì)解釋?zhuān)械膭t輔以評(píng)論和?？?；其次，即是細(xì)草，或叫圖草，先列算法，后列算草，有圖附圖，有表附表，如楊輝說(shuō)“以圖參法，取用可知”；最后，即是比類(lèi)，一方面列出與原算法相同的例題，一方面列出與原算法可比擬的例題。例如在商功章給予六道比擬的垛積題，即

S=a×b+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+……+c×d.

=h／6E(2b+d)a+(2d+b)c]+h／6(c—a)．

S=1²+2²+3²+……+n²一n／3(n+1)(n+1／2)．

S=a²+(a+1)²+(a+2)²+……+b²

=h／3{a²+b²十a(chǎn)b+(b—a)／2}．

S=1+3+6+10+……+n(n+1)／2.

=1／6n(n+1)(n+2)．

等。雖然楊輝給出六道垛積題，但基本上都是沈括“隙積術(shù)”的特例。在楊輝其他算書(shū)中，也有垛積題即高階等差級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題，如清代顧觀光說(shuō)：“堆垛之術(shù)詳于楊氏(楊輝)、朱氏(朱世杰)二書(shū)，而創(chuàng)始之功，斷推沈氏(沈括)?！?/p>

楊輝《詳解九章算法篡類(lèi)》序說(shuō)：“向獲善本，……，以魏景元元年劉徽等……注釋?zhuān)ニ斡野?殿)直賈憲撰草?！笨芍獥钶x曾參考過(guò)劉徽及李淳風(fēng)對(duì)《九章》的注文，也參考過(guò)賈憲的著作《黃帝九章算法細(xì)草》。賈憲是北宋天算家楚衍之弟子，活動(dòng)于北宋乾興、皇祐年間，著有《算法敦古集》二卷和《黃帝九章算法細(xì)草》九卷，此二書(shū)均已失傳，幸喜楊輝在《詳解九章算法》引錄賈憲之說(shuō)，才使賈憲學(xué)說(shuō)得以流傳。

楊輝在《篡類(lèi)》中所引賈憲之說(shuō)有：“賈憲立成釋鎖平方法”，“增乘開(kāi)平方法”，“賈憲立成釋鎖立方法”，“增乘(開(kāi)立)方法”。其中“釋鎖”可能是宋元數(shù)學(xué)家解數(shù)字方程的代名詞，而“立成”，可能是根據(jù)某種數(shù)表進(jìn)行計(jì)算的意思?！傲⒊舍屾i平方法”和“立成釋鎖立方法”可能是依據(jù)某種數(shù)表解方程的方法。在楊輝《篡類(lèi)》中，記載有賈憲“開(kāi)方作法本源”圖，一般稱(chēng)為“賈憲三角”。楊輝注說(shuō)：“出《釋鎖》算書(shū)，賈憲用此術(shù)”。依此推斷所謂“釋鎖開(kāi)平方法”，“釋鎖開(kāi)立方法”實(shí)際就是傳統(tǒng)開(kāi)方法，而“增乘開(kāi)方法”，是引進(jìn)新開(kāi)平方、開(kāi)立方法，也就是隨乘隨加的開(kāi)方法；其解法理論、步驟與英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納(W．G．Horner)于一八一九年提出的解法完全一致。賈憲卻比霍納早七百多年，而秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中系統(tǒng)總結(jié)的增乘開(kāi)方法，也比霍納早五百余年。

至于“開(kāi)方作法本源”圖，是中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要組成部分，不但可以進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算，在后世從而導(dǎo)出許多垛積問(wèn)題。因此，應(yīng)該稱(chēng)為“賈憲三角”。而伊斯蘭國(guó)家數(shù)學(xué)家阿爾·卡西(A1一Kashi)在其《算術(shù)之鑰》(1427年)曾記錄這一三角；在西方，德國(guó)阿披亞納斯(P．Apianus)于1527年也記錄這一三角；法國(guó)數(shù)學(xué)家巴斯嘉(B．Pascal)于1653年才記載這一三角，而西方一般稱(chēng)之為“巴斯嘉三角”，這是一種誤稱(chēng)，理應(yīng)予以糾正。

評(píng)：《詳解九章算法》出，楊輝數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)殊。

五種著作傳后世，“賈憲三角”幸引錄。

六道比擬垛積題，發(fā)展沈括“隙積術(shù)”。

“開(kāi)方作法本源”圖，垛積問(wèn)題多導(dǎo)出。

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