愛華網(wǎng)內(nèi)容摘要本文將從積分的定義，可積函數(shù)的連續(xù)性，積分的可加性，積分極限定理，牛頓—萊布尼茲公式五個方面進行分析比較，指出黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別。
黎曼積分是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，勒貝格積分是實變函數(shù)論中的主要內(nèi)容。就可積函數(shù)的范圍來看，勒貝格積分比黎曼積分更廣泛。這兩種積分既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別。若函數(shù)在上黎曼可積，則它必在上勒貝格可積，且有相同的積分值，但勒貝格可積不一定黎曼可積。在教材及參考書中，有關(guān)黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別的內(nèi)容講的很少，也缺乏條理性和系統(tǒng)性，而由黎曼積分過渡到勒貝格積分，理解起來也有一定的困難。本文將從積分的定義，可積函數(shù)的連續(xù)性，積分的可加性，積分極限定理，牛頓—萊布尼茲公式五個方面進行分析比較，指出黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別。為便于敘述，我們只考慮上有界函數(shù)的積分。
一．定義
（一）黎曼積分的定義
1．黎曼積分是建立在黎曼和的基礎(chǔ)上的，因此簡單說明黎曼和的概念。
區(qū)間[a,b]上有定義的實值函數(shù)f，關(guān)于取樣分割 ，黎曼和定義為 和式中的每一項是子區(qū)間長度 在 處的函數(shù)值 的乘積。直觀地說，就是以標(biāo)記點 到軸的距離為高，以分割的子區(qū)間的長的矩形的面積。
2．黎曼積分：有了黎曼和得定義，我們不難想象，黎曼積分就是當(dāng)分割越來越“精細(xì)”的時候，黎曼和趨向的極限，當(dāng)分割越來越細(xì)的時候，[]中的函數(shù)值才會與 接近,矩形面積的和與“曲線下方的面積差也會越來越小?？偨Y(jié)起來，也就是分割，取界點，做積，求和，取極限。
面 給出黎曼積分的嚴(yán)格定義：
設(shè) 是定義在區(qū)間[a,b]上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，若對任給的正數(shù) ，總存在某一個正數(shù) ，使得對[a,b]上的任何分割T,以及在其上任意選取的點集 ，只要 ＜，就有
＜
則稱函數(shù) 在區(qū)間[a,b]上是黎曼可積，數(shù) 成為在區(qū)間[a,b]上的定積分或黎曼積分。記為 = ，那么就有 = =
（二）勒貝格積分的定義
積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個積分的概念，它將積分運算擴展到任何測度空間中，因此我們先要了解什么是外側(cè)度？什么是可測集？
1.外側(cè)度：設(shè){ }(k=1,2,… …)是有限或可數(shù)個開區(qū)間，這些開區(qū)間覆蓋了E，由{ }(k=1,2,……)決定了一個非負(fù)廣義實數(shù)u= ,一切這樣的u是下有界的，所以有下確界，把這個下確界稱為集E的外側(cè)度，記為 ，即 = .
2.測度 可測集
設(shè)集E ，偌對任意集X ，都有
X= (X )+ (X )
則稱集E是可測集，這時把 稱為集E的測度,為mE。
3.勒貝格積分：
（1）非負(fù)簡單函數(shù)的積分：設(shè)E為 中的一個可測集，mE<+ ,f在E上幾乎處處有界, {}，(i=1,2… …m.)為E的一個分化， （i≠j）,而且可測， ， 。上和為 ,下和為 。下積分： { ，任一個分劃D}，上積分 { ，任一個分劃D}。若 = ，則稱f在E上勒貝格積分存在，記為 。若 ＜+∞,則稱f在E上勒貝格可積。
（2）非負(fù)可測函數(shù)的積分：設(shè)f(x)是可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，{ }是收斂于f(x)的非負(fù)上升簡單函數(shù)列。稱 為f(x)在E上的勒貝格積分值，記為。若積分值有限，則稱f(x)在E上勒貝格可積。
（3）設(shè)f(x)是定義于可測集E 上的可測函數(shù)，如果 不同時為∞，則稱 =是f(x)在E上的勒貝格積分值，若積分值有限，則稱f(x)在E上是勒貝格可積。在E上可積的全體函數(shù)記為L（E）.
從這兩種積分的定義可以看出，它們的主要區(qū)別是：黎曼積分將給定函數(shù)的定義域分小而產(chǎn)生的，而勒貝格積分是劃分函數(shù)的值域而產(chǎn)生的。前者的優(yōu)點是的度量容易給出，但當(dāng)分法的細(xì)度充分小時，函數(shù)在上的振幅仍可能較大；后者的優(yōu)點是函數(shù)在上的振幅，但一般不再是區(qū)間，而是可測集。其度量的值一般不易給出。然而就是這一點點差別，使這兩種積分產(chǎn)生了本質(zhì)的區(qū)別，使勒貝格積分具備了很多為黎曼積分所不具有的良好性質(zhì)，這些性質(zhì)從以下幾點討論中我們將會看得更清楚。我們將會看到，勒貝格積分比黎曼積分的應(yīng)用范圍更廣泛，使用起來更方便。由此可見，比起黎曼積分來，勒貝格積分是向前邁了一大步。
二．可積函數(shù)的連續(xù)性
1．連續(xù)函數(shù)必是黎曼可積函數(shù)，當(dāng)然也必是勒貝格可積函數(shù)，但黎曼可積函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)，比如只有有限個第一類間斷點的函數(shù)是黎曼可積的。那么具備怎樣性質(zhì)的函數(shù)是黎曼可積的呢？勒貝格給出了黎曼可積的一個比較好的充要條件。它將函數(shù)的可積性歸結(jié)到了函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)—連續(xù)性上，使得我們對黎曼可積函數(shù)的本質(zhì)看得更清楚。這個可積條件是：函數(shù)在上黎曼可積的充要條件是在上一切間斷點構(gòu)成一個零測度集。這說明黎曼可積函數(shù)是幾乎處處連續(xù)的。
例如黎曼函數(shù)這個函數(shù)在所有無理點處是連續(xù)的，在有理點處是不連續(xù)的。雖然在中有無窮多個有理點，即黎曼函數(shù)
X= ,當(dāng)x= (p,q 為既約分?jǐn)?shù))
R(x)=
X=0，當(dāng)x=(0,1)及（0，1）內(nèi)的無理數(shù)）
仍然是黎曼可積的，且積分為0。事實上黎曼函數(shù)的全體有理數(shù)點組成一個零測度集，所以黎曼函數(shù)是黎曼可積的。
2.現(xiàn)在再來看勒貝格可積函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)。設(shè)f是可測集E上的連續(xù)函數(shù)，則在E上勒貝格可積的充要條件是在E上勒貝格可測。對于函數(shù)來說，可測集上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)。特別地，有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)。對于幾乎處處連續(xù)的函數(shù)，它顯然幾乎處處等于一個連續(xù)函數(shù)，而幾乎處處等于一個可測函數(shù)的函數(shù)也可測，所以一個幾乎處處連續(xù)的函數(shù)在有限區(qū)間上是可測函數(shù)。從以上我們也可以看出黎曼可積則必是勒貝格可積。那么勒貝格可積函數(shù)的連續(xù)性是怎樣的呢？它與黎曼可積函數(shù)的連續(xù)性的區(qū)別在哪里？我們有下面的魯津定理：
若mE<+∞,f(x)集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對于任意的>0,有閉集F E，滿足m(E－F)<,而f(x)在F上是連續(xù)的。
從這個定理可以看出，在可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)是基本上連續(xù)的，或稱為是近于連續(xù)的。因此勒貝格可積函數(shù)是近乎連續(xù)的。對應(yīng)于黎曼可積函數(shù)的情形，例如狄利克雷函數(shù)
0 ，x為有理數(shù)
D(x)=
1 ，x為無理數(shù)
顯然是有界函數(shù)，但在定義域上無處連續(xù)，所以不是黎曼可積的,但它是勒貝格可積的。通過上面的討論，黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別也就不難看出了。
三．積分的可加性
這里所說的可加性，指的是積分區(qū)域的可加性。黎曼積分具有有限可加性，即如果函數(shù)f在區(qū)間[a,c]和[c,d]上都可積，那么f在區(qū)間[a,b]上也可積，并且有。但黎曼積分沒有可列可加性，即設(shè)f(x)在E上可積，E= ,(i≠j),每個 都可測，則有 =。對于勒貝格積分，它不僅具有有限可加性，而且還具有可列可加性。
克服了黎曼積分的缺陷。對于這兩種積分的可加性，究其原因，我們將不難理解。我們知道，黎曼積分建立在區(qū)間之上，勒貝格積分建立在勒貝格測度之上，而區(qū)間只具有有限可加性，勒貝格測度具有可數(shù)可加性，由于它們之間的密切聯(lián)系，區(qū)間和勒貝格測度的性質(zhì)也就反映到了相應(yīng)的積分上來了。
四．積分極限定理
在這一方面，對于黎曼積的積分與極限交換問題不能順利解決，就大大降低了黎曼積分的效果。在勒貝格積分范圍內(nèi)對于這個問題得到了比在黎曼積分范圍內(nèi)遠(yuǎn)為完滿的解決，這正是勒貝格積分的最大成功之處。對于勒貝格積分，有如下的勒貝格控制收斂定理：
設(shè){f(x)}是E上的可測函數(shù)列且?guī)缀跆幪幨諗坑趂(x)，如果存在非負(fù)可測函數(shù)F(x),使 ，則所有的 都可積，并有
這也叫做勒貝格積分的有界收斂定理。與黎曼積分的有界收斂定理相比，顯然條件寬松得多，從而使我們又一次看到了勒貝格積分相對于黎曼積分的優(yōu)越性。
五．牛頓—萊布尼茲公式
1.內(nèi)容：如果F(x)使連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則
2.重要性：牛頓—萊布尼茲公式以其在微積分中的重要性要被稱為微積分基本定理，該定理表明，一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分在于它的任一個原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量，求定積分問題轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)問題，微積分基本定理又可以寫成，所以該定理溝通了函數(shù)和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論。那么是不是所有的積分都適用于牛頓—萊布尼茲公式呢？以下我們主要討論黎曼積分與勒貝格積分在該定理中的應(yīng)用。
3.R積分中的牛頓—萊布尼茲公式
若f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，積分上限函數(shù)F(x)= 于[a,b]可導(dǎo)，且 ，有
4. L積分中的牛頓—萊布尼茲公式
若F(x)在區(qū)間[a,b]上是絕對連續(xù)函數(shù)，則
積分運算是微分運算的逆運算。顯然，在微積分基本定理中，必須是可積的。在黎曼積分范圍內(nèi)，積分運算只是部分地成為微分運算的逆運算，這就大大限制了微積分基本定理的應(yīng)用范圍。對于勒貝格可積函數(shù)，同樣有積分運算并不完全是微分運算的逆運算，當(dāng)存在時，不能保證 L可積；即使L可積牛頓—萊布尼茲公式也未必成立，在L積分范圍內(nèi)對于絕對連續(xù)的被積函數(shù)，保證了牛頓—萊布尼茲公式成立，L積分沒有很好地解決微分于積分互異的問題，
但是針對黎曼積分有了很大的改進
關(guān)鍵詞 黎曼積分 勒貝格積分 牛頓—萊布尼茲公式
參考文獻 《實變函數(shù)與泛函分析》 作者 郭懋正北京大學(xué)出版社 2005年10月第二次印刷
數(shù)學(xué)分析（上）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社 第三版 2007年5月第17次印刷
