四色定理是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理，如果在平面上劃出一些鄰接的有限區(qū)域，那么可以用四種顏色來(lái)給這些區(qū)域染色，使得每?jī)蓚€(gè)鄰接區(qū)域染的顏色都不一樣；另一個(gè)通俗的說(shuō)法是每個(gè)地圖都可以用不多于四種顏色來(lái)染色，而且沒(méi)有兩個(gè)鄰接的區(qū)域顏色相同。被稱(chēng)為鄰接的兩個(gè)區(qū)域是指它們有一段公共的邊界，而不僅僅是一個(gè)公共的交點(diǎn)。例如右圖左下角的圓形中，紅色部分和綠色部分是鄰接的區(qū)域，而黃色部分和紅色部分則不是鄰接區(qū)域。

四色定理_四色定理 -基本介紹

四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想、四色定理是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。地圖四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英國(guó)大學(xué)生提出來(lái)的。德?摩爾根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密頓的一封信提供了有關(guān)四色定理來(lái)源的最原始的記載。他在信中簡(jiǎn)述了自己證明四色定理的設(shè)想與感受。一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)家們?yōu)樽C明這條定理絞盡腦汁所引進(jìn)的概念與方法刺激了拓?fù)鋵W(xué)與圖論的生長(zhǎng)、發(fā)展。1976年美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾K.Appel與哈肯W.Haken宣告借助電子計(jì)算機(jī)獲得了四色定理的證明又為用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理開(kāi)拓了前景。

地圖四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英國(guó)大學(xué)生提出來(lái)的。四色問(wèn)題的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域每一個(gè)區(qū)域總可以用1234這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。”這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。四色問(wèn)題的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！币簿褪钦f(shuō)在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來(lái)標(biāo)記就行

四色定理_四色定理 -發(fā)展歷史

來(lái)自地圖的啟示

相傳四色問(wèn)題是一名英國(guó)繪圖員提出來(lái)的此人叫格思里。1852年他在繪制英國(guó)地圖的發(fā)現(xiàn)如果給相鄰地區(qū)涂上不同顏色那么只要四種顏色就足夠了。需要注意的是任何兩個(gè)國(guó)家之間如果有邊界那么其邊界不能只是一個(gè)點(diǎn)否則四種顏色就可能不夠。

格思里把這個(gè)猜想告訴了正在念大學(xué)的弟弟。弟弟認(rèn)真思考了這個(gè)問(wèn)題結(jié)果既不能證明也沒(méi)有找到反例于是向自己的老師、著名數(shù)學(xué)家德?摩根請(qǐng)教。德?摩根解釋不清當(dāng)天就寫(xiě)信告訴自己的同行、天才的哈密頓?？墒侵钡焦茴D1865年逝世為止也沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題。從此這個(gè)問(wèn)題在一些人中間傳來(lái)傳去當(dāng)時(shí)三等分角和化圓為方問(wèn)題已在社會(huì)上“臭名昭著”而“四色瘟疫”又悄悄地傳播開(kāi)來(lái)了。

問(wèn)題的證明一波三折

1878年凱萊正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題。凱萊可是英國(guó)響當(dāng)當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)家他看中的問(wèn)題必定不同凡響。消息傳到了律師肯普的耳朵里引起了他的極大興趣。不到一年肯普就提交了一篇論文聲稱(chēng)證明了四色問(wèn)題。人們以為事情到此就已經(jīng)完結(jié)了。誰(shuí)知到1890年希伍德在肯普的文章中找到一處不可饒恕的錯(cuò)誤。

不過(guò)讓數(shù)學(xué)家感到欣慰的是希伍德沒(méi)有徹底否定肯普論文的價(jià)值運(yùn)用肯普發(fā)明的方法希伍德證明了較弱的五色定理。這等于打了肯普一記悶棍又將其表?yè)P(yáng)一番總的來(lái)說(shuō)是貶大于褒。真不知可憐的肯普律師是什么心情。 追根究底是數(shù)學(xué)家的本性。一方面五種顏色已足夠另一方面確實(shí)有例子表明三種顏色不夠。那么四種顏色到底夠不夠呢？這就像一個(gè)淘金者明明知道某處有許多金礦，結(jié)果卻只挖出一塊銀子你說(shuō)他愿意就這樣回去嗎？

接下去的戲就得由閔可夫斯基來(lái)演了。這里得說(shuō)他幾句好話(huà)他雖然沒(méi)有成功可自認(rèn)第一流倒也并非自不量力。要知道19世紀(jì)末20世紀(jì)初德國(guó)格丁根大學(xué)能成為世界數(shù)學(xué)中心就是由于他和希爾伯特、克萊因“三巨頭”的努力。四色瘟疫在英國(guó)蔓延時(shí)還真沒(méi)有一個(gè)研究過(guò)它的數(shù)學(xué)家比得上閔可夫斯基。

令閔可夫斯基尷尬的一堂課

19世紀(jì)末德國(guó)有位天才的數(shù)學(xué)教授叫閔可夫斯基他曾是愛(ài)因斯坦的老師。愛(ài)因斯坦因?yàn)榻?jīng)常不去聽(tīng)課便被他罵作“懶蟲(chóng)”。萬(wàn)萬(wàn)沒(méi)想到就是這個(gè)“懶蟲(chóng)”后來(lái)創(chuàng)立了著名的狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論。閔可夫斯基受到很大震動(dòng)他把相對(duì)論中的時(shí)間和空間統(tǒng)一成“四維時(shí)空”這是近代物理發(fā)展史上的關(guān)鍵一步。

在閔可夫斯基的一生中把愛(ài)因斯坦罵作“懶蟲(chóng)”恐怕還算不上是最尷尬的事…… 一天閔可夫斯基剛走進(jìn)教室一名學(xué)生就遞給他一張紙條上面寫(xiě)著“如果把地圖上有共同邊界的國(guó)家涂成不同顏色那么只需要四種顏色就足夠了您能解釋其中的道理嗎”

閔可夫斯基微微一笑對(duì)學(xué)生們說(shuō)“這個(gè)問(wèn)題叫四色問(wèn)題是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。其實(shí)它之所以一直沒(méi)有得到解決僅僅是由于沒(méi)有第一流的數(shù)學(xué)家來(lái)解決它?！?為證明紙條上寫(xiě)的不是一道大餐只是小菜一碟閔可夫斯基決定當(dāng)堂掌勺問(wèn)題就會(huì)變成定理……

下課鈴響了可“菜”還是生的。一連好幾天他都掛了黑板。后來(lái)有一天閔可夫斯基走進(jìn)教室時(shí)忽然雷聲大作他借此自嘲道“哎上帝在責(zé)備我狂妄自大呢我解決不了這個(gè)問(wèn)題。”

緩慢的進(jìn)展

當(dāng)時(shí)由大數(shù)學(xué)家黎曼、康托爾、龐加萊等創(chuàng)立的拓?fù)鋵W(xué)之發(fā)展可謂一日千里后來(lái)竟蓋過(guò)大數(shù)學(xué)家高斯寵愛(ài)的數(shù)論成為雍容華貴的數(shù)學(xué)女王。四色問(wèn)題就是屬干拓?fù)鋵W(xué)范疇的一個(gè)大問(wèn)題。拓?fù)鋵W(xué)不僅引進(jìn)了全新的研究對(duì)象也引進(jìn)了全新的研究方式。對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)它不啻是一場(chǎng)革命。 回顧拓?fù)鋵W(xué)的歷史就可以說(shuō)明為什么四色問(wèn)題對(duì)于20世紀(jì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是重要的。通俗地說(shuō)連續(xù)變換就是你可以捏、拉一個(gè)東西但不能將其扯破也不能把原先不在一起的兩個(gè)點(diǎn)粘在一起。比如對(duì)于26個(gè)大寫(xiě)英文字母一些拓?fù)鋵W(xué)家就認(rèn)為可將其分成3類(lèi)

第一類(lèi)ADOPOR

第二類(lèi)B

第三類(lèi)CEFGHlJKLMNSTUVWXYZ。

第一類(lèi)在連續(xù)變換下都可以變成O第三類(lèi)則都可變成I。

因?yàn)?是平面的色數(shù)它也是一種示性數(shù)可見(jiàn)示性數(shù)有很多種體現(xiàn)了平面的拓?fù)湫再|(zhì)與國(guó)家的形狀無(wú)關(guān)將平面彎成曲面也沒(méi)關(guān)系。數(shù)學(xué)家必須確定這個(gè)數(shù)究竟是5還是4這很重要。如果國(guó)家分布在一個(gè)環(huán)面上畫(huà)地圖最多得要七種顏色。

吊起數(shù)學(xué)家胃口的還有一個(gè)原因。乍一看環(huán)面似乎更復(fù)雜事實(shí)上環(huán)面的七色定理卻比較容易證明希伍德當(dāng)時(shí)就做到了到1968年其他所有復(fù)雜曲面的色數(shù)均已確定唯有平面或球面的四色問(wèn)題依然故我。看來(lái)平面沒(méi)有人們想象的那么簡(jiǎn)單

1913年伯克霍夫引進(jìn)了一些新的技巧導(dǎo)致1939年弗蘭克林證明22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年溫恩將22國(guó)提高為35。1968年奧爾又達(dá)到了39國(guó)。1975年有報(bào)道52國(guó)以下的地圖用四色足夠?？梢?jiàn)其進(jìn)展極其緩慢。

計(jì)算機(jī)幫助人們圓夢(mèng)

不過(guò)情況也不是過(guò)分悲觀(guān)。數(shù)學(xué)家希奇早在1936年就認(rèn)為討論的情況是有限的不過(guò)非常之大大到可能有10000種。對(duì)于巨大而有限的數(shù)，最好由誰(shuí)去對(duì)付？今天的人都明白：計(jì)算機(jī)。

從1950年起希奇就與其學(xué)生丟萊研究怎樣用計(jì)算機(jī)去驗(yàn)證各種類(lèi)型的圖形。這時(shí)計(jì)算機(jī)才剛剛發(fā)明。兩人的思想可謂十分超前。

1972年起黑肯與阿佩爾開(kāi)始對(duì)希奇的方法作重要改進(jìn)。到1976年他們認(rèn)為問(wèn)題已經(jīng)壓縮到可以用計(jì)算機(jī)證明的地步了。于是從1月份起他們就在伊利諾伊大學(xué)的IBM360機(jī)上分1482種情況檢查歷時(shí)1200個(gè)小時(shí)，作了100億個(gè)判斷最終證明了四色定理。在當(dāng)?shù)氐男欧馍仙w“Four colorssutfice”四色，足夠了的郵戳就是他們想到的一種傳播這一驚人消息的別致的方法。

人類(lèi)破天荒運(yùn)用計(jì)算機(jī)證明著名數(shù)學(xué)猜想應(yīng)該說(shuō)是十分轟動(dòng)的。贊賞者有之，懷疑者也不少，因?yàn)檎嬲_性一時(shí)不能肯定。后來(lái)也的確有人指出其錯(cuò)誤。1989年，黑肯與阿佩爾發(fā)表文章宣稱(chēng)錯(cuò)誤已被修改。1998年托馬斯簡(jiǎn)化了黑肯與阿佩爾的計(jì)算程序但仍依賴(lài)于計(jì)算機(jī)。無(wú)論如何四色問(wèn)題的計(jì)算機(jī)解決給數(shù)學(xué)研究帶來(lái)了許多重要的新思維。

四色定理_四色定理 -問(wèn)題影響

一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們?yōu)樽C明這條定理絞盡腦汁，所引進(jìn)的概念與方法刺激了拓?fù)鋵W(xué)與圖論的生長(zhǎng)、發(fā)展。在“四色問(wèn)題”的研究過(guò)程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧。如將地圖的著色問(wèn)題化為圖論問(wèn)題，豐富了圖論的內(nèi)容。不僅如此，“四色問(wèn)題”在有效地設(shè)計(jì)航空班機(jī)日程表，設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)的編碼程序上都起到了推動(dòng)作用。

四色定理_四色定理 -實(shí)際應(yīng)用

雖然任何平面地圖可以只用四個(gè)顏色著色，但是這個(gè)定理的應(yīng)用卻相當(dāng)有限，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中的地圖常會(huì)出現(xiàn)飛地，即兩個(gè)不連通的區(qū)域?qū)儆谕粋€(gè)國(guó)家的情況（例如美國(guó)的阿拉斯加州），而制作地圖時(shí)我們?nèi)詴?huì)要求這兩個(gè)區(qū)域被涂上同樣的顏色，在這種情況下，只用四種顏色將會(huì)造成諸多不便。

實(shí)際中用四種顏色著色的地圖是不多見(jiàn)的，而且這些地圖往往最少只需要三種顏色來(lái)染色。此外，即便地圖能夠只用四種顏色染色，為了區(qū)分起見(jiàn)，也會(huì)采用更多的顏色，以提示不同地區(qū)的差別。

四色定理_四色定理 -四色原理的一種邏輯證明

地圖上任何一個(gè)區(qū)域必將存在鄰域，且又通過(guò)鄰域與其他非鄰域發(fā)生間接聯(lián)系，我們可以將任何一個(gè)地圖以圖論圖形的表示出來(lái)。

假設(shè)存在一張至少需要m種著色的地圖，那么決定該地圖必須要用m種著色的條件有且只有一個(gè)，即該地圖至少存在這樣一個(gè)區(qū)域Q，與該區(qū)域相鄰的所有區(qū)域必須滿(mǎn)足m-1著色。首先滿(mǎn)足這個(gè)條件后，Q只能用第m種顏色，其次如果這個(gè)推論一是錯(cuò)誤的，對(duì)于m著色地圖不存在這樣的區(qū)域，那么地圖上任何一個(gè)區(qū)域的鄰域只能滿(mǎn)足少于m-1的著色，那么整個(gè)地圖勢(shì)必不需要m中顏色，這與假設(shè)相矛盾，所以這是一個(gè)充分必要條件。（推論一）

假設(shè)隨意取一張任意結(jié)構(gòu)的至少m著色的地圖M，其上滿(mǎn)足上述條件的區(qū)域有n個(gè)，那么將圖論圖形中的這n個(gè)區(qū)域及其與鄰域的關(guān)系線(xiàn)我們可以全部去掉，這樣我們就將構(gòu)建一個(gè)至少m著色地圖M的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)在至少需要m-1著色地圖上添加n個(gè)滿(mǎn)足推論一條件的區(qū)域問(wèn)題。

如果五著色地圖存在且能構(gòu)建成功，那么必然存在構(gòu)建這樣五著色的四著色模型圖，而要存在這樣的四著色模型圖必然存在構(gòu)建該四著色的三著色模型圖，同理要存在這樣的三著色模型圖必然要存在構(gòu)建它的二著色模型圖，那么我們來(lái)構(gòu)建一下五色圖是否存在：

二著色地圖是由一著色而來(lái)的一種簡(jiǎn)單的著色地圖模型，我們很容易得到滿(mǎn)足二著色的地圖僅有的兩種類(lèi)型的結(jié)構(gòu)，一種是不閉合的鏈狀結(jié)構(gòu)，如圖一；另一種是由第一種衍生出來(lái)的閉合的環(huán)狀結(jié)構(gòu)且環(huán)所聯(lián)系的區(qū)域?yàn)榕紨?shù)個(gè)，稱(chēng)為偶數(shù)環(huán)，如圖二。

我們看下二著色結(jié)構(gòu)特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，圖一圖二都是一個(gè)原理就是奇偶位置決定著色，任何兩個(gè)區(qū)域的任何聯(lián)系鏈條只有相隔偶數(shù)個(gè)區(qū)域才滿(mǎn)足兩區(qū)域著色不同，我們定義這兩個(gè)區(qū)域?yàn)榕几粲颉?/p>

我們隨意取一張任意結(jié)構(gòu)的二著色的地圖M，來(lái)構(gòu)建一個(gè)具有n個(gè)滿(mǎn)足推論一條件區(qū)域的地圖Q，構(gòu)建方式有且只有一個(gè)，就是在圖論圖形中我們?nèi)绾稳サ舻倪@n個(gè)區(qū)域及其與鄰域的關(guān)系線(xiàn)，我們接怎么給它添加回去。我們?nèi)稳∵@n個(gè)區(qū)域中一個(gè)區(qū)域q為例，只要我們?cè)贛地圖上將必須滿(mǎn)足二著色的幾個(gè)區(qū)域W直接聯(lián)系到q上，這樣就滿(mǎn)足推論一中的條件而使Q必須為三著色。而W要滿(mǎn)足二著色則必定含有偶隔域，如果W有x個(gè)區(qū)域和q發(fā)生直接聯(lián)系，則q上出去的關(guān)系線(xiàn)有x個(gè)，那么我們一定可以將該復(fù)雜的聯(lián)系分解成x-1個(gè)不可分解關(guān)系環(huán)，其中至少有一個(gè)不可再分的關(guān)系環(huán)是M中的偶隔域與q聯(lián)系的，（推論二）假設(shè)這個(gè)推論是錯(cuò)誤的，所有不可再分的環(huán)全部是奇隔域，那么這些環(huán)拼接回去時(shí)滿(mǎn)足每個(gè)小環(huán)的間隔區(qū)域數(shù)相加再減去共用的區(qū)域，仍舊是奇隔域，這樣W便不滿(mǎn)足二著色，所以這些不可再分環(huán)中一定有偶隔域和q發(fā)生聯(lián)系而構(gòu)成奇數(shù)環(huán)（環(huán)連的區(qū)域?yàn)槠鏀?shù)），并且導(dǎo)致q必須使用第三色的就是這些不可再分的奇數(shù)環(huán)。由于滿(mǎn)足二著色的只有偶隔域一種條件，那么構(gòu)造的三著色地圖中決定三著色的條件也只有一種，存在不可再分的奇數(shù)環(huán)。

在上面構(gòu)建的三色著色地圖Q基礎(chǔ)上我們?cè)賮?lái)構(gòu)建四著色地圖P，假如P存在滿(mǎn)足推論一條件的區(qū)域有k個(gè)，同樣的方法，我們?nèi)稳中一個(gè)區(qū)域p，只要我們?cè)赒地圖上將必須滿(mǎn)足三著色的幾個(gè)區(qū)域R直接聯(lián)系到q上，這樣就滿(mǎn)足推論一中的條件而使P必須為四著色。而R要滿(mǎn)足三著色則必定含有奇數(shù)環(huán)并且組成奇數(shù)環(huán)的區(qū)域都能夠與p發(fā)生聯(lián)系（保證奇數(shù)環(huán)沒(méi)有被包圍在其他閉合環(huán)內(nèi)的部分），如果R有y個(gè)區(qū)域和p發(fā)生直接聯(lián)系，則p上出去的關(guān)系線(xiàn)有y個(gè)，那么導(dǎo)致p為第四色原因是可發(fā)生聯(lián)系的奇數(shù)環(huán)，既只要有一個(gè)這樣的奇數(shù)環(huán)存在就一定會(huì)導(dǎo)致p使用第四色（推論三），假設(shè)這一推論不成立那么沒(méi)有這樣的奇數(shù)環(huán)存在，則由前面二著色建立三著色正經(jīng)得到，除了奇數(shù)環(huán)再?zèng)]有能使地圖為三著色的條件了，或者當(dāng)奇數(shù)環(huán)區(qū)域不能全部與p發(fā)生聯(lián)系，這樣p必然的不需要第四色了。故我們的推論三成立。由于三著色條件唯一而使得p四著色的條件唯一，我們來(lái)看四著色條件的特點(diǎn)，當(dāng)p與R發(fā)生聯(lián)系后，不管R有多少滿(mǎn)足條件的奇數(shù)環(huán)，勢(shì)必最終只能有包括p在內(nèi)的三個(gè)區(qū)域能與外界區(qū)域發(fā)生聯(lián)系。因?yàn)閜和R上的任何兩個(gè)區(qū)域都可以構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形，而當(dāng)我們選的R上這倆區(qū)域與p關(guān)系線(xiàn)是最外側(cè)的關(guān)系線(xiàn)時(shí)，則R上其他區(qū)域一定不能在三角形外，不然或造成以上兩根關(guān)系線(xiàn)不再是最外側(cè)或者有關(guān)系線(xiàn)出現(xiàn)交叉，所以R上剩馀區(qū)域必定在三角形內(nèi)而造成四著色圖最多只有三個(gè)區(qū)域能與外界發(fā)生聯(lián)系。

那么我們?cè)跇?gòu)建五著色地圖時(shí)，四著色結(jié)構(gòu)最多提供三種不同著色，不能滿(mǎn)足推論一的條件，而決定將無(wú)法構(gòu)建五著色地圖。

四色問(wèn)題的簡(jiǎn)單幾何圖形證明如下（對(duì)錯(cuò)不保證，如果方法錯(cuò)誤請(qǐng)刪除以下內(nèi)容）

0 這個(gè)證明是一個(gè)近似的證明。

1 對(duì)于二維平面，用無(wú)限分割三邊形來(lái)證明。（必須）

2 為了方便說(shuō)明，所有三邊形為相同大小的等邊三角形為例。（并非必須）

3 因?yàn)榈冗吶切巫疃嘀挥腥齻€(gè)邊，最多只能與三個(gè)相同的等邊三角形接壤，算上自己最多就是四種顏色復(fù)雜度，也不可能出現(xiàn)第五種！

4 而地圖上各個(gè)國(guó)家的邊界就是這些三角形邊的近似組成，而領(lǐng)土就是這些三角形的近似拼合。這些三角形同樣具備上述顏色屬性。

a 類(lèi)似的證明方法還有采用無(wú)限等邊多邊形分割等腰三角形的圓周率計(jì)算。

b 也有采用無(wú)限四邊形矩陣組合成的計(jì)算機(jī)屏幕上的像素，這些像素可以組合成任意幾何圖形。（圓的，方的，三角的，最好是失量圖。）

四色定理_四色定理 -另一種證明的思路

兩域相鄰就能只在這兩個(gè)域的范圍內(nèi)，畫(huà)出連接兩個(gè)域任意各一點(diǎn)的線(xiàn)，且其過(guò)這兩個(gè)域的公共邊。（公理1）

m著色成立的充要條件是存在其中m個(gè)域兩兩相鄰。（證其逆否命題可得，定理1）

一條公共邊只能同時(shí)屬于兩個(gè)域。（公理2）

公理1+公理2：如果兩條所述線(xiàn)相交（每?jī)蓚€(gè)域只畫(huà)一條），則一定有其中至少一條經(jīng)過(guò)了至少三個(gè)域。（推論1）

公理1+定理1+推論1：m著色成立的充要條件是存在m個(gè)域，各域中任意一點(diǎn)可兩兩相連不交叉。（推論2）

p能推出q，q也能推出p，則稱(chēng)p，q互為充要條件。（定義1）

推論2+定義1：在平面內(nèi)能找出m個(gè)點(diǎn)兩兩相連不相交，則m色原理成立。（推論3）

之后就發(fā)現(xiàn)四色原理其實(shí)和拓?fù)渲卸帱c(diǎn)兩兩連線(xiàn)不相交問(wèn)題本質(zhì)上是一致的。

結(jié)論就可以照搬了，平面或單曲面上是四色原理，莫比烏斯環(huán)上是七色原理……

愛(ài)華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/8103520103/123714.html