橢圓周長沒有精確的初等公式，但有非初等的橢圓積分形式的表達及其級數(shù)展開式。橢圓周長級數(shù)展開式是著名的項名達公式，由我國清代數(shù)學家項名達（1791~1850）最早提出。橢圓周長理論公式是存在的不過它不能用初等函數(shù)表示，它是一個與離心率有關的無窮收斂級數(shù)，本公式已經把正圓周長納入其中，在某種意義上講正圓是特殊的橢圓，也就是說正圓是長短軸相等的橢圓。橢圓周長（弧長）涉及第二類橢圓積分，原函數(shù)無法以初等函數(shù)的形式表達。

橢圓周長公式_橢圓周長 -歷史

最早由阿貝爾)提出，歐拉發(fā)展。

對這類問題的討論引出一門數(shù)學分支－－橢圓積分(變分法)，仍然方興未艾。

以下是幾個比較簡單的近似公式：

公式一至公式六為一般精度，滿足簡單計算需要；

公式八為高精度，滿足比較專業(yè)一些的計算需要。

橢圓周長公式：L=2πb+4（a-b）

這些公式均符合橢圓的基本規(guī)律,當a=b時，L=2aπ，

一、 L1 =π?qn/ atan(n)

(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2

這是根據圓周長和割圓術原理推導的，精度一般。

二、 L2 =π?θ/(π/4)?(a-c+c/sinθ)

(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)

這是根據兩對扇形組成橢圓得特點推導的，精度一般。

三、 L3 =π?q(1 +mn)

(q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)

這是根據圓周長公式推導的，精度一般。

四、 L4 =π?√(2a^2 + 2b^2)?(1 +mn)

(m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)

這是根據橢圓a=b時得基本特點推導的，精度一般。

五、 L5 = √(4ab?π^2 + 15(a-b)^2)?(1 +mn)

(m=4/√(15)-1 ，n=((a-b)/a)^9 )

這是根據橢圓a=b，c=0時是特點推導的，精度較好。

六、L6= π√[2(a^2+b^2)] (較近似)

七 、L7=π[3/2(a+b)-√(ab)] (較精確)

八、L8 =π?q(1 + 3h/(10 + √(4-3h)))?(1 +mn)

(q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2，m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)

這是根據橢圓標準公式提煉的，精度很高。

九、一個高精度的橢圓周長初等公式，精確度可由使用者自由控制，點擊圖片查看。

橢圓周長（弧長）涉及第二類橢圓積分，原函數(shù)無法以初等函數(shù)的形式表達。在Matlab，maple等數(shù)學軟件中可以直接調用第二類橢圓積分函數(shù)求得。建議閱讀《特殊函數(shù)》，王竹溪，郭敦仁編著；劉式適、劉式達編著版本指明了第二類橢圓積分的幾何意義即為橢圓弧長問題。外文文獻也很多。

十、精確度最高的橢圓周長公式。首先復制下列字符，把a、b改成你想要的數(shù)字，再粘貼到百度計算器高級輸入欄按等號即可。該橢圓周長公式精確度約十億分之一，為目前世界上不用程序即可計算的精確度最高的公式。當b/a很小時，精確度是公式八的一萬倍。當b/a約為0.01時，精確度相當于用程序計算項名達公式1000倍。(該公式發(fā)明人周鈺承）。

pi*(a+b)*(1+3*((a-b)/(a+b))^2/(10+sqrt(4-3*((a-b)/(a+b))^2))+(4/pi-14/11)*((a-b)/(a+b))^(14.233+13.981*((a-b)/(a+b))^6.42))

例如：若a=4，b=1時，把下式粘貼到百度高級輸入欄OK.

pi*(4+1)*(1+3*((4-1)/(4+1))^2/(10+sqrt(4-3*((4-1)/(4+1))^2))+(4/pi-14/11)*((4-1)/(4+1))^(14.233+13.981*((4-1)/(4+1))^6.42))

橢圓周長公式_橢圓周長 -理論公式

簡介

a為橢圓長半軸，e 為橢圓的離心率

橢圓周長理論公式是存在的不過它不能用初等函數(shù)表示，它是一個與離心率有關的無窮收斂級數(shù)，本公式已經把正圓周長納入其中，在某種意義上講正圓是特殊的橢圓，也就是說正圓是長短軸相等的橢圓。

公式推導是要利用到曲線長度積分，同時關鍵的一步是，要把橢圓積分利用牛頓二項式定理

展開為以sinθ 為變量的級數(shù)再通過積分求解。如圖。

推導過程

先建立橢圓參數(shù)方程：

x=a SINθ

Y=bcosθ

根據曲線長度積分方程：

u=y′

將橢圓方程代入上式得：

（1） L=4a

而

得出將（1）式用牛頓二項式定理展開再逐項積分得

求解完畢（這個公式把a=b帶進去以后為圓周長公式，e=1時,L=4a）

橢圓周長公式_橢圓周長 -查詢代碼

橢圓VBA 查詢代碼

（Autocad中調用公式代碼）

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O pt ionExplicit

PublicbOkAsBoolean

PublicGOkAsBoolean

PublicstrTagAsString

PublicstrPromptAsString

PublicstrValueAsString

PrivateConstVK_ESCAPE=&H1B

PrivateDeclareFunctionGetAsyncKeyStateLib"user32"(ByValvKeyAsLong)AsInteger

PrivateFunctionCheckKey(lngKeyAsLong)AsBoolean

IfGetAsyncKeyState(lngKey)Then

CheckKey=True

Else

CheckKey=False

EndIf

EndFunction

PublicFunction find (ptAsVariant)AsString

DimobjSelectAsAcadEntity

DimbasePntAsVariant

DimaAsVariant

DimbAsVariant

OnErrorResumeNext

Retry:

ThisDrawing.Utility.GetEntityobjSelect,basePnt,"請選擇橢圓對象"

pt=basePnt

IfobjSelectIsNothingThen

IfCheckKey(VK_ESCAPE)=TrueThen

ExitFunction

Else

GoToRetry

EndIf

EndIf

IfErr<>0Then

Err.Clear

GoToRetry

EndIf

IfTypeOfobjSelectIsAcadEllipseThen

DimcAsVariant,EAsVariant,FAsVariant,cfAsVariant,f1AsVariant, f2 AsVariant

a=objSelect.MajorRadius

c=objSelect.MinorRadius

E=(1-(c/a)^2)

f2=1.23672585673967E-04*E^36+1.1705533446825599E-04*E^37+1.10955324829242E-04*E^38+1.05320019869966E-04*E^39+1.00103387635780991E-04*E^40

f1=4.46869856295286E-04*E^19+4.03020751646311001E-04*E^20+3.65323232359666E-04*E^21+3.32678129468022E-04*E^22+3.04221257334888E-04*E^23+2.79265607319136E-04*E^24+2.57259477462388E-04*E^25+2.37755707906253E-04*E^26+2.20388778625035E-04*E^27+2.04857554110962E-04*E^28+1.90912137972017E-04*E^29+1.78343755555526E-04*E^30+1.66976892883542E-04*E^31+1.56663134607288E-04*E^32+1.47276293897348E-04*E^33+1.3870853372036099E-04*E^34+1.30867255385557E-04*E^35

F=(1-0.25*E-0.046875*E^2-0.01953125*E^3-（1.0681152343E-02+7.5E-13）*E^4-6.7291259765625E-03*E^5-4.62627410888672E-03*E^6-3.37529182434082E-03*E^7-(2.57102306932E-03+2.11E-15)*E^8-2.02349037863314E-03*E^9-1.63396848074626E-03*E^10-(1.3470112E-03+0.623504E-10)*E^11-1.12952502189501E-03*E^12-9.60764626611876E-04*E^13-8.27188932350786E-04*E^14-7.19654371145184E-04*E^15-(6.31805937E-04+1.67501E-13)*E^16-5.59115461697537E-04*E^17-4.98285770262851E-04*E^18)

IfE=0Then

F=1

Else

F=F-f1-f2

EndIf

IfAbs(E-1)<=6.56592491699026E-06Then

F=2/3.14159265358979

Else

F=F-f1-f2

EndIf

b=objSelect.Area/1000000

find="周長L="&Round(3.14159265358979*2*F*a/1000,3)&"米s="&Round(b,2)&"平方米"

ExitFunction

EndIf

EndFunction

橢圓周長公式_橢圓周長 -中國古代

橢圓周長級數(shù)展開式值得一提的是著名的項名達公式，由我國清代數(shù)學家項名達（1791～1850）最早提出。

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