愛華網(wǎng)拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力．全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過(guò)500篇．
拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18世紀(jì)后半期．當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體．?dāng)?shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)的主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力．當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大貢獻(xiàn)．下面就拉格朗日的主要貢獻(xiàn)分別評(píng)述．
數(shù)學(xué)分析的開拓者牛頓和萊布尼茲以后的歐洲數(shù)學(xué)分裂為兩派．英國(guó)仍堅(jiān)持牛頓在《自然哲學(xué)中的數(shù)學(xué)原理》中的幾何方法，進(jìn)展緩慢；歐洲大陸則按萊布尼茲創(chuàng)立的分析方法(當(dāng)時(shí)包括代數(shù)方法)，進(jìn)展很快，當(dāng)時(shí)叫分析學(xué)(analysis)．拉格朗日是僅次于歐拉的最大開拓者，在18世紀(jì)創(chuàng)立的主要分支中都有開拓性貢獻(xiàn)．
1．變分法．這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果．他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”(Recherchessur la méthode demaximis et minimies)［2］是他研究變分法的序幕；1760年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”(Essai d'unenouvelle méthode pourdéterminer les maxima et les minima desformules integralesindéfinies)［3］是用分析方法建立變分法的代表作．發(fā)表前寫信給歐拉時(shí)，稱此文中的方法為“變分方法”(themethod ofvariation)．歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”(the calculus ofvariation)．變分法這個(gè)分支才真正建立起來(lái)．
拉格朗日方法是對(duì)積分
進(jìn)行極值化，函數(shù)y=y(x)待定．他不象歐拉和前人用改變極大或極小化曲線的個(gè)別坐標(biāo)的辦法，而是引進(jìn)通過(guò)端點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線
y(x)＋δy(x)，
δy(x)叫曲線y(x)的變分．J相應(yīng)的增量△J按δy，δy′展開的一、二階項(xiàng)叫一次變分δJ和二次變分δ2J．他用分析方法證明了δJ為零的必要條件就是歐拉方程
他達(dá)繼續(xù)討論了端點(diǎn)變動(dòng)時(shí)的情況以及兩個(gè)自變量的重積分的情況，使這個(gè)分支繼續(xù)發(fā)展．1770年以后，拉格朗日達(dá)研究了被積函數(shù)f包含高階導(dǎo)數(shù)的單重和多重積分時(shí)的情況，現(xiàn)在已發(fā)展成為變分法的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容．
2．微分方程．早在都靈時(shí)期，拉格朗日就對(duì)變系數(shù)常微分方程研究做出重大成果．他在降階過(guò)程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程．他還把歐拉關(guān)于常系數(shù)齊次方程的結(jié)果推廣到變系數(shù)情況，證明了變系數(shù)齊次方程的通解可用一些獨(dú)立特解乘上任意常數(shù)相加而成；而且在知道方程的m個(gè)特解后，可以把方程降低m價(jià)．
在柏林時(shí)期，他對(duì)常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻(xiàn)，在1774年完成的“關(guān)于微分方程特解的研究”(Sur lesintégralesparticulieres des equationsdifférentielles)［22］中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對(duì)積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線．當(dāng)然，他的奇解理論還不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由G．達(dá)布(Darboux)等人完成的．
常微分方程組的研究在當(dāng)時(shí)結(jié)合天體力學(xué)中的課題進(jìn)行．拉格朗日在1772年完成的“論三體問題”(Essai sur leproblémedes troiscorps)［8］中，找出了三體運(yùn)動(dòng)的常微分方程組的五個(gè)特解：三個(gè)是三體共線情況；兩個(gè)是三體保持等邊三角形；在天體力學(xué)中稱為拉格朗日平動(dòng)解．他同拉普拉斯一起完善的任意常數(shù)變異法，對(duì)多體問題方程組的近似解有重大作用，促進(jìn)了攝動(dòng)理論的建立．
拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的?！瓣P(guān)于一階偏微分方程的積分”(Sur l'integrationdes équationau differences partielles du premierorder)［21］和1785年完成的“一階線性偏微分方程的一般積分方法”(Méthode génèrale pourintégrerles equations partielles du premier order lorsque cesdifferences nesont que linèaires)［23］中，系統(tǒng)地完成了一階偏微分方程的理論和解法．
他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關(guān)系．還對(duì)形如
的非線性方程，化為解線性方程
后來(lái)又進(jìn)一步證明了解線性方程
Pp＋Qq=R(P，Q，R為x，y，z的函數(shù))(5)
與解
等價(jià)，而解(6)式又與解常微分方程組
等價(jià)．(5)式至今仍稱為拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一階非線性偏微分方程，可以化為解常微分方程組．但拉格朗日自己卻不明確，他在1785年解一個(gè)特殊的一階偏微分方程時(shí)，還說(shuō)不能用這種方法，可能他忘記了自己在1772年的結(jié)果．現(xiàn)代也有時(shí)稱此方法為拉格朗日方法，又稱為柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只討論兩個(gè)自變量情況，在推廣到n個(gè)自變量時(shí)遇到困難，而后來(lái)由柯西在1819年克服．
3．方程論．18世紀(jì)的代數(shù)學(xué)從屬于分析，方程論是其中的活躍領(lǐng)域．拉格朗日在柏林的前十年，大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上．
他在代數(shù)方程解法中有歷史性貢獻(xiàn)．在長(zhǎng)篇論文“關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考” (Réflexions sur le resolutionalgébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp205—421)中，把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因．三次方程有一個(gè)二次輔助方程，其解為三次方程根的函數(shù)，在根的置換下只有兩個(gè)值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個(gè)不同值，因而輔助方程為三次方程．拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預(yù)解函數(shù)(是有理函數(shù))．他繼續(xù)尋找5次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個(gè)函數(shù)是低于5次的方程的解，但沒有成功．盡管如此，拉格朗日的想法已蘊(yùn)含著置換群概念，而且使預(yù)解(有理)函數(shù)值不變的置換構(gòu)成子群，子群的階是原置換群階的因子．因而拉格朗日是群論的先驅(qū)．他的思想為后來(lái)的N．H．阿貝爾(Abel)和E．伽羅瓦(Galois)采用并發(fā)展，終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題．
拉格朗日在1770年還提出一種超越方程的級(jí)數(shù)解法．設(shè)p為方程
這就是后來(lái)在天體力學(xué)中常用的拉格朗日級(jí)數(shù)．他自己沒有討論收斂性，后來(lái)由柯西求出此級(jí)數(shù)的收斂范圍．
4．?dāng)?shù)論．拉格朗日到柏林初期就開始研究數(shù)論，第一篇論文“二階不定問題的解”(Sur la solution desproblémès in détèrminésdu secondedegrés［14］和送交都靈《論叢》的“一個(gè)算術(shù)問題的解”(Solution d'un problèmed'arithmetique)［15］中，討論了歐拉多年從事的費(fèi)馬(Fermat)方程
x2-Ay2=1(x，y，A為整數(shù))，(9)
不定問題解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmesindéteminés en nombres entiers)［16］中得到更一般的費(fèi)馬方程
x2-Ay2=B(B也為整數(shù))(10)
的解．還討論了更廣泛的二元二次整系數(shù)方程
ax2＋2bxy＋cy2＋2dx＋2ey＋f=0，(11)
并解決了整數(shù)解問題．
拉格朗日還在1772年的“一個(gè)算術(shù)定理的證明”(De monstration d'un théorèmed'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把歐泣40多年沒有解決的費(fèi)馬另一猜想“一個(gè)正整數(shù)能表示為最多四個(gè)平方數(shù)的和”證明出來(lái)．在1773年發(fā)表的“質(zhì)數(shù)的一個(gè)新定理的證明”(Démonstationd'un theorem nouveau concernant les nombrespremiers)［17］中，證明了著名的定理：n是質(zhì)數(shù)的充要條件為(n-1)！＋1能被n整除．
拉格朗日不僅有大量成果，還在方法上有創(chuàng)新．如在證明(9)式
研究”(Recherchesd'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解時(shí)采用的方法和結(jié)果，是二次型理論的基本文獻(xiàn)．
5．函數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)．同18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，拉格朗日也認(rèn)為函數(shù)可以展開為無(wú)窮級(jí)數(shù)，而無(wú)窮級(jí)數(shù)則是多項(xiàng)式的推廣．他還試圖用代數(shù)建立微積分的基礎(chǔ)．在他的《解析函數(shù)論……》(《文集》Ⅸ)中，書名上加的小標(biāo)題“含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為代數(shù)分析藝術(shù)”，表明了他的觀點(diǎn)．由于迥避了極限和級(jí)數(shù)收斂性問題，當(dāng)然就不可能建立真正的級(jí)數(shù)理論和函數(shù)論，但是他們的一些處理方法和結(jié)果仍然有用，他們的觀點(diǎn)也在發(fā)展．
拉格朗日就在《解析函數(shù)論……》中，第一次得到微分中值定理(書中第六章)
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)
后面并用它推導(dǎo)出泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，還給出余項(xiàng)Rn的具體表達(dá)式(第二十章)
Rn就是著名的拉格朗日余項(xiàng)形式．他還著重指出，泰勒級(jí)數(shù)不考慮余項(xiàng)是不能用的．雖然他還沒有考慮收斂性，甚至各階導(dǎo)數(shù)的存在性，但他強(qiáng)調(diào)Rn要趨于零．表明他已注意到收題．
他同歐拉、達(dá)朗貝爾等在任意函數(shù)能否表為三角級(jí)數(shù)的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，雖未解決，但為以后三角級(jí)數(shù)理論的建立打下了基礎(chǔ)．
最后要提一下他在《師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程》中，提出了著名的拉格朗日內(nèi)插公式
直到現(xiàn)在計(jì)算機(jī)計(jì)算大量中點(diǎn)內(nèi)插時(shí)仍在使用．另外在求多元函數(shù)相對(duì)極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．
除了對(duì)數(shù)學(xué)分析在18世紀(jì)建立的主要分支有開拓性貢獻(xiàn)外，他對(duì)嚴(yán)格化問題也開始注意．盡管回避了極限概念，但他仍承認(rèn)可以在極限基礎(chǔ)上建立微積分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是對(duì)嚴(yán)格化重視不夠，所建立的分支到一定階段就很難深入．這可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日給達(dá)朗貝爾的信中說(shuō)：“在我看來(lái)，似乎(數(shù)學(xué))礦井已挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新礦脈，否則勢(shì)必放棄它…．”(《文集》XⅢ368．)這說(shuō)出了他和其他同事們的心情．事實(shí)表明，19世紀(jì)在建立數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格基礎(chǔ)后，數(shù)學(xué)更迅速地發(fā)展．
分析力學(xué)的創(chuàng)立者牛頓的力學(xué)理論仍用幾何方法討論．到18世紀(jì)中期，歐拉和達(dá)朗貝爾開始用分析方法，而拉格朗日在使力學(xué)分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力學(xué)》一書，就是分析力學(xué)這門學(xué)科建立的代表作．他一生的全部力學(xué)論文以及同時(shí)代人的力學(xué)貢獻(xiàn)，都?xì)w納到這部著作中．他的研究目的是使力學(xué)成為數(shù)學(xué)分析的分支．他在《分析力學(xué)》的序言中說(shuō)：“…我在其中闡明的方法，既不要求作圖，也不要求幾何的或力學(xué)的推理，而只是一些按照一致而正規(guī)的程序的代數(shù)(分析)運(yùn)算．喜歡分析的人將高興地看到，力學(xué)變成了它的一個(gè)新分支，并將感激我擴(kuò)大了它的領(lǐng)域．”實(shí)際情況正是這樣．
拉格朗日在這方面的最大貢獻(xiàn)是把變分原理和最小作用原理具體化，而且用純分析方法進(jìn)行推理，成為拉格朗日方法．
他首先引入廣義坐標(biāo)概念，故廣義坐標(biāo)又稱為拉格朗日坐標(biāo)．一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)可用有限個(gè)坐標(biāo)qj(j=1，2，…，N)表示；qj=dqj/dt為相應(yīng)的廣義速度．力學(xué)系統(tǒng)總動(dòng)能T(拉格朗日稱之為活力)表為qj•qj和時(shí) 間t的函數(shù)后，定義
為作用，最小作用原理成為δI=0．拉格朗日用變分法討論δI=0時(shí)，導(dǎo)出了力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為
其中Qj為力學(xué)系統(tǒng)受到的作用力在廣義坐標(biāo)中的表達(dá)式，稱為廣義力．如力為保守的，則存在勢(shì)函數(shù)V，(16)式成為
(16)或(17)式就是第二類拉格朗日方程．后來(lái)S．D．泊松(Poisson)等引入函數(shù)
L就取名為拉格朗日函數(shù)．
拉格朗日還把這些方法用于研究質(zhì)點(diǎn)組，剛體和流體．在流體力學(xué)中討論流體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方法仍稱為拉格朗日方法．
最后收集到《文集》中的《分析力學(xué)》是第二版，共分兩卷，785頁(yè)．第一卷中一半講述“靜力學(xué)”，主要討論質(zhì)點(diǎn)組和流體的平衡問題．從分析靜力學(xué)原理開始，討論了質(zhì)點(diǎn)組和流體的平衡條件，并用于研究行星的形狀．第一卷后半和第二卷全部討論“動(dòng)力學(xué)”．
動(dòng)力學(xué)部分共分為十三章，前四章講述動(dòng)力學(xué)原理和建立質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推導(dǎo)以及運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)．第五章“用任意常數(shù)變化解動(dòng)力學(xué)問題的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常數(shù)變異法用于解動(dòng)力學(xué)方程．后面討論了一階近似的求積方法．第七章“關(guān)于能看作質(zhì)點(diǎn)的自由物體系統(tǒng)在引力作用下的運(yùn)動(dòng)”主要講天體力學(xué)的基本問題．第八、九章討論不動(dòng)中心吸引問題和剛體動(dòng)力學(xué)．第十章討論地球自轉(zhuǎn)和月球天平動(dòng)．最后三章討論流體動(dòng)力學(xué)基本問題，作為拉格朗日方法的應(yīng)用．
拉格朗日創(chuàng)立分析力學(xué)使力學(xué)發(fā)展到新的階段．拉格朗日方程(16)，(17)式推廣了牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律；使得在任意坐標(biāo)系下有統(tǒng)一形式的運(yùn)動(dòng)方程，便于處理各種約束條件等優(yōu)點(diǎn)，至今仍為動(dòng)力學(xué)中的最重要的方程．在《分析力學(xué)》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密頓(Hamilton)于1834年提出廣義動(dòng)量并建立哈密頓正則方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密頓-雅可比方法(1837)后，分析力學(xué)正式奠基建成，很快用到各學(xué)科領(lǐng)域．
天體力學(xué)的奠基者天體力學(xué)是在牛頓發(fā)表萬(wàn)有引力定律(1687)時(shí)誕生的，很快成為天文學(xué)的主流．它的學(xué)科內(nèi)容和基本理論是在18世紀(jì)后期建立的．主要奠基者為歐拉，A．C．克萊羅(Clairaut)、達(dá)朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立經(jīng)典天體力學(xué)．拉格朗日一生的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)，但他主要是數(shù)學(xué)家，他要把力學(xué)作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，而又把天體力學(xué)作為力學(xué)的一個(gè)分支對(duì)待．雖然如此，他在天體力學(xué)的奠基過(guò)程中，仍有重大歷史性貢獻(xiàn)．
首先在建立天體運(yùn)動(dòng)方程上，拉格朗日用他在分析力學(xué)中的原理和(16)，(17)式，建立起各類天體的運(yùn)動(dòng)方程．其中特別是根據(jù)他在微分方程解法的任意常數(shù)變異法，建立了以天體橢圓軌道根數(shù)為基本變量的運(yùn)動(dòng)方程，現(xiàn)在仍稱作拉格朗日行星運(yùn)動(dòng)方程，并在廣泛應(yīng)用，此方程對(duì)攝動(dòng)理論的建立和完善起了重大作用，方程在1780年獲巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)的論文“彗星在行星作用下的攝動(dòng)理論研究”(Recherchessur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouverpar l'action desplanètes)［13］中給出，得到達(dá)朗貝爾和拉普拉斯的高度評(píng)價(jià)．另外在一篇有關(guān)三體問題的獲獎(jiǎng)文章中［8］，把三體問題的運(yùn)動(dòng)方程組第一次降到七階．
在天體運(yùn)動(dòng)方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)三體問題運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解［8］，即拉格朗日平動(dòng)解．其中兩個(gè)解是三體圍繞質(zhì)量中心作橢圓運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，永遠(yuǎn)保持等邊三角形．他的這個(gè)理論結(jié)果在100多年后得到證實(shí)．1907年2月22日，德國(guó)海德堡天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)了一顆小行星［后來(lái)命名為希臘神話中的大力士阿基里斯(Achilles)，編號(hào)588］，它的位置正好與太陽(yáng)和木星形成等邊三角形．到1970年前，已發(fā)現(xiàn)15顆這樣的小行星，都以希臘神話中特洛伊(Troy)戰(zhàn)爭(zhēng)中將帥們的名字命名．有9顆位于木星軌道上前面60°處的拉格朗日特解附近，名為希臘人(Greek)群；有6顆位于木星軌道上后面60°處的解附近，名為脫羅央(Trojan)群．1970年以后又繼續(xù)發(fā)現(xiàn)40多顆小行星位于此兩群內(nèi)，其中我國(guó)紫金山天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)四顆，但尚未命名．至于為什么在特解附近仍有小行星，是因?yàn)檫@兩個(gè)特解是穩(wěn)定的．1961年又在月球軌道前后發(fā)現(xiàn)與地月組成等邊三角形解處聚集的流星物質(zhì)，是拉格朗日特解的又一證明．至今尚未找到肯定在三個(gè)拉格朗日共線群(三體共線情況)處附近的天體，因?yàn)檫@三個(gè)特解不穩(wěn)定．另外，拉格朗日在一階攝動(dòng)理論中也有重要貢獻(xiàn)，提出了計(jì)算長(zhǎng)期攝動(dòng)方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并與拉普拉斯一起提出了在一階攝動(dòng)下的太陽(yáng)系穩(wěn)定性定理(參見《世界著名科學(xué)家傳記•天文學(xué)家Ⅰ》中“拉普拉斯”條)．此外，拉格朗日級(jí)數(shù)(8)式在攝動(dòng)理論中有廣泛應(yīng)用．
在具體天體的運(yùn)動(dòng)研究中，拉格朗日也有大量重要貢獻(xiàn)，其中大部分是參加巴黎科學(xué)院征獎(jiǎng)的課題．他的月球運(yùn)動(dòng)理論研究論文多次獲獎(jiǎng)．1763年完成的“月球天平動(dòng)研究”(Recherchessur laLibration de lalune)［6］獲1764年度獎(jiǎng)，此文較好地解釋了月球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度差異，但對(duì)月球赤道和軌道面的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律解釋得不夠好．后來(lái)在1780年完成的論文解決得更好(參見《文集》Ⅴ，pp．5—123)．獲1772年度獎(jiǎng)的就是著名的三體問題論文［8］，也是針對(duì)月球運(yùn)動(dòng)研究寫出的．獲1774年度獎(jiǎng)的論文為“關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期差”(Surl’equation séculaire de lalune)［9］，其中第一次討論了地球形狀和所有大行星對(duì)月球的攝動(dòng)．關(guān)于行星和彗星運(yùn)動(dòng)的論文也有兩次獲獎(jiǎng)．1776年度獲獎(jiǎng)的是他在1775年完成的三篇論文［10，11，12，］其中討論了行星軌道交點(diǎn)和傾角的長(zhǎng)期變化對(duì)彗星運(yùn)動(dòng)的影響．1780年度的獲獎(jiǎng)?wù)撐木褪翘岢鲋睦窭嗜招行沁\(yùn)動(dòng)方程的那篇［13］．
獲1766年度獎(jiǎng)的論文是“木星的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités dessatellites deJupiter…)［7］，其中第一次討論了太陽(yáng)引力對(duì)木星的四個(gè)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的影響，結(jié)果比達(dá)朗貝爾的更好．
拉格朗日從事的天體力學(xué)課題還有很多，如在柏林時(shí)期的前半部分，還研究了用三個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)資料計(jì)算彗星軌道的方法(《文集》Ⅳ，pp．439—532)，所得結(jié)果成為軌道計(jì)算的基礎(chǔ)．另外他還得到了一種力學(xué)模型——兩個(gè)不動(dòng)中心問題的解，這是歐拉已討論過(guò)的，又稱為歐拉問題．是拉格朗日推廣到存在離心力的情況，故后來(lái)又稱為拉格朗日問題(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．這些模型現(xiàn)在仍在應(yīng)用．有人用作人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的近似力學(xué)模型．此外，他在《分析力學(xué)》中給出的流體靜力學(xué)的結(jié)果，后來(lái)成為討論天體形狀理論的基礎(chǔ)．
總的看來(lái)，拉格朗日在天體力學(xué)的五個(gè)奠基者中，所做的歷史性貢獻(xiàn)僅次于拉普拉斯．他創(chuàng)立的“分析力學(xué)”對(duì)以后天體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響．
結(jié)束語(yǔ)
拉格朗日是18世紀(jì)的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻(xiàn)．但他主要是數(shù)學(xué)家，他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用．使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具．同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上也起了歷史性作用，促使力學(xué)和天文學(xué)(天體力學(xué))更深入發(fā)展．由于歷史的局限，嚴(yán)密性不夠妨礙著他取得更多的成果．
拉格朗日的著作非常多，未能全部收集．他去世后，法蘭西研究院集中了他留在學(xué)院內(nèi)的全部著作，編輯出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷(Serret)主編，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷．第一卷收集他在都靈時(shí)期的工作，發(fā)表在《論叢》第一到第四卷中的論文；第二卷收集他發(fā)表在《論叢》第四、五卷及《都靈科學(xué)院文獻(xiàn)》第一、二卷中的論文；第三卷中有他在《柏林科學(xué)院文獻(xiàn)》1768—1769年， 1770—1773年發(fā)表的論文； 第四卷刊有他在《柏林科學(xué)院新文獻(xiàn)》1774—1779年，1781年，1783年發(fā)表的論文；第五卷刊載上述刊物1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年發(fā)表的論文；第六卷載有他未在巴黎科學(xué)院或法蘭西研究院的刊物上發(fā)表過(guò)的文章；第七卷主要刊登他在師范學(xué)校的報(bào)告；第八卷為1808年完成的《各階數(shù)值方程的解法論述及代數(shù)方程式的幾點(diǎn)說(shuō)明》(Traitédes équations numériquesde tous les degrés， avec des notes surplusieurs points de lathéorie des equationsalgébriques)一書；第九卷是1813年再版的《解析函數(shù)論，含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為代數(shù)分析藝術(shù)》一書；第十卷是1806年出版的《函數(shù)計(jì)算教程》一書；第十一卷是1811年出版的《分析力學(xué)》第一卷，并由J．貝特朗(Bertrand)和G．達(dá)布(Darboux)作了注釋；第十二卷為《分析力學(xué)》的第二卷，仍由上述二人注釋，此二卷書后來(lái)在巴黎重印(1965)；第十三卷刊載他同達(dá)朗貝爾的學(xué)術(shù)通訊；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，歐拉等人的學(xué)術(shù)通訊，此二卷都由L．拉朗(Lalanne)作注釋．還計(jì)劃出第十五卷，包含1892年以后找到的通訊，但未出版．
