正確理解泊松分布

很多人在上概率論這門(mén)課的時(shí)候就沒(méi)搞明白過(guò)泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。雖然那個(gè)時(shí)候大家都會(huì)背“當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)趨于無(wú)窮大，而乘積np固定時(shí)，二項(xiàng)分布收斂于泊松分布”，大部分的教科書(shū)上也都會(huì)給出這個(gè)收斂過(guò)程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但是看懂它和真正的理解還有很大距離。如果我們學(xué)習(xí)的意義是為了通過(guò)考試，那么我們大可停留在“只會(huì)做題”的階段，因?yàn)樵嚲砩喜粫?huì)出現(xiàn)“請(qǐng)發(fā)表一下你對(duì)泊松公式的看法”這樣的題目，因?yàn)槟菢右粊?lái)卷子就變得不容易批改，大部分考試都會(huì)出一些客觀題，比如到底是泊松分布還是肉松分布。

而如果我們學(xué)習(xí)的目的是為了理解一樣?xùn)|西，那么我們就有必要停下來(lái)去思考一下諸如“為什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意義是什么？”這樣的“哲學(xué)”問(wèn)題。

如果我們要向一個(gè)石器時(shí)代的人解釋什么是電話，我們一定會(huì)說(shuō)：“電話是一種機(jī)器，兩個(gè)距離很遠(yuǎn)的人可以通過(guò)它進(jìn)行交談”，而不會(huì)說(shuō)：“電話在1876 年由貝爾發(fā)明，一臺(tái)電話由幾個(gè)部分構(gòu)成……”（泊松分布在 1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我們問(wèn)的第一個(gè)問(wèn)題應(yīng)該是“泊松分布能拿來(lái)干嘛？”

泊松分布最常見(jiàn)的一個(gè)應(yīng)用就是，它作為了排隊(duì)論的一個(gè)輸入。什么是排隊(duì)論？比如我們?nèi)ッ刻焓程么蝻垼铑^疼的一個(gè)問(wèn)題就是排隊(duì)，之所以要排隊(duì)是因?yàn)槭程么蝻埖拇笫逵邢?，假設(shè)學(xué)校有1000 個(gè)學(xué)生，而食堂恰好配了 1000個(gè)大叔和打飯的窗口，那么就永遠(yuǎn)不會(huì)有人排隊(duì)。但是出于經(jīng)營(yíng)成本方面的考慮食堂通常不會(huì)這么干，因此如何控制窗口的數(shù)量并且保證學(xué)生不會(huì)因?yàn)榕抨?duì)時(shí)間太長(zhǎng)而起義是一門(mén)很高深的學(xué)問(wèn)。

在一段時(shí)間 t（比如 1 個(gè)小時(shí)）內(nèi)來(lái)到食堂就餐的學(xué)生數(shù)量肯定不會(huì)是一個(gè)常數(shù)（比如一直是 200人），而應(yīng)該符合某種隨機(jī)規(guī)律：比如在 1 個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái) 200 個(gè)學(xué)生的概率是 10%，來(lái) 180 個(gè)學(xué)生的概率是20%……一般認(rèn)為，這種隨機(jī)規(guī)律服從的就是泊松分布。

也就是在單位時(shí)間內(nèi)有 k 個(gè)學(xué)生到達(dá)的概率為：

其中 為單位時(shí)間內(nèi)學(xué)生的期望到達(dá)數(shù)。

問(wèn)題是“這個(gè)式子是怎么來(lái)的呢？”——我們知道泊松分布是二項(xiàng)分布滿足某種條件的一個(gè)特殊形式，因此可以先從簡(jiǎn)單的二項(xiàng)分布入手，尋找兩者之間的聯(lián)系。

二項(xiàng)分布很容易理解，比如一個(gè)牛仔一槍打中靶子的概率是 p，如果我們讓他開(kāi) 10 槍?zhuān)绻繐糁幸淮文繕?biāo)就得 1分，問(wèn)他一共能得幾分？雖然我們不能在牛仔射擊前準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出具體的得分 k，但可以求出 k 的概率分布，比如 k = 9 的概率是50%，k = 8 分的概率是 30%……并且根據(jù) k 的分布來(lái)判斷他的槍法如何，這便是概率統(tǒng)計(jì)的思想。

具體計(jì)算的方法就是求出“得 k 分”的概率。比如“得 9 分”可以是“射失第 1 發(fā)，而命中其余的 9 發(fā)”，它的概率是 p 的9 次方乘上 1 - p。

X O O O O O O O O O

O X O O O O O O OO

O O X O O O O O O O

......

根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，在 種情況下，牛仔都可以得到 9 分。因此牛仔“得 9 分”的概率 。

同理，“得 k 分”的概率就是 。而對(duì)于一個(gè)神槍手（p = 1）來(lái)講，他“得 10 分”的概率就是 1。

二項(xiàng)分布和泊松分布最大的不同是前者的研究對(duì)象是 n 個(gè)離散的事件（10次射擊），而后者考察的是一段連續(xù)的時(shí)間（單位時(shí)間）。因此泊松分布就是在二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)上化零為整。

如果我們把單位時(shí)間劃分成 n個(gè)細(xì)小的時(shí)間片，假設(shè)在每個(gè)時(shí)間片內(nèi)牛仔都在射擊，只是這次他發(fā)射的不是子彈，而是學(xué)生——“命中目標(biāo)”就代表向食堂成功地發(fā)射出一個(gè)學(xué)生，如果“沒(méi)有命中”就表示學(xué)生被打到了食堂意外的其它地方。如果n不是無(wú)窮大，那么在某個(gè)時(shí)間片內(nèi)可能出現(xiàn)兩個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)入食堂的狀況，這樣的話就和我們假設(shè)任意的時(shí)間片內(nèi)之可能發(fā)生“有一個(gè)學(xué)生出現(xiàn)”或“沒(méi)有學(xué)生出現(xiàn)”不符，為了能用二項(xiàng)分布去近似泊松分布，因此n 必須趨向無(wú)窮，時(shí)間片必須無(wú)窮小，這也是為什么泊松分布的前提之一是“ n 很大”的原因?。硪粋€(gè)前提是“ p 很小”）

這樣一來(lái)我們就可以用二項(xiàng)分布的公式表示單位時(shí)間到來(lái) k 個(gè)學(xué)生的概率了。在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生 n次獨(dú)立的“發(fā)射學(xué)生”實(shí)驗(yàn)，把學(xué)生“發(fā)射”到食堂的概率是 p：

那么單位時(shí)間內(nèi)食堂到來(lái) k 個(gè)學(xué)生的概率

把組合數(shù)展開(kāi)，

上下同乘 ，

把 拆成 k 個(gè) p 連乘的形式放到左邊分子上，

調(diào)整 ，

因?yàn)?， ，

令 ，

這就是我們熟悉的泊松公式，其中 的物理意義是單位時(shí)間內(nèi)學(xué)生到來(lái)的數(shù)量，也就是平均到達(dá)率，是一個(gè)常數(shù)。

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