高次方程和韋達(dá)定理的推廣

很久以前，人們就解決了一元一次方程與一元二次方程的求解問題。然而對(duì)一元三次方程的求解卻使眾多的數(shù)學(xué)家們陷入了困境，許多人的努力都以失敗而告終。
1494年，意大利數(shù)學(xué)家帕西奧利對(duì)三次方程進(jìn)行過艱辛的探索后作出極其悲觀的結(jié)論。他認(rèn)為在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)中，求解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的。然而到了十六世紀(jì)有更多的數(shù)學(xué)家參與到一元三次方程的研究中來。我們知道一元三次的標(biāo)準(zhǔn)形式是：x^3+sx^2+tx+u=0。數(shù)學(xué)家費(fèi)羅。他在帕西奧利作出悲觀結(jié)論不久，大約在1500年左右，得到了x3+mx=n這樣一類缺項(xiàng)三次方程的求解公式。但是他為了保住自己的研究成果將自己的解法絕對(duì)保密。直到他去世的時(shí)候才把這個(gè)公式傳給了他的女婿和一個(gè)學(xué)生菲奧爾。

然而在15世紀(jì)近中葉,數(shù)學(xué)家塔塔里亞,他也宣稱自己發(fā)現(xiàn)了三次方程的求解公式。菲奧爾很不服氣，于是約塔塔里亞進(jìn)行比試。二人相約在米蘭進(jìn)行公開比賽。雙方各出三十個(gè)三次方程的問題，約定誰解出的題目多就獲勝。

塔塔利亞在1535年2月13日，在參加比賽前夕經(jīng)過多日的苦思冥想后終于找到了多種類型三次方程的解法。于是在比賽中，他只用了兩個(gè)小時(shí)的時(shí)間就輕而易舉地解出了對(duì)方的所有題目，而對(duì)方對(duì)他的題目卻一題都做不出來。這樣他以30:0的戰(zhàn)績大獲全勝。塔塔利亞為這次勝利所激勵(lì)，更加熱心于研究一般三次方程的解
法。到1541年，終于完全解決了三次方程的求解問題。他的方法如下:
一元三次方程的一般形式是
　　　　　　x^3+sx^2+tx+u=0
如果作一個(gè)橫坐標(biāo)平移y=x+s/3，那么我們就可以把方程的二次項(xiàng)消去。所以我們只要考慮形如
　　　　　　x^3=px+q
的三次方程。

假設(shè)方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數(shù)。代入方程，我們就有
　　　　　　a^3-3ba^2+3ab^2-b^3=p(a-b)+q
整理得到
　　　　　　a^3-b^3=(a-b)(p+3ab)+q
這里的a和b理論上有無窮個(gè)取值。于是我們一定可以找到這樣的a和b。滿足

x=a-b 且 p+3ab=0

于是，方程

a^3-b^3=(a-b)(p+3ab)+q
化為

a^3-b^3=q
兩邊各乘以27a^3，就得到
　　　　　　27a^6-27a^3*b^3=27qa^3
由p=-3ab可知
　　　　　　27a^6+p^3=27qa^3
這是一個(gè)關(guān)于a^3的二次方程，所以可以解得a。進(jìn)而可解出b和根x。
在塔塔利亞與菲爾奧的競賽后不久，卡爾達(dá)諾聽說了這一故事。在此之前他對(duì)三次方程求解問題已進(jìn)行過長時(shí)間的研究，卻沒有得到結(jié)果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亞這位解三次方程大師的奇妙技巧。為此他多次向塔塔利亞求教三次方程的解法，開始都被塔塔利亞拒絕了。但最終在卡爾達(dá)諾立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡爾達(dá)諾公開了自己的秘密?？栠_(dá)諾并沒有遵守自己的諾言，1545年他出版《大術(shù)》一書，將三次方程解法公諸于眾，從而使自己在數(shù)學(xué)界名聲鵲起。然而，這種失信大大激怒了塔塔利亞。1546年他在《各式各樣的問題與發(fā)明》一書中嚴(yán)斥卡爾達(dá)諾的失信行為，于是一場爭吵無可避免地發(fā)生了。
1548年在米蘭的公開辯論使這場沖突達(dá)到白熱化?？栠_(dá)諾在這場公開辯論中自己避不出席而是派遣了一位學(xué)生出馬。這個(gè)學(xué)生的名字叫費(fèi)拉里。他后來成為了四次方程求根公式的發(fā)現(xiàn)者在這場公開的辯論中，塔塔利亞先以三次方程的迅速解答取得優(yōu)勢(shì)，而費(fèi)拉里則指責(zé)對(duì)方不能解四次方程。于是一場數(shù)學(xué)爭論逐漸演變成一場無聊的謾罵。最后客場作戰(zhàn)的塔塔利亞以失敗而告終，后者宣稱了自己勝利。

由于卡爾達(dá)諾最早發(fā)表了求解三次方程的方法，因而數(shù)學(xué)上三次方程的解法至今仍被稱為“卡爾達(dá)諾公式”又稱"卡丹公式"，塔塔利亞之名反而湮沒無聞了。
在以后的幾百年里，代數(shù)學(xué)家們主要致力于求解五次乃至更高次數(shù)的方程，但是一直沒有成功。1824年，阿貝爾證明了五次或五次以上的代數(shù)方程沒有一般的用根式求解的公式。但是對(duì)于高次方程，韋達(dá)定理仍然有它的推廣式。一般地，對(duì)一個(gè)n次方程

∑AiX^i=0
它的根記作X1,X2…,Xn，我們有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求積。

愛華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/25101017/329141.html