愛華網(wǎng)2012年安徽省高考理科數(shù)學(xué)第21題淺析
2012年安徽省高考理科數(shù)學(xué)第21題：數(shù)列 滿足
（1）證明： 是遞減數(shù)列的充分必要條件是 ；
（2）求 的取值范圍，使 是遞增數(shù)列.
筆者認為，這道試題的題型新穎別致，內(nèi)涵深刻豐富，是一道匠心獨具、十分難得的好題，對我們的教學(xué)和復(fù)習(xí)工作可以起到良好的導(dǎo)向作用，值得認真地研究和探討.
1.溯源
這道試題的面孔并不陌生，它正是2009年安徽省高考理科數(shù)學(xué)第21題“首項為正數(shù)的數(shù)列 滿足 .（1）證明：若為奇數(shù)，這對一切都是奇數(shù)；（2）若對一切 都有，求的取值范圍.”的源題.命題者通過改變遞推關(guān)系式、設(shè)問方式、知識網(wǎng)絡(luò)交匯點等手段，將源題改編為現(xiàn)在的形式，既讓我們感到似曾相識，又覺得耳目一新，不落俗套.
2.探奧
這道試題尋求知識的重新組合與有機滲透，充分體現(xiàn)了“出活題、考基礎(chǔ)、考能力”的命題方向，熔基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的掌握、基本方法的運用以及分析問題、解決問題的能力等方面的考查于一爐，獨出心裁，別具一格.
2.1對基礎(chǔ)知識的考查
這道試題考查的知識點十分豐富，有數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的判定，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，因式分解，數(shù)學(xué)歸納法等.只有熟練地把握住上述各個知識點，解答本題才能有章可循、得心應(yīng)手.
2.2對數(shù)學(xué)思想方法的考查
2.2.1特殊化思想
運用特殊化思想方法，解答試題的第（1）小題的必要性：若 是遞減數(shù)列，則由 ，可得 ；第（2）小題對的范圍瘦身：假設(shè)是遞增數(shù)列.由 ，得 .由 ，得 .何等干凈利落，簡潔明快！
2.2.2迭代思想及全面思想
求解遞推數(shù)列的有關(guān)問題，迭代是一種重要的思想方法，求解的取值范圍，全面是一種重要的思考方法，試題的第（2）小題，運用迭代思想和全面思想解答如下：由知，對任意 都有 ，①注意到 ，② 由①式和②式可得 ，即 .由②式和 還可得，對任意 都有 .③ 反復(fù)運用③式（即迭代），得 .將和 兩式相加，知 對任意都成立.根據(jù)指數(shù)函數(shù) 的性質(zhì)，得 .故 .下面需證明：若 ，則是遞增數(shù)列.否則造成解題不全面而被扣分.
2.2.3函數(shù)分析法及數(shù)學(xué)歸納法
在證明：“若 ，則 是遞增數(shù)列”時需要使用函數(shù)分析法及數(shù)學(xué)歸納法，解答如下：即證當 時， 對任意 成立.
（1）當 時， ，結(jié)論成立.
（2）假設(shè)當 時結(jié)論成立，即： .因為函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，所以 ，這就是說當 時，結(jié)論也成立.因此，，即是遞增數(shù)列.
2.2.4放縮法
借助平方式非負的性質(zhì)進行放縮，以實現(xiàn)不等式的證明. 解答試題的第（1）小題的充分性：若 ，由于 ，故 是遞減數(shù)列.
2.3對分析問題，解決問題的能力的考查
這道試題的立意、情景創(chuàng)設(shè)以及設(shè)問的角度、方式新穎、靈活，有獨到之處.要想迅速完整、準確地解答它，僅靠記題型、背套路、利用固定的思維方式是遠遠不夠的，考生必須具有良好的數(shù)學(xué)素質(zhì).能夠綜合運用所學(xué)的知識分析問題、解決問題.因此，它有效地達到了考查能力的目的，真正起到了壓軸的作用.
3.啟示
（1）二次函數(shù)、因式分解是初中數(shù)學(xué)中的內(nèi)容，但是，它在高中數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用，也是高考命題的一個熱點.由于九年制義務(wù)教育，初中數(shù)學(xué)降低了對二次函數(shù)、因式分解（特別是十字相乘法不作要求）的教學(xué)要求，導(dǎo)致許多學(xué)生對二次函數(shù)、因式分解的知識理解不深刻，掌握不牢固，不能靈活地運用.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須做好銜接工作，補好這一課，真正發(fā)揮它的工具作用，提高學(xué)生靈活運用二次函數(shù)、因式分解的知識解題的能力.
（2）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者綜合求解題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來高考命題的熱點，應(yīng)引起我們足夠的重視.因此，在平時要加強對數(shù)列推理能力的培養(yǎng).
（3）盡管在《考試說明》中，對用遞推關(guān)系給出數(shù)列的要求不高，但對于通過數(shù)學(xué)歸納法或者轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的要求并沒有降低，利用遞推考查數(shù)學(xué)歸納法和邏輯推理能力依然在《考試說明》的要求之內(nèi)，應(yīng)引起師生的關(guān)注,但不要盲目拔高.
（4）高考復(fù)習(xí)要在全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)上下功夫，做文章.通過典型習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考、多方位探討，去梳理基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練思想方法，強化解題技能，正是幫助學(xué)生全面提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效途徑，應(yīng)引起我們足夠的重視.書山有路趣為徑，學(xué)海無涯樂作舟.
