愛華網(wǎng)從數(shù)字運算中探尋規(guī)律
趙灣初級中學(xué) 劉秀蘭
本節(jié)的活動是圍繞兩個兩位數(shù)相乘的積的規(guī)律的探究。引導(dǎo)學(xué)生感受從特殊到一般，從具體到抽象的歸納過程，使學(xué)生在探究、討論、思考和相互交流中獲得知識，培養(yǎng)能力，提高數(shù)學(xué)思維水平。
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．發(fā)現(xiàn)十位數(shù)字相同，個位數(shù)字為5 的兩位數(shù)相乘的積的規(guī)律及十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和等于10的兩位數(shù)相乘的積的規(guī)律，利用規(guī)律進(jìn)行相應(yīng)的計算。
2．經(jīng)歷探索數(shù)量關(guān)系、運用符號表示、驗證規(guī)律的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理的能力，體會化歸思想和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想在運算中的價值。
學(xué)習(xí)重點：
用符號表示并推導(dǎo)規(guī)律．體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
教學(xué)過程
一、數(shù)學(xué)活動1
十位數(shù)字相同，個位數(shù)字為5的兩位數(shù)相乘的積的規(guī)律:
問題1我們共同來進(jìn)行一個簡單的數(shù)學(xué)計算：
15×15 =
25×25 =
35×35 =
……
問題2觀察上述每一個算式及結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果與算式本身具有什么樣的關(guān)系嗎？
追問1除后兩位數(shù)之外，結(jié)果中的百位數(shù)字或千位數(shù)字與兩位數(shù)的十位上的數(shù)字有什么關(guān)系呢？
觀察：15×15=2252 =1×2；
25×25=6256=2×3；
35×35 =1225 12=3×4．
歸納：15×15=1×2×100+25 =225；
25×25 =2×3×100+25=625；
35×35 =3×4×100+25 =1225．
（追問1）原十位上的數(shù)字加上1，再與自己相乘得到的結(jié)果乘以100，再加上25，就是個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)的結(jié)果．
追問2你能再舉幾個具有這樣特征的例子，并用上述方法驗證其正確性嗎？
猜想：以所學(xué)的整式知識，用符號表示出剛才得到的一般性的規(guī)律。
驗證：根據(jù)本章所學(xué)習(xí)的知識推導(dǎo)出你所得到的規(guī)律。
解：設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為5，則
這個兩位數(shù)可以寫為a5，表示成10×a +5．
所以 （10×a +5）×（10×a +5）=（10×a+5）2
=100a2+2×10a×5 +52
=100a2 +100a +25
=100a（a+1）+25 ．
二、數(shù)學(xué)活動 2
探究十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和等于10 的兩位數(shù)相乘的積的規(guī)律：
問題3類比上道題探究規(guī)律的過程，繼續(xù)計算下列兩個數(shù)的積（這兩個數(shù)的十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)的和等于10），你能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？你能嘗試用本章所學(xué)的知識解釋這個規(guī)律嗎？
53×57 =5×6×100+3×7 =3 021 30=5×6 21 =3×7；
38×32 =3×4×100+2×8 =1 216 12=3×4 16 =2×8；
84×86 =8×9×100+4×6 =7 224 72=8×9 24 =4×6；
71×79 =7×8×100+1×9 =5 609 56=7×8 09 =1×9．
結(jié)果是，依次寫下十位數(shù)加1，再乘以十位數(shù)所得的結(jié)果，以及兩個個位數(shù)相乘所得的結(jié)果。
規(guī)律：
十位數(shù)加1，再乘以十位數(shù)的得數(shù)寫在結(jié)果的千位和百位，兩個個位數(shù)相乘的得數(shù)寫在結(jié)果的十位和個位．
符號表示：
驗證：
設(shè)十位為a，個位為b，則一個數(shù)為10a+b，另一個
數(shù)為10a +10-b，兩數(shù)相乘：
（10a+b）[10a +10 -b]
=（10a+b）[10（a+1）-b]
=10a×10（a+1）-10ab +b×10（a+1）-b2
=100a（a+1）+b（10-b）．
三、課堂總結(jié)
問題4回顧剛才探究規(guī)律的過程，請思考：數(shù)學(xué)活動1與數(shù)學(xué)活動2所得到的規(guī)律之間有什么相同的地方？
它們的計算規(guī)律在實質(zhì)上是相同的．都屬于十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和等于10的兩位數(shù)相乘。結(jié)果都是十位數(shù)加1，再乘以十位數(shù)的得數(shù)寫在結(jié)果的千位和百位，兩個個位數(shù)相乘的得數(shù)寫在結(jié)果的十位和個位．但數(shù)學(xué)活動1是數(shù)學(xué)活動2的特殊形式，數(shù)學(xué)活動2是數(shù)學(xué)活動1的一般形式，它們都可以用活動2的規(guī)律統(tǒng)一表示。
四、課堂練習(xí)
練習(xí)1利用剛才所學(xué)的規(guī)律計算下列算式的結(jié)果：
（1）78×72；（2）93×97；
（3）95×95；（4）85×85．
練習(xí)2 拓展：
（1） 105×105=； （2）114×116=．
五、布置作業(yè)
觀察下列等式：
12×231 =132×21；13×341 =143×31；
23×352 =253×32；34×473 =374×43；
……
以上每個等式中：
兩邊的數(shù)字是分別對稱的，且每個等式中的兩位
數(shù)與三位數(shù)具有相同的組成規(guī)律，我們稱這類等式為
“數(shù)字對稱等式”．
根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子成為“數(shù)字對稱等式”：
（1）52×______=______×25；
（2）_______×396 =693×_______．
設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明．
