海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。

海倫公式
海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王希倫（heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。但根據(jù)MorrisKline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。

假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長(zhǎng)：
p=(a+b+c)/2
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
注："Metrica"(《度量論》)手抄本中用s作為半周長(zhǎng)，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長(zhǎng)。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說(shuō)測(cè)量土地的面積的時(shí)候，不用測(cè)三角形的高，只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。

證明（1）：
與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設(shè)p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明（2）：
我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來(lái)并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來(lái)求三角形的面積？直到南宋，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家九韶提出了“三斜求積術(shù)”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積。
所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p為“隅”，Q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
當(dāng)P＝1時(shí)，△2＝q,
S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
因式分解得
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

愛(ài)華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/8103350103/67428.html