愛華網(wǎng)說明：本文《轉(zhuǎn)動慣量的計算》特地收集貢獻(xiàn)出來供各位工程技術(shù)人員在參閱本人劣作《風(fēng)機動平衡調(diào)試方法》時參考。深圳華晶玻璃瓶有限公司工程部（動力車間）李宜斌 編輯
2010-10-21
轉(zhuǎn)動慣量的計算
轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用于剛體各種運動的動力學(xué)計算中。
單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量： I = m× r2.
質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量：I = Σmi×ri2.
質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量：I= ∫mr2dm。以上各式中的r理解為質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離。
剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量。其數(shù)值為J=∑mi*ri^2，
式中mi表示剛體的某個質(zhì)點的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實驗法測定。描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動慣量中的最小者。
垂直軸定理：一個平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。表達(dá)式:Iz=Ix+Iy
剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個質(zhì)點對該軸所形成的轉(zhuǎn)動慣量。由此折算所得的質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，轉(zhuǎn)動慣量的量綱為L^2M，在SI單位制中，它的單位是kg·m^2。
剛體繞某一點轉(zhuǎn)動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。
補充對轉(zhuǎn)動慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：
先說轉(zhuǎn)動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=(1/2)mv^2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(tǒng)（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運動的可能轉(zhuǎn)化為運動的實際能量的大小）。E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方）
把v=wr代入上式(w是角速度,r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個質(zhì)點，質(zhì)點與運動整體的重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點積分化得到實際等效的r) ，得到E=(1/2)m(wr)^2
由于某一物體在運動中的屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r用一個變量K代替, K=mr^2 ,得
E=(1/2)Kw^2 .K就是轉(zhuǎn)動慣量。
分析實際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運動平動分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。這樣分析一個轉(zhuǎn)動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運動角度分析轉(zhuǎn)動問題。
為什么變換一下公式就可以從能量角度分析轉(zhuǎn)動問題呢？
1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究對象的運動能量
2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析轉(zhuǎn)動物體的問題，是因為其中不包含轉(zhuǎn)動物體的任何轉(zhuǎn)動信息。
3、E=(1/2)mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運動的信息，因為里面的速度v只代表那個物體的質(zhì)心運動情況。
4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因為包含了一個物體的所有轉(zhuǎn)動信息，因為轉(zhuǎn)動慣量K=mr^2本身就是一種積分得到的數(shù)，更細(xì)一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動物體的轉(zhuǎn)動不變的信息的等效結(jié)果K=∑ mr^2 。所以，就是因為發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動問題，就有了價值。
補充轉(zhuǎn)動慣量的計算公式：
轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量一樣，是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性，用字母J表示。
對于桿：當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的中點并垂直于軸時；J=mL^2/12。其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的端點并垂直于軸時：J=mL^2/3。其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。
對于圓柱體：當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時；J=mr^2/2，其中m是圓柱體的質(zhì)量，r是圓柱體的半徑。
轉(zhuǎn)動慣量定理：
M=Jβ。其中M是扭轉(zhuǎn)力矩, J是轉(zhuǎn)動慣量，β是角加速度
例題：已知：一個直徑是80的軸，長度為500，材料是鋼材。計算一下，當(dāng)在0.1秒內(nèi)使它達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的速度時所需要的力矩？
分析：知道軸的直徑和長度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進(jìn)而計算出這個軸的質(zhì)量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.
根據(jù)在0.1秒達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的角速度，我們可以算出軸的角加速度β=△ω/△t=500轉(zhuǎn)/分/0.1s
電機軸我們可以認(rèn)為是圓柱體過軸線，所以J=mr^2/2。
所以M=Jβ =mr^2/2△ω/△t
=ρπr^2hr^2/2△ω/△t
=7.8*10^3 *3.14* 0.04^2 * 0.5 * 0.04^2 /2 * 500/60/0.1
=1.2786133332821888kg/m^2.
剛體轉(zhuǎn)動慣量：
轉(zhuǎn)動慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量，它與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量相對于轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)。
決定轉(zhuǎn)動慣量的因素：
轉(zhuǎn)動慣量 J =∑mi ri2或 J=∫r2 dm是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，它的大小由物體的質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置三個因素來決定。
請看下面的實例：
1.勻質(zhì)直桿對垂直于桿的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量(桿長為l ，質(zhì)量為M)
1) 垂直于桿的軸通過桿的中心O：J1=M l^2
2) 垂直于桿的軸通過桿的端點O1： J2=M l^2
3) 垂直于桿的軸通過桿的1/4處O2 ：J3=M l^2
2.勻質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量(圓盤質(zhì)量為M，半徑為R)
1) 對通過盤心垂直盤面的轉(zhuǎn)軸 J1=MR^2
2) 對通過直徑的軸 J2=MR^2
3.掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量( 桿長為l ，質(zhì)量為m1；擺錘半徑為R，質(zhì)量為m2)
4.掛在光滑釘子上的勻質(zhì)圓環(huán)擺動的轉(zhuǎn)動慣量(圓環(huán)質(zhì)量為m，半徑為R)
J=mR^2 + mR^2 =2mR^2
通過上面幾個實例請讀者體會：
(1) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量是由質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置三個因素決定的。
(2) 同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同，凡是提到轉(zhuǎn)動慣量，必須指明它是對哪個軸的才有意義。
轉(zhuǎn)動平衡
一個有固定轉(zhuǎn)動軸的物體~在力的作用下~如果保持靜止(或勻速直線運動)狀態(tài)~我們稱這個物體處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)!
轉(zhuǎn)動平衡，指在一個轉(zhuǎn)動軸上收到幾個力的同時作用下轉(zhuǎn)動軸處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速轉(zhuǎn)動，此時各力的力矩代數(shù)和為零。即∑M=0。
力矩平衡
如果一個物體所受到的力的合力矩的代數(shù)和是0，那么就說這個物體處于力矩平衡狀態(tài)
動力臂長*動力=阻力臂長*阻力此時為力矩平衡狀態(tài) 。這個公式可利用與天平，翹翹板，杠桿原理等應(yīng)用計算
1.力矩
（1）力臂(L)：轉(zhuǎn)動軸到力的作用線的垂直距離；
（2）力矩（M）：M=F×L，單位是牛/米；
（3）力矩描述力對物體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動效果；
（4）力矩是矢量，中學(xué)里只考慮順時針和逆時針兩種方向。通常規(guī)定逆時針力矩為正，順時針力矩為負(fù)。
2.有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡條件]
（1）有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡是指物體靜止，或繞轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動；
（2）有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡條件是合力矩為零，即∑Fx=0，也就是順時針力矩之和等于逆時針力矩之和。
3.物體的一般平衡條件
合力為零，和力矩同時為零，即∑Fx=0，∑Fy=0，∑M=0。
4.順時針力矩和逆時針力矩的判斷]
在列力矩方程的時候，確定哪些力產(chǎn)生的是順時針力矩，哪些力產(chǎn)生的是逆時針力矩很重要?？梢詫⒘Φ淖饔命c與轉(zhuǎn)動軸相連，并將力沿連線方向和垂直連線方向分解，然后判斷此力產(chǎn)生的力矩方向。
剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 （law ofrotation）
定義：剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。公式Mz=Jβ
其中Mz表示對于某定軸的合外力矩，J表示剛體繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量，β表示角加速度
注意點定軸轉(zhuǎn)動定律是合外力矩對歸納剛體的瞬時作用規(guī)律，公式中各量均需是同一時刻對同一剛體、同一轉(zhuǎn)體而言，否則是沒有意義的。在定軸轉(zhuǎn)動中，由于合外力矩Mz和角加速度β的方向均在轉(zhuǎn)軸方位，通常用代數(shù)量表示
角動量守恒
角動量守恒,又稱角動量守恒定律是指系統(tǒng)所受合外力矩為零時系統(tǒng)的角動量保持不變。dL/dt=r×F當(dāng)方程右邊力矩為零時，可知角動量不隨時間變化。角動量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角動量的守恒實質(zhì)上對應(yīng)著空間旋轉(zhuǎn)不變性。
根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理,若剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時所受的合外力矩為零,即在剛體作定軸轉(zhuǎn)動時,如果它所受外力對軸的合外力為零(或不受外力矩作用),則剛體對同軸的角動量保持不變.這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律.
此原理多用于天文學(xué),天體運行時自轉(zhuǎn)不變.
注解:（1）單個剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量I保持不變，若所受外力對同軸的合外力矩M為零，則該剛體對同軸的角動量是守恒的，即任一時刻的角動量應(yīng)等于初始時刻的角動量 ，亦即 ,因而。這時，物體繞定軸作勻角速轉(zhuǎn)動。
（2）當(dāng)物體繞定軸轉(zhuǎn)動時，如果它對軸的轉(zhuǎn)動慣量是可變的，則在滿足角動量守恒的條件下，物體的角速度隨轉(zhuǎn)動慣量I的改變而變，但兩者之乘積卻保持不變，因而當(dāng)I變大時，變?。籌變小時，變大。如芭蕾舞演員表演時就是這樣。
?。?）人手持啞鈴在轉(zhuǎn)臺上的自由轉(zhuǎn)動屬于系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律的特例。因為人，轉(zhuǎn)臺和一對啞鈴的重力以及地面對轉(zhuǎn)臺的支承力皆平行于轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生力矩，M=0，故系統(tǒng)的角動量應(yīng)始終保持不變。
