愛華網(wǎng)在科學(xué)研究或日常生活中，常常需要判斷某一事物在同類事物中的好壞、優(yōu)劣程度及其發(fā)展規(guī)律等問題。而影響事物的特征及其發(fā)展規(guī)律的因素（指標(biāo)）是多方面的，因此，在對該事物進(jìn)行研究時(shí)，為了能更全面、準(zhǔn)確地反映出它的特征及其發(fā)展規(guī)律，就不應(yīng)僅從單個(gè)指標(biāo)或單方面去評價(jià)它，而應(yīng)考慮到與其有關(guān)的多方面的因素，即研究中需要引入更多的與該事物有關(guān)系的變量，來對其進(jìn)行綜合分析和評價(jià)。多變量大樣本資料無疑能給研究人員或決策者提供很多有價(jià)值的信息，但在分析處理多變量問題時(shí)，由于眾變量之間往往存在一定的相關(guān)性，使得觀測數(shù)據(jù)所反映的信息存在重疊現(xiàn)象。因此為了盡量避免信息重疊和減輕工作量，人們就往往希望能找出少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的綜合變量來盡可能地反映原來數(shù)據(jù)所含有的絕大部分信息。而主成分分析和因子分析正是為解決此類問題而產(chǎn)生的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。
近年來，這兩種方法在社會經(jīng)濟(jì)問題研究中的應(yīng)用越來越多，其應(yīng)用范圍也愈加廣泛。因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，二者之間就勢必有著許多共同之處，而SPSS軟件不能直接進(jìn)行主成分分析，致使一些應(yīng)用者在使用SPSS進(jìn)行這兩種方法的分析時(shí)，常常會出現(xiàn)一些混淆性的錯(cuò)誤，這難免會使人們對分析結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)疑。因此，有必要在運(yùn)用SPSS分析時(shí)，將這兩種方法加以嚴(yán)格區(qū)分，并針對實(shí)際問題選擇正確的方法。
二、主成分分析與因子分析的聯(lián)系與區(qū)別
兩種方法的出發(fā)點(diǎn)都是變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，在損失較少信息的前提下，把多個(gè)變量（這些變量之間要求存在較強(qiáng)的相關(guān)性，以保證能從原始變量中提取主成分）綜合成少數(shù)幾個(gè)綜合變量來研究總體各方面信息的多元統(tǒng)計(jì)方法，且這少數(shù)幾個(gè)綜合變量所代表的信息不能重疊，即變量間不相關(guān)。
主要區(qū)別：
1.主成分分析是通過變量變換把注意力集中在具有較大變差的那些主成分上，而舍棄那些變差小的主成分；因子分析是因子模型把注意力集中在少數(shù)不可觀測的潛在變量（即公共因子）上，而舍棄特殊因子。
2. 主成分分析是將主成分表示為原觀測變量的線性組合，
（1）
主成分的個(gè)數(shù)i=原變量的個(gè)數(shù)p，其中j=1,2,…,p，是相關(guān)矩陣的特征值所對應(yīng)的特征向量矩陣中的元素，是原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，均值為0，方差為1。其實(shí)質(zhì)是p維空間的坐標(biāo)變換，不改變原始數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。
而因子分析則是對原觀測變量分解成公共因子和特殊因子兩部分。因子模型如式（2），
（2）
其中i=1,2,…,p, m
是因子分析過程中的初始因子載荷矩陣中的元素, 是第j個(gè)公共因子，是第i個(gè)原觀測變量的特殊因子。且此處的與的均值都為0，方差都為1。
3. 主成分的各系數(shù)，是唯一確定的、正交的。不可以對系數(shù)矩陣進(jìn)行任何的旋轉(zhuǎn)，且系數(shù)大小并不代表原變量與主成分的相關(guān)程度；而因子模型的系數(shù)矩陣是不唯一的、可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的，且該矩陣表明了原變量和公共因子的相關(guān)程度。
4.主成分分析，可以通過可觀測的原變量X直接求得主成分Y，并具有可逆性；因子分析中的載荷矩陣是不可逆的，只能通過可觀測的原變量去估計(jì)不可觀測的公共因子，即公共因子得分的估計(jì)值等于因子得分系數(shù)矩陣與原觀測變量標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣相乘的結(jié)果。還有，主成分分析不可以像因子分析那樣進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)處理。
5.綜合排名。主成分分析一般依據(jù)第一主成分的得分排名，若第一主成分不能完全代替原始變量，則需要繼續(xù)選擇第二個(gè)主成分、第三個(gè)等等，此時(shí)綜合得分=∑（各主成分得分×各主成分所對應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率）,主成分得分是將原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值，代入主成分表達(dá)式中計(jì)算得到；而因子分析的綜合得分=∑（各因子得分×各因子所對應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率）÷∑各因子的方差貢獻(xiàn)率，因子得分是將原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值，代入因子得分函數(shù)中計(jì)算得到。
區(qū)別中存聯(lián)系，聯(lián)系中顯區(qū)別
由于上文提到主成分可表示為原觀測變量的線性組合，其系數(shù)為原始變量相關(guān)矩陣的特征值所對應(yīng)的特征向量，且這些特征向量正交，因此，從X到Y(jié)的轉(zhuǎn)換關(guān)系是可逆的，便得到如下的關(guān)系：
?。?）
下面對其只保留前m個(gè)主成分（貢獻(xiàn)大），舍棄剩下貢獻(xiàn)很小的主成分，得：
i=1,2,...p ?。?）
由此可見，式（4）在形式上已經(jīng)與因子模型（2）忽略特殊因子后的模型即：
（2）*
相一致，且（j=1,2,…,m）之間相互獨(dú)立。由于模型（2）*是因子分析中未進(jìn)行因子載荷旋轉(zhuǎn)時(shí)建立的模型，故如果不進(jìn)行因子載荷旋轉(zhuǎn)，許多應(yīng)用者將容易把此時(shí)的因子分析理解成主成分分析，這顯然是不正確的。
然而此時(shí)的主成分的系數(shù)陣即特征向量與因子載荷矩陣確實(shí)存在如下關(guān)系：
主成分分析中，主成分的方差等于原始數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣的特征根，其標(biāo)準(zhǔn)差也即特征根的平方根，于是可以將除以其標(biāo)準(zhǔn)差（單位化）后轉(zhuǎn)化成合適的公因子，即令，，則式（4）變?yōu)椋?br />
（4）*
可得，?。?）
式（5）便是主成分系數(shù)矩陣與初始因子載荷陣之間的聯(lián)系。不能簡單地將初始因子載荷矩陣認(rèn)為是主成分系數(shù)矩陣（特征向量矩陣），否則會造成偏差。
三、實(shí)證分析
通過實(shí)例來研究SPSS軟件中的因子分析和主成分分析及二者分析結(jié)果的比較。運(yùn)用兩種分析方法對2005年江蘇省13個(gè)主要城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展綜合水平進(jìn)行分析。
本文在選取指標(biāo)時(shí)遵循了指標(biāo)選取的基本原則，即針對性、可操作性、層次性、全面性等原則，選取了以下反映城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展綜合水平的9項(xiàng)指標(biāo)：GDP(X1)億元 、人均GDP (X2) 元 、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入(X3)元、農(nóng)村居民純收入(X4)元、第三產(chǎn)業(yè)占GDP比重(X5)%、金融機(jī)構(gòu)存款余額（X6）億元、萬人中各專業(yè)技術(shù)人員數(shù)(X7)人、科技三項(xiàng)和文教科衛(wèi)支出（X8）億元、實(shí)際利用外資(X9) 億美元。
（一） 數(shù)據(jù)來源及處理
按照上述指標(biāo)體系，選取了江蘇13個(gè)城市的數(shù)據(jù)，（所有數(shù)據(jù)均來源于《江蘇統(tǒng)計(jì)年鑒（2006）》）。指標(biāo)都是正指標(biāo)，無需歸一化，SPSS13.0將自動(dòng)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，消除指標(biāo)量綱及數(shù)量級的影響。
（二） 運(yùn)用SPSS進(jìn)行分析
首先，通過SPSS中的DataReduction-Factor命令進(jìn)行因子分析，本文采取主成分分析法來抽取公共因子，并依據(jù)特征值大于1來確定因子數(shù)目。
相關(guān)的分析結(jié)果及分析，如下：
1.相關(guān)系數(shù)矩陣
由于因子分析是基于相關(guān)矩陣進(jìn)行的，即要求各指標(biāo)之間具有一定的相關(guān)性，求出相關(guān)矩陣是必要的。KMO統(tǒng)計(jì)量是0.659，且Bartlett球體檢驗(yàn)值為190.584，卡方統(tǒng)計(jì)值的顯著性水平為0.000小于0.01，都說明各指標(biāo)之間具有較高相關(guān)性，因此本文數(shù)據(jù)適用于作因子分析。
2.總方差分解
表2中，依據(jù)特征值大于1的原則，提取了2個(gè)公因子（主成分），它們的累積方差貢獻(xiàn)率達(dá)91.4555%，這2個(gè)公因子（主成分）包含了原指標(biāo)的絕大部分信息，可以代替原來9個(gè)變量對城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平現(xiàn)狀進(jìn)行衡量。
3.主成分表達(dá)式與因子模型
初始因子載荷矩陣（見表3）反映了公因子與原始變量之間的相關(guān)程度，而主成分的系數(shù)矩陣并不反映公因子與原始變量之間的相關(guān)程度，故不能直接用表3中的數(shù)據(jù)表示。根據(jù)該系數(shù)矩陣與初始因子載荷陣之間的關(guān)系（如式（5）），可以計(jì)算出前2個(gè)特征值所對應(yīng)的特征向量陣（系數(shù)矩陣），見表4。
很明顯表4和表3中的數(shù)據(jù)相差很大，因此，如果將初始因子載荷陣誤認(rèn)為是主成分系數(shù)矩陣，分析結(jié)果將會產(chǎn)生較大偏差。
主成分的表達(dá)式應(yīng)為：（6）
Y1=0.3622 *Z1+0.3607 *Z2+…+0.3260*Z9
Y2=-0.1298 *Z1-0.0799 *Z2+…-0.3849*Z9
=（79.4012*Y1+12.0543* Y2）/100
因子模型：
X1=0.9684*F1-0.1352*F2
X2=0.9642*F1-0.0832*F2
…
X9=0.8714*F1-0.4009*F2
其中Z1~Z9是X1~X9的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù).
4.因子得分函數(shù)
從表3得知，各因子在各變量上的載荷已經(jīng)向0和1兩極分化，故無需進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)。公因子是不可觀測的，估計(jì)因子得分應(yīng)借助于未旋轉(zhuǎn)因子得分系數(shù)矩陣，見表5。
得到以下因子得分函數(shù)：（7）
F1=0.1355*Z1+0.1349*Z2 +…+0.1219*Z9
F2=-0.1247 *Z1-0.0767*Z2 +...-0.3696*Z9
同樣Z1~Z9是標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)，其綜合得分計(jì)算公式：
=(73.4228*F1+18.0327*F2)/91.4555（8）
（三） 兩種方法綜合排名比較
按照主成分綜合得分和因子綜合得分，對江蘇13個(gè)城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展綜合水平進(jìn)行排名，見表6。
表6中，綜合得分出現(xiàn)負(fù)值，這只表明該城市的綜合水平處于平均水平之下（由于主成分（因子）已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化了）。
從該表看出，主成分分析與因子分析的實(shí)證結(jié)果，不僅大部分城市的排名存在差異，且綜合得分值上存在較大差異，其定量值差異較大，這對于后來的綜合定量定性分析，最終所提出的政策建議等都會產(chǎn)生較大影響。因此不能混用。
四、結(jié)束語
使用主成分分析和因子分析進(jìn)行綜合評價(jià)時(shí)，可以通過不同的統(tǒng)計(jì)軟件來完成數(shù)據(jù)分析，除SPSS軟件外，其他軟件都分別設(shè)有兩種方法的過程命令，使用者可以根據(jù)需要采用其中一種來分析問題，一般不會混淆。而正是因?yàn)镾PSS沒有直接進(jìn)行主成分分析的命令，才使得那些本身尚未清楚區(qū)分這兩種方法的使用者更加迷惑，不慎便會出現(xiàn)混淆性錯(cuò)誤。因此，本文很詳細(xì)地從理論和實(shí)證角度，分析了這兩種方法的異同及如何運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行分析。從實(shí)證結(jié)果看，運(yùn)用主成分分析和因子分析進(jìn)行綜合定量分析時(shí)，不但綜合排名結(jié)果存在差異，而且定量值也存在較大差異，這必然會影響后面的綜合定性分析結(jié)果。因此，我們應(yīng)正確理解和運(yùn)用這兩種方法，使其發(fā)揮出各自最大的優(yōu)勢，以便更好地服務(wù)于實(shí)際問題的分析。
參考文獻(xiàn)：
[1] 郭顯光. 如何用SPSS軟件進(jìn)行主成分分析[J]. 統(tǒng)計(jì)與信息論壇，1998, (2)
[2] 何曉群. 現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)分析方法與應(yīng)用[M]. 中國人民大學(xué)出版社，1998
[3] 余建英、何旭宏. 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析與SPSS應(yīng)用[M]. 人民郵電出版社，2003
[4] 于秀林、任雪松. 多元統(tǒng)計(jì)分析[M]. 中國統(tǒng)計(jì)出版社，1999
[5] Anderson, T. W. An Introduction to Multivariate StatisticalMethods, New York: John Wiley, 1958
