愛華網(wǎng)讀書志第一千四百八十二部·《楊輝算法》
《楊輝算法》包括《乘除通變本末》三卷，《田畝比類乘除捷法》二卷，《續(xù)古摘奇算法》二卷；其中《乘除通變本末》之上卷稱為《乘除通變算寶》，其中卷稱為《乘除通變本末》，其下卷稱為《算法取用本末》；上、中卷為楊輝自撰，下卷則是與史仲榮合撰?！稐钶x算法》共有七卷。作者事跡參見《讀書志第一千四百八十一部·<詳解九章算法>》。
在《楊輝算法》之《續(xù)古摘奇算法》中，楊輝轉(zhuǎn)錄《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題，還補(bǔ)出四道類似題，并說這類題為“俗名秦王暗點(diǎn)兵，猶覆射之術(shù)”。他稱這類題解法，即一次同余式組的解法為“翦管術(shù)”。只給出每一題的具體解法，未曾給出一次同余式的一般解法。
若表示以現(xiàn)代形式，這四題分別是：
N≡2(rood 3) ≡3(mod 5) ≡0(mod 7)，
N≡l(mod 7) ≡2(mod 8) ≡3(mod 9)，
N≡3(mod ll) ≡2(mod l2) ≡1(mod l3)，
N≡l(rood 2) ≡2(mod 5) ≡3(mod 7) ≡4(mod 9)。
楊輝雖然未能象秦九韶一樣給出一般解法，但這四題的算法都正確無誤。而且還把《孫子算經(jīng)》三問數(shù)推廣至四問數(shù)，這就是楊輝的一點(diǎn)創(chuàng)新。
縱橫圖是組合數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要內(nèi)容，三階縱橫圖在中國產(chǎn)生很早，而四至十階縱橫圖卻是楊輝所創(chuàng)，《續(xù)古摘奇算法》卷上，給出各階縱橫圖造術(shù)方法，如三階縱橫圖造術(shù)法為：“九子斜排(圖1)，上下對易(圖2)，左、右相更(圖3)，四維挺出(圖4)，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足?！?/p>
199492
424242
753753357357
868686
911816
（圖1）（圖2）（圖3）（圖4）
這方法日人稱為“配列方法”。其次，楊輝也提出四階縱橫圖造術(shù)方法，即“以十六子依次第作四行排列，先以外四角對換，(一換十六．四換十三。)復(fù)以內(nèi)四角對換，(六換十一，以七換十。)橫直上下斜角，皆三十四數(shù)”。
即圖5—7：
139 5149516495 16
14 106214 106214 711 2
15 117315 117315 610 3
16 12841 128131 128 13
（圖5）（圖6）（圖7）
以上都是“單式縱橫圖”造術(shù)法，楊輝還提出“復(fù)式縱橫圖”造術(shù)法。在一定程度上，這些方法可以推廣，楊輝不但創(chuàng)造了“九九圖”，還創(chuàng)造了“百子圖”及圓形的“攢九圖”。這些都是前人所未曾論及的工作。
劉益，其生平事跡很難稽考，楊輝認(rèn)為他是中山(今河北定縣一帶)人，至于其活動年代，可能是北宋中期以前時代的人，楊輝于《田畝比類乘除捷法77序稱：“中山劉先生作《議古根源》”?！蹲h古根源》一書早已失傳，楊輝又說該書“引用帶縱開方正負(fù)損益之法，前古之所未聞也。”還于《算法通變本末》中說：“劉益以勾股之術(shù)，治演段鎖方，撰《議古根源》二百問，帶益隅開方，實(shí)冠前古?！笨梢姟蹲h古根源》是在方程論方面有突出貢獻(xiàn)的著作，其中一部分內(nèi)容當(dāng)被楊輝所采用，經(jīng)查對，在《田畝比類乘除捷法》中，曾采用劉益二百問之二十二問，計(jì)有：
X2—12x=864．
一5x2+228x=2592．
一5x4+52x3+128x2=4096，
等。劉益不但突破未知項(xiàng)系數(shù)必需為正的限制，也取消了二次項(xiàng)系數(shù)必需為l的限制，在解法方面，劉益還提出“益積術(shù)”、“減從術(shù)”兩種方程解法。雖然《議古根源》早已散失，但可以通過楊輝的工作，了解到劉益的一些貢獻(xiàn)。正如楊輝說：“輝擇可作關(guān)鍵題問者，重為譯悉著述，推廣垂訓(xùn)劉君之意”。
在《續(xù)古摘奇算法》卷下，楊輝指出，《海島算經(jīng)》“實(shí)《九章》勾股之遺法也，迄今千余載間，唐李淳風(fēng)而續(xù)算草，未聞解白作法之旨者。輝嘗置海島小圖于座右，乃見先賢作法之萬一，……，今將《孫子》度影量竿題問，引用詳解，以驗(yàn)小圖”。楊輝以《孫子算經(jīng)》“度影量竿”兩問為例，并用“股中容橫，勾中容直”原理，論證計(jì)算島高及島遠(yuǎn)重差公式之造術(shù)，也為研治古算樹立良好榜樣。
在《楊輝算法》中，為好學(xué)易懂，不但配備許多題圖，還編撰多首詩歌，并創(chuàng)立各種簡明算法，幾成為楊輝算書之特色。例如《乘除通變本末》有“求一乘”、“求一除”詩歌，今照錄如下：
“求一乘”：五六七八九，倍之?dāng)?shù)不走，二三須當(dāng)半，遇四兩折扭。倍折本從法，實(shí)即反其有，用加以代乘，斯數(shù)足可守。
“求一除”：五六七八九，倍之?dāng)?shù)不走，二三須當(dāng)半，遇四兩折扭。倍折本從法，為除積相就，用減以代除，定位求如舊。
評：《楊輝算法》括三書，編撰詩歌配題圖。
“物不知數(shù)”補(bǔ)四題，同余式組“翦管術(shù)”。
三階四階縱橫圖，創(chuàng)造“九九” “百子圖”。
采用劉益二百問，度影量竿驗(yàn)小圖。
