愛華網(wǎng)在物理學中，場是一個十分重要的概念。場可以分為矢量場和標量場。由于在研究宏觀場時，矢量場的測量不如標量場來的直接，因此常常測量對應(yīng)的標量場來間接地測量矢量場。比如一個無旋場首先測量空間各點的電勢，通過對電勢求梯度從而得到電場。在研究平面場時，往往還需要用到所謂的流函數(shù)。
如果場源是點源，比如點電荷，則場線會向三維空間的每個方向發(fā)散。而有一類矢量場中的矢量都平行于某個平面S，而且在垂直于S的任何一條直線上的所有點處的矢量都是相等的；場中的矢量也都是與時間無關(guān)的。顯然，這種向量場在所有平行于S的平面內(nèi)的分布情況是完全相同的，因此它完全可以用一個位于平行于S的平面S0內(nèi)的場來表示。這樣的場稱為平面場，如圖1所示。
圖1
比如無限大平行板電容器，兩極板上有均勻分布的等量異性電荷，則極板間的電場只有一個方向；再比如無限長細直導(dǎo)線上有直流電流I，則根據(jù)右手定則導(dǎo)線周圍磁場有圍繞導(dǎo)線的磁場，但該磁場沒有z方向的分量（實際上z方向上的分量相互抵消了），如圖2所示
圖2
根據(jù)麥克斯韋方程有
(1)
說明遠離導(dǎo)線的地方磁場強度比較小，而靠近導(dǎo)線的地方磁場強度比較大。于是我們要測量遠離導(dǎo)線的時候這個磁場強度的減小趨勢。由于對稱性的關(guān)系，我們放入一個小指南針，從導(dǎo)線附近，沿著輻線直線移動，發(fā)現(xiàn)磁場對指南針不做功。因為磁力和指南針的運動方向正交，也就是說xOy平面中，任何一條從細導(dǎo)線所在點發(fā)出的射線都是磁場的等勢線。這樣勢函數(shù)就無法完全確定場的分布。
從而需要引入一個流函數(shù)的概念。流函數(shù)具有這樣的物理意義：
平面流動中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。
圖3
直觀地說，如圖2中一個人站立于xOy平面上，從一定點a出發(fā)，沿曲線段到達b點，這個過程中人從頭到腳切割磁感線，切割從右手穿過的磁感線的數(shù)目減掉所切割的從左手穿過的磁感線，剩下的所切割的磁感線的數(shù)目（即凈數(shù)目或凈流量）乘以人的身高（單位長度）就等于a點與b點之間的流函數(shù)之差。如果行走的是某點處很小的閉合路徑，從而確定一個體積元dV，此時流函數(shù)之差除以dV有散度的物理意義。
在描繪一個平面流速場時，往往是畫出它的等勢線和等流線。如圖4所示。
圖4
兩個等量異性點電荷形成的電場。虛線為等勢線，實線為流線（后面將揭示流線方向和電場線方向相同，兩個點電荷顯然不會形成平面場，但平面場等勢線和流線與之類似）等勢線和流線處處正交。
基于上面的結(jié)論，那么我們就需要兩個函數(shù)來描述一個矢量場，從而分別畫出等勢線和等流線。
前面說某點處流函數(shù)之差除以dV有散度的物理意義，所以要找出等流線就意味著找出滿足下列方程的點的集合
(2)
其中ψ為流函數(shù)。而對于一個矢量有散度公式
在平面場中，z方向的分量不存在，在z方向求偏導(dǎo)數(shù)也無意義，于是改寫散度公式（這里令F=iu(x,y)+jv(x,y)）
(3)從而有
(4)
如果前面所說的人在xOy平面上行走的路徑是構(gòu)成一個單連通區(qū)域，則會確定一個柱形區(qū)域，如圖5所示。
圖5
如果這個區(qū)域中沒有散度源，則(4)式兩邊積分有
(5)
從而根據(jù)格林公式（Green'sTheorem）有
(6)
從而可知，如果定義域內(nèi)沒有散度源，則流函數(shù)與路徑無關(guān)。且使圖5所示的閉合曲線按極限縮小為一點，則有全微分
故
(7)
所以從流函數(shù)可以得到平面場。而對于等流線ψ=C（C為常數(shù)）的任意點處有切矢量i+jdy/dx=i+jv/u=ui+vj。所以說等流線各點處的切矢量方向就是對應(yīng)的矢量場的方向。
接下來討論勢函數(shù)。如果矢量場在某區(qū)域內(nèi)是有勢場，則該區(qū)域內(nèi)不存在漩渦源，即該區(qū)域內(nèi)的任意一點處旋度為0。對于空間一矢量，有旋度公式
(8)
關(guān)于前面所說的平面場F=ui+vj，旋度為
(9)
如果區(qū)域內(nèi)沒有漩渦源，則勢函數(shù)之差與路徑無關(guān)。也就是說當這樣的勢場內(nèi)一點沿閉合路徑運動一周，勢函數(shù)之差為0。若閉合曲線為∂D+，其包圍的平面為Dxy。與(5)式類似地有
(10)
當閉合曲線收縮于一點時，則勢函數(shù)的全微分為
(11)
故
(12)
實際上求勢函數(shù)的梯度就得到對應(yīng)的矢量場
(13)
而等勢線有切矢量i+jdy/dx=i+ju/v=vi+uj。所以等勢線與對應(yīng)的矢量場處處正交。
以上的討論中發(fā)現(xiàn)為了表示一個空間中無散無旋的平面矢量場，需要用到勢函數(shù)和流函數(shù)，這就需要兩個方程。能否用一個方程同時表示勢函數(shù)和流函數(shù)？并且分析上面勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系，能否當兩者之一確定時，同時確定另外一個？
這是就要借助于復(fù)變函數(shù)的理論。在“復(fù)變函數(shù)論”中，解析函數(shù)有重要的意義。復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微，并且滿足柯西-黎曼方程（Cauchy-Rieman'sEquation）
(14)
關(guān)于這個定理的證明參見各種復(fù)變函數(shù)教程。根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，如果有一個在平面D內(nèi)連續(xù)且無旋無散的平面矢量場F=ui+vj，則可用D對應(yīng)的復(fù)平面D'內(nèi)的一個解析函數(shù)來表示：F=u+iv，它滿足柯西-黎曼方程。
而該矢量場對應(yīng)著一個復(fù)勢函數(shù)，它的實部為前面所提到的勢函數(shù)，而虛部為流函數(shù)。
(15)
有求導(dǎo)公式
(16)
結(jié)合(7)式和(12)式有
(17)
字母F頭上的一橫表示取其共軛復(fù)數(shù)。實際上柯西-黎曼方程的幾何意義是解析函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的曲線積分與路徑無關(guān)。復(fù)平面上的一條曲線l，可以發(fā)現(xiàn)dl=dz=dx+idy，從而有
(18)
接下來求圖2所示的平面磁場的復(fù)勢，并畫出等勢線和等流線。假設(shè)細導(dǎo)線位于復(fù)平面上的原點，載有大小為I的直流電流，如圖6所示。則根據(jù)畢奧-薩伐爾定律（Biot-SavartLaw）有
而R=r/sinα，l=r/tanα，所以dl=-(r/sin2α)dα，則上式變?yōu)?/p>
(19)
這也驗證了(1)式，又因為單位矢量eθ在復(fù)平面上可表示為
圖6
所以(19)式用復(fù)數(shù)形式表示為
(20)
這是一個除了原點之外處處解析的復(fù)變函數(shù)（無旋無散）。那么設(shè)平面磁場B的復(fù)勢為f(z)=φ+iψ，有
顯然流函數(shù)的容易求得
(21)
其中C1為一常數(shù)，而勢函數(shù)的求法先上下兩邊同除以x2有
從而有
(22)
其中C2也為一常數(shù)。可以畫出如圖7所示的平面場示意圖
圖7
從流函數(shù)可以看出，等流線是一個個同心圓，在原點處沒有意義，是一個奇點。而等勢線是從原點出發(fā)的射線，在原點也同樣沒有意義。這里有趣的是，如果場中一點運行的路徑不是閉合的，則考慮其運動路徑所在的局部場還是一個保守場（有勢場），比如發(fā)電機最終與負載構(gòu)成回路，環(huán)路是包圍漩渦源的，但是當只分析負載電路，不考慮電源內(nèi)部情況時，還是認為電源提供的是一個有勢電場。
