因子分析的基本目的就是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述許多指標(biāo)或因素之間的聯(lián)系，即將相關(guān)比較密切的幾個(gè)變量歸在同一類(lèi)中，每一類(lèi)變量就成為一個(gè)因子（之所以稱(chēng)其為因子，是因?yàn)樗遣豢捎^測(cè)的，即不是具體的變量），以較少的幾個(gè)因子反映原資料的大部分信息。運(yùn)用這種研究技術(shù)，我們可以方便地找出影響消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)、消費(fèi)以及滿意度的主要因素是哪些，以及它們的影響力（權(quán)重）運(yùn)用這種研究技術(shù)，我們還可以為市場(chǎng)細(xì)分做前期分析。

因子分析法_因子分析法 -基本介紹

1.主成分分析

主成分分析主要是一種探索性的技術(shù)，在分析者進(jìn)行多元數(shù)據(jù)分析之前，用他來(lái)分析數(shù)據(jù)，讓自己對(duì)數(shù)據(jù)有一個(gè)大致的了解，這是非常有必要的。主成分分析一般很少單獨(dú)使用：a、了解數(shù)據(jù)。（screening the data），b、和cluster analysis（聚類(lèi)分析）一起使用，c、和判別分析一起使用，比如當(dāng)變量很多，個(gè)案數(shù)不多，直接使用判別分析可能無(wú)解，這時(shí)候可以使用主成分對(duì)變量簡(jiǎn)化（reduce dimensionality），d、在多元回歸中，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)），還可以用來(lái)處理共線性。

1、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成各變量的線性組合。

2、主成分分析的重點(diǎn)在于解釋各變量的總方差，而因子分析則把重點(diǎn)放在解釋各變量之間的協(xié)方差。

3、主成分分析中不需要有假設(shè)（assumptions），因子分析則需要一些假設(shè)。因子分析的假設(shè)包括：各個(gè)共同因子之間不相關(guān)，特殊因子（specific factor）之間也不相關(guān)，共同因子和特殊因子之間也不相關(guān)。

4、主成分分析中，當(dāng)給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值是唯一的時(shí)候，主成分一般是獨(dú)特的；而因子分析中因子不是獨(dú)特的，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子。

5、在因子分析中，因子個(gè)數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動(dòng)設(shè)定，只要是特征值大于1的因子進(jìn)入分析），而指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果不同。在主成分分析中，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個(gè)變量就有幾個(gè)主成分。和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢(shì)。大致說(shuō)來(lái)，當(dāng)需要尋找潛在的因子，并對(duì)這些因子進(jìn)行解釋的時(shí)候，更加傾向于使用因子分析，并且借助旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助更好解釋。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個(gè)新的變量（新的變量幾乎帶有原來(lái)所有變量的信息）來(lái)進(jìn)入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析。當(dāng)然，這種情況也可以使用因子得分做到。所以這種區(qū)分不是絕對(duì)的。

在算法上，主成分分析和因子分析很類(lèi)似，不過(guò)在因子分析中所采用的協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素不再是變量的方差，而是和變量對(duì)應(yīng)的共同度（變量方差中被各因子所解釋的部分）。

2.聚類(lèi)分析（Cluster Analysis)

聚類(lèi)分析是直接比較各事物之間的性質(zhì)，將性質(zhì)相近的歸為一類(lèi)，將性質(zhì)差別較大的歸入不同的類(lèi)的分析技術(shù)。

在市場(chǎng)研究領(lǐng)域，聚類(lèi)分析主要應(yīng)用方面是幫助我們尋找目標(biāo)消費(fèi)群體，運(yùn)用這項(xiàng)研究技術(shù)，我們可以劃分出產(chǎn)品的細(xì)分市場(chǎng)，并且可以描述出各細(xì)分市場(chǎng)的人群特征，以便于客戶可以有針對(duì)性的對(duì)目標(biāo)消費(fèi)群體施加影響，合理地開(kāi)展工作。

3.判別分析（Discriminatory Analysis)

判別分析（Discriminatory Analysis）的任務(wù)是根據(jù)已掌握的1批分類(lèi)明確的樣品，建立較好的判別函數(shù)，使產(chǎn)生錯(cuò)判的事例最少，進(jìn)而對(duì)給定的1個(gè)新樣品，判斷它來(lái)自哪個(gè)總體。根據(jù)資料的性質(zhì)，分為定性資料的判別分析和定量資料的判別分析；采用不同的判別準(zhǔn)則，又有費(fèi)歇、貝葉斯、距離等判別方法。

費(fèi)歇（FISHER）判別思想是投影，使多維問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題來(lái)處理。選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)耐队拜S，使所有的樣品點(diǎn)都投影到這個(gè)軸上得到一個(gè)投影值。對(duì)這個(gè)投影軸的方向的要求是：使每一類(lèi)內(nèi)的投影值所形成的類(lèi)內(nèi)離差盡可能小，而不同類(lèi)間的投影值所形成的類(lèi)間離差盡可能大。貝葉斯（BAYES）判別思想是根據(jù)先驗(yàn)概率求出后驗(yàn)概率，并依據(jù)后驗(yàn)概率分布作出統(tǒng)計(jì)推斷。所謂先驗(yàn)概率，就是用概率來(lái)描述人們事先對(duì)所研究的對(duì)象的認(rèn)識(shí)的程度；所謂后驗(yàn)概率，就是根據(jù)具體資料、先驗(yàn)概率、特定的判別規(guī)則所計(jì)算出來(lái)的概率。它是對(duì)先驗(yàn)概率修正后的結(jié)果。

距離判別思想是根據(jù)各樣品與各母體之間的距離遠(yuǎn)近作出判別。即根據(jù)資料建立關(guān)于各母體的距離判別函數(shù)式，將各樣品數(shù)據(jù)逐一代入計(jì)算，得出各樣品與各母體之間的距離值，判樣品屬于距離值最小的那個(gè)母體。

4.對(duì)應(yīng)分析（Correspondence Analysis)

對(duì)應(yīng)分析是一種用來(lái)研究變量與變量之間聯(lián)系緊密程度的研究技術(shù)。

運(yùn)用這種研究技術(shù)，我們可以獲取有關(guān)消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品品牌定位方面的圖形，從而幫助您及時(shí)調(diào)整營(yíng)銷(xiāo)策略，以便使產(chǎn)品品牌在消費(fèi)者中能樹(shù)立起正確的形象。

這種研究技術(shù)還可以用于檢驗(yàn)廣告或市場(chǎng)推廣活動(dòng)的效果，我們可以通過(guò)對(duì)比廣告播出前或市場(chǎng)推廣活動(dòng)前與廣告播出后或市場(chǎng)推廣活動(dòng)后消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的不同認(rèn)知圖來(lái)看出廣告或市場(chǎng)推廣活動(dòng)是否成功的向消費(fèi)者傳達(dá)了需要傳達(dá)的信息。

5.典型相關(guān)分析

典型相關(guān)分析是分析兩組隨機(jī)變量間線性密切程度的統(tǒng)計(jì)方法，是兩變量間線性相關(guān)分析的拓廣。各組隨機(jī)變量中既可有定量隨機(jī)變量，也可有定性隨機(jī)變量（分析時(shí)須F6說(shuō)明為定性變量）。本法還可以用于分析高維列聯(lián)表各邊際變量的線性關(guān)系。

注意

1．嚴(yán)格地說(shuō)，一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)描述的只是一對(duì)典型變量之間的相關(guān)，而不是兩個(gè)變量組之間的相關(guān)。而各對(duì)典型變量之間構(gòu)成的多維典型相關(guān)才共同揭示了兩個(gè)觀測(cè)變量組之間的相關(guān)形式。

2．典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求

要求兩組變量之間為線性關(guān)系，即每對(duì)典型變量之間為線性關(guān)系；

每個(gè)典型變量與本組所有觀測(cè)變量的關(guān)系也是線性關(guān)系。如果不是線性關(guān)系，可先線性化：如經(jīng)濟(jì)水平和收入水平與其他一些社會(huì)發(fā)展水之間并不是線性關(guān)系，可先取對(duì)數(shù)。即log經(jīng)濟(jì)水平，log收入水平。

3．典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求

所有觀測(cè)變量為定量數(shù)據(jù)。同時(shí)也可將定性數(shù)據(jù)按照一定形式設(shè)為虛擬變量后，再放入典型相關(guān)模型中進(jìn)行分析。

6.多維尺度分析（Multi-dimension Analysis)

多維尺度分析（Multi-dimension Analysis) 是市場(chǎng)研究的一種有力手段，它可以通過(guò)低維空間（通常是二維空間）展示多個(gè)研究對(duì)象（比如品牌）之間的聯(lián)系，利用平面距離來(lái)反映研究對(duì)象之間的相似程度。由于多維尺度分析法通常是基于研究對(duì)象之間的相似性（距離）的，只要獲得了兩個(gè)研究對(duì)象之間的距離矩陣，我們就可以通過(guò)相應(yīng)統(tǒng)計(jì)軟件做出他們的相似性知覺(jué)圖。

在實(shí)際應(yīng)用中，距離矩陣的獲得主要有兩種方法：一種是采用直接的相似性評(píng)價(jià)，先將所有評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行兩兩組合，然后要求被訪者所有的這些組合間進(jìn)行直接相似性評(píng)價(jià)，這種方法我們稱(chēng)之為直接評(píng)價(jià)法；另一種為間接評(píng)價(jià)法，由研究人員根據(jù)事先經(jīng)驗(yàn)，找出影響人們?cè)u(píng)價(jià)研究對(duì)象相似性的主要屬性，然后對(duì)每個(gè)研究對(duì)象，讓被訪者對(duì)這些屬性進(jìn)行逐一評(píng)價(jià)，最后將所有屬性作為多維空間的坐標(biāo)，通過(guò)距離變換計(jì)算對(duì)象之間的距離。

多維尺度分析的主要思路是利用對(duì)被訪者對(duì)研究對(duì)象的分組，來(lái)反映被訪者對(duì)研究對(duì)象相似性的感知，這種方法具有一定直觀合理性。同時(shí)該方法實(shí)施方便，調(diào)查中被訪者負(fù)擔(dān)較小，很容易得到理解接受。當(dāng)然，該方法的不足之處是犧牲了個(gè)體距離矩陣，由于每個(gè)被訪者個(gè)體的距離矩陣只包含1與0兩種取值，相對(duì)較為粗糙，個(gè)體距離矩陣的分析顯得比較勉強(qiáng)。但這一點(diǎn)是完全可以接受的，因?yàn)閷?duì)大多數(shù)研究而言，我們并不需要知道每一個(gè)體的空間知覺(jué)圖。

多元統(tǒng)計(jì)分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中內(nèi)容十分豐富、應(yīng)用范圍極為廣泛的一個(gè)分支。在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多學(xué)科中，研究者都有可能需要分析處理有多個(gè)變量的數(shù)據(jù)的問(wèn)題。能否從表面上看起來(lái)雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和提煉出規(guī)律性的結(jié)論，不僅對(duì)所研究的專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域要有很好的訓(xùn)練，而且要掌握必要的統(tǒng)計(jì)分析工具。對(duì)實(shí)際領(lǐng)域中的研究者和高等院校的研究生來(lái)說(shuō)，要學(xué)習(xí)掌握多元統(tǒng)計(jì)分析的各種模型和方法，手頭有一本好的、有長(zhǎng)久價(jià)值的參考書(shū)是非常必要的。這樣一本書(shū)應(yīng)該滿足以下條件：首先，它應(yīng)該是“淺入深出”的，也就是說(shuō)，既可供初學(xué)者入門(mén)，又能使有較深基礎(chǔ)的人受益。其次，它應(yīng)該是既側(cè)重于應(yīng)用，又兼顧必要的推理論證，使學(xué)習(xí)者既能學(xué)到“如何”做，而且在一定程度上了解“為什么”這樣做。最后，它應(yīng)該是內(nèi)涵豐富、全面的，不僅要基本包括各種在實(shí)際中常用的多元統(tǒng)計(jì)分析方法，而且還要對(duì)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的最新思想和進(jìn)展有所介紹、交代。

主成分分析通過(guò)線性組合將原變量綜合成幾個(gè)主成分，用較少的綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的指標(biāo)（變量）。在多變量分析中，某些變量間往往存在相關(guān)性。是什么原因使變量間有關(guān)聯(lián)呢？是否存在不能直接觀測(cè)到的、但影響可觀測(cè)變量變化的公共因子？因子分析法（Factor Analysis）就是尋找這些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞?，以此考察原變量間的聯(lián)系與區(qū)別。

例如，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童的身高、體重會(huì)隨著變化，具有一定的相關(guān)性，身高和體重之間為何會(huì)有相關(guān)性呢？因?yàn)榇嬖谥粋€(gè)同時(shí)支配或影響著身高與體重的生長(zhǎng)因子。那么，我們能否通過(guò)對(duì)多個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的研究，找出同時(shí)影響或支配所有變量的共性因子呢？因子分析就是從大量的數(shù)據(jù)中“由表及里”、“去粗取精”，尋找影響或支配變量的多變量統(tǒng)計(jì)方法。

可以說(shuō)，因子分析是主成分分析的推廣，也是一種把多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合變量的多變量分析方法，其目的是用有限個(gè)不可觀測(cè)的隱變量來(lái)解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。

因子分析主要用于：1、減少分析變量個(gè)數(shù)；2、通過(guò)對(duì)變量間相關(guān)關(guān)系探測(cè)，將原始變量進(jìn)行分類(lèi)。即將相關(guān)性高的變量分為一組，用共性因子代替該組變量。

因子分析法_因子分析法 -統(tǒng)計(jì)意義

模型中F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m叫做主因子或公共因子，它們是在各個(gè)原觀測(cè)變量的表達(dá)式中都共同出現(xiàn)的因子，是相互獨(dú)立的不可觀測(cè)的理論變量。公共因子的含義，必須結(jié)合具體問(wèn)題的實(shí)際意義而定。e1，e2，…，ep叫做特殊因子，是向量x的分量xi(i=1，2，…，p）所特有的因子，各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨(dú)立的。模型中載荷矩陣A中的元素（aij）是為因子載荷。因子載荷aij是xi與Fj的協(xié)方差，也是xi與Fj的相關(guān)系數(shù)，它表示xi依賴Fj的程度?？蓪ij看作第i個(gè)變量在第j公共因子上的權(quán)，aij的絕對(duì)值越大（|aij|￡1），表明xi與Fj的相依程度越大，或稱(chēng)公共因子Fj對(duì)于xi的載荷量越大。為了得到因子分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)蜃虞d荷矩陣A中有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻(xiàn)。

因子載荷矩陣A中第i行元素之平方和記為hi2，稱(chēng)為變量xi的共同度。它是全部公共因子對(duì)xi的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映了全部公共因子對(duì)變量xi的影響。hi2大表明x的第i個(gè)分量xi對(duì)于F的每一分量F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m的共同依賴程度大。

將因子載荷矩陣A的第j列（ j =1，2，…，m）的各元素的平方和記為gj2，稱(chēng)為公共因子Fj對(duì)x的方差貢獻(xiàn)。gj2就表示第j個(gè)公共因子Fj對(duì)于x的每一分量xi(i= 1，2，…，p）所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。gj2越大，表明公共因子Fj對(duì)x的貢獻(xiàn)越大，或者說(shuō)對(duì)x的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所有g(shù)j2 ( j =1，2，…，m）都計(jì)算出來(lái)，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。

3. 因子旋轉(zhuǎn)

建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)主因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。如果求出主因子解后，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，還需要進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到比較滿意的主因子。

旋轉(zhuǎn)的方法有很多，正交旋轉(zhuǎn)（orthogonal rotation）和斜交旋轉(zhuǎn)（oblique rotation）是因子旋轉(zhuǎn)的兩類(lèi)方法。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法（Varimax）。進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個(gè)方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。因子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如果因子對(duì)應(yīng)軸相互正交，則稱(chēng)為正交旋轉(zhuǎn)；如果因子對(duì)應(yīng)軸相互間不是正交的，則稱(chēng)為斜交旋轉(zhuǎn)。常用的斜交旋轉(zhuǎn)方法有Promax法等。

4.因子得分

因子分析模型建立后，還有一個(gè)重要的作用是應(yīng)用因子分析模型去評(píng)價(jià)每個(gè)樣品在整個(gè)模型中的地位，即進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。例如地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因子分析模型建立后，我們希望知道每個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的情況，把區(qū)域經(jīng)濟(jì)劃分歸類(lèi)，哪些地區(qū)發(fā)展較快，哪些中等發(fā)達(dá)，哪些較慢等。這時(shí)需要將公共因子用變量的線性組合來(lái)表示，也即由地區(qū)經(jīng)濟(jì)的各項(xiàng)指標(biāo)值來(lái)估計(jì)它的因子得分。

設(shè)公共因子F由變量x表示的線性組合為：

Fj = uj1 xj1+ uj2 xj2+…+ujpxjp j=1，2，…，m

該式稱(chēng)為因子得分函數(shù)，由它來(lái)計(jì)算每個(gè)樣品的公共因子得分。若取m=2，則將每個(gè)樣品的p個(gè)變量代入上式即可算出每個(gè)樣品的因子得分F1和F2，并將其在平面上做因子得分散點(diǎn)圖，進(jìn)而對(duì)樣品進(jìn)行分類(lèi)或?qū)υ紨?shù)據(jù)進(jìn)行更深入的研究。

但因子得分函數(shù)中方程的個(gè)數(shù)m小于變量的個(gè)數(shù)p，所以并不能精確計(jì)算出因子得分，只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)因子得分的方法較多，常用的有回歸估計(jì)法，Bartlett估計(jì)法，Thomson估計(jì)法。

⑴回歸估計(jì)法

F = X b = X (X ￠X)-1A￠ = XR-1A￠ （這里R為相關(guān)陣，且R = X ￠X ）。

⑵Bartlett估計(jì)法

Bartlett估計(jì)因子得分可由最小二乘法或極大似然法導(dǎo)出。

F = [(W-1/2A）￠ W-1/2A]-1(W-1/2A）￠ W-1/2X = (A￠W-1A)-1A￠W-1X

⑶Thomson估計(jì)法

在回歸估計(jì)法中，實(shí)際上是忽略特殊因子的作用，取R = X ￠X，若考慮特殊因子的作用，此時(shí)R = X ￠X+W，于是有：

F = XR-1A￠ = X (X ￠X+W)-1A￠

這就是Thomson估計(jì)的因子得分，使用矩陣求逆算法（參考線性代數(shù)文獻(xiàn)）可以將其轉(zhuǎn)換為：

F = XR-1A￠ = X (I+A￠W-1A)-1W-1A￠

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