Ⅰ總體設計

一、本章知識結構框圖

二、學習目標

1.理解不等式的性質及其證明。

2.掌握某些簡單不等式(一元二次不等式、分式不等式和含絕對值不等式)的解法。

3.掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用。

4.掌握用比較法、綜合法、分析法證明簡單的不等式。

5.理解不等式及其幾何意義。

6.通過不等式的一些應用，使學生進一步理解在現(xiàn)實世界中的量之間，不等是普遍的、絕對的，相等則是局部的、相對的，從而對學生進行辯證唯物主義觀點的教育。

7.恰當應用信息技術對一些重要不等式的幾何背景進行探究，從圖形的、解析的、數(shù)據(jù)的等多種思維形式研究不等關系，重視形象思維與抽象思維的結合，滲透數(shù)形結合思想。

三、內容編排

本章教材是在初中介紹了不等式的概念，學習了一元一次不等式，一元一次不等式組的解法，和高一教材第一章學習了集合與命題的基礎上，研究不等式的性質，一元二次不等式，簡單的分式不等式和含絕對值不等式等一些不等式的解法并學習不等式的證明。

不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內容有密切的聯(lián)系，討論方程或方程組的解的情況，研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、最大值、最小值，討論線性規(guī)劃問題等，都要經(jīng)常用到不等式的知識，不等式在解決各類實際問題時也有廣泛的應用。可見，不等式在中學數(shù)學里占有重要地位，是進一步學習數(shù)學的基礎知識。

本章教材內容分為五部分.第一部分學習不等式的基本性質.首先通過給出比較兩個實數(shù)大小的方法，在這基礎上，給出了不等式的性質，一共講了3條性質，并給出了證明。又通過例題和練習題給出了不等式的其他性質，共有8條，它們都可由這三條性質推導出來.第二部分學習介紹一元二次不等式的解法.并在此基礎上介紹了其他不等式（分式不等式、含絕對值的不等式以及無理不等式和高次不等式）的解法。第三部分講算術平均數(shù)與幾何平均數(shù).并通過幾個例題，說明這兩個基本不等式在解決數(shù)學問題和實際問題中的應用.第四部分是不等式的證明.通過七個例題，分別介紹了證明不等式的三種基本方法----比較法、分析法和綜合法。

本章內容中，不等式的解法是重點。不等式的性質及其證明和不等式的證明是難點。不等式的證明是拓展內容，教學中要控制難度。掌握不等式的性質是學好本章的關鍵.

四、課時分配

本章教學時間約需20課時，具體分配如下（僅供參考）：

2.1不等式的基本性質約4課時

2.2一元二次不等式的解法約4課時

2.3其他不等式的解法約4課時

2.4基本不等式及其應用約3課時

2.5不等式的證明（拓展內容）約3課時

本章小結約2課時

五、教法建議

1.2.1不等式的基本性質這一節(jié)建議安排復習一元一次不等式和不等式組的解法，補充含字母系數(shù)的不等式解法。另外不等式的區(qū)間表示建議在復習一元一次不等式和不等式組的解法時介紹給學生。

2.2.2一元二次不等式的解法和2.3其他不等式的解法的教學，重點是一元二次不等式的解法，教學中要對一元二次不等式多辨析。如，mx2+m(m-2)x+3>0是什么不等式？學生往往誤以為是二次不等式。對二次不等式的解法要突出數(shù)形結合的思想方法，讓學生感悟到二次函數(shù)，二次方程和二次不等式之間的聯(lián)系。對于其他不等式的解法著重讓學生領悟解不等式與解方程的區(qū)別與聯(lián)系，可以從命題，充分條件，必要條件等角度進行分析。

3.重視應用題的教學。數(shù)學知識充實際問題中來，而后應用于實際問題。這是本教材的一大特色。如，一元二次不等式概念的引入，不等式應用題舉例和探究與實踐等。

4.對于不等式的證明這部分拓展內容的教學建議還是要教的，但要控制難度，絕對不要超出課本的難度。無理不等式和高次不等式的解法也是一樣的處理。

5.信息技術在不等式這部分內容的教學中可以發(fā)揮一定的輔助作用，教師應該恰當運用信息技術搞好與數(shù)學教學的整合。

Ⅱ教材分析

引言

教科書從現(xiàn)實世界中的不等量關系，引出了本章內容，也說明了不等式的知識可用來解決一些實際問題.然后，引言概括說明了本章的主要內容，使學生初步了解全章內容的概貌。最后，引言指出了不等式在數(shù)學學科中的地位和作用，說明了學習本章知識的重要性。

2.1不等式的基本性質

1.本節(jié)知識結構

2.目的要求

掌握比較兩個實數(shù)不等關系的方法，理解不等式的基本性質，并初步理解不等式的證明方法，能應用不等式的基本性質進行正確的推理。

3.教學任務分析

1.本小節(jié)內容包括比較實數(shù)大小的方法，不等式的基本性質及其證明，和含字母系數(shù)的一元一次不等式解的討論。

2.在講對于任意兩個實數(shù)a，b，都有

時，應指出上面等價符號的左式反映的是實數(shù)的運算性質，右式反映的則是實數(shù)的大小順序，合起來就成為實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系.它是不等式這一章內容的理論基礎，是不等式性質的證明、證明不等式和解不等式的主要依據(jù).因此，在教學時必須高度重視.

比較兩個實數(shù)a與b的大小，歸結為判斷它們的差a－b的符號（注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要），而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.因此，實數(shù)運算的符號法則是學習不等式的基礎，可以根據(jù)實際情況作簡要的復習.

3.性質1（傳遞性），學生是容易理解的.但對它們進行證明，卻是比較困難的。一是學生可能認為沒有必要進行證明，二是學生可能不知道如何證明。為了引起重視，養(yǎng)成學生用邏輯推理進行數(shù)學證明的習慣，教學時可向學生提出如下問題：“如果。a＞b,誰大？”，針對學生回答中可能出現(xiàn)的錯誤，來說明證明的必要性。然后，可以讓學生回顧一下實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系，以及實數(shù)運算的符號法則，最后再引導學生進行證明。這里要使學生明確證明的依據(jù)是實數(shù)大小的比較與實數(shù)運算的符號法則，要引導學生說清每一步推理的理由和關鍵性步驟。

4.性質2及例1，學生也是容易理解的。在這里應該著重向學生指出：

⑴性質2是不等式移項法則的基礎；

⑵例1是同向不等式相加法則的依據(jù)。它是連續(xù)兩次運用性質2，然后由性質1證出的。但兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論，這點可以舉出反例向學生說明；

⑶例1可以推廣到任意有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

此外，性質2的逆命題也正確。

5.性質3有兩種不同的結果，學生不易理解，使用時容易出錯。講解時，可先用具體數(shù)，讓學生分析比較，得出結論后，再給予一般的證明，對于性質3還必須注意：

⑴其證明過程中的關鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

⑵要強調C的符號，因為符號不同，結論也不同；

⑶其中a，b可以是實數(shù)，也可以是式子，不要在強調c的符號時，又使學生誤解，從而限制a，b，縮小了定理的應用范圍。

6.練習2.1（1）第3題，說明將兩邊都是正數(shù)的兩個同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。教學時要強調指出：

⑴所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有a＞b，c＞d（而不是a＞b＞0,c＞d＞0），就推不出ac＞bd的結論；

⑵由兩個異向不等式，例如a＞b＞o，0＜c＜d，也推不出ac＞bd的結論。

這兩點可以舉出反例向學生說明.

練習2.1（1）第4題，說明兩個都是正數(shù)，則大的倒數(shù)反而小。

7.例2是介紹比較兩個實數(shù)大小的方法----作差比較法。教學時可以多補充一些例題，然后讓學生歸納“作差比較法”的步驟。

例3是介紹含字母系數(shù)的一元一次不等式的解法，這里著重講解清楚為什么要討論，討論的依據(jù)是什么（性質3）。

8.例4的證明主要是為了得出一般的結論（不等式乘方性質），這個結論應注意n為大于1的正整數(shù)這一條件.例如，當a＞b＞0，n＝－1時，a-1＞b-1不成立.例5的證明用的是反證法.因為＞的反面有兩種情形，即＜和=，所以不能僅僅否定了＜，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”，把這兩種情形都否定才能得出＞正確的結論。這也是本章難點之一，教師在講解清楚后可以作適當?shù)臍w納總結，但不宜對反證法進行加深和補充。

9.例1和例4和例5以及練習2.1（1）的3，4兩題是用不等式的性質及其推論來證明的。這可以使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎。

講解完這些例練題后，應向學生指出：這些例練題都標以黑體字，以后就可以利用它們來證明不等式。

10.在不等式性質的教學中，還要注意將不等式的性質與等式的性質進行類比，特別要指出它們之間的區(qū)別，這樣可避免解題中的一些錯誤。

不等式性質與等式性質的不同點主要發(fā)生在與數(shù)相乘（除）時，不等式兩邊所乘（除）的數(shù)的符號不同，結論是不同的。應讓學生理解這些變化。

2.2一元二次不等式的解法

1.本小節(jié)是先通過實際問題----剎車距離，給出了一元二次不等式的定義。接著研究一個較簡單的一元二次不等式的解。這個不等式的解，教材上給出了兩種方法。實踐表明，第一種方法學生是可以自己想到的，教學中可以讓學生思考作答，教師不必講太多。第二種方法學生一般是想不到的，教師可以從研究已學過的一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關系，在學生初步了解它們之間具有內在聯(lián)系的基礎上，再通過利用二次函數(shù)的圖象，找出一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系，進而得到利用二次函數(shù)圖象求解一元二次不等式的方法.這部分內容的主要基礎是一元二次方程和二次函數(shù)，它作為高中數(shù)學的重要基礎知識和基本基本技能，對今后大量的運算和推理將起到至關重要的作用.

2.本小節(jié)的目的要求是掌握一元二次不等式的解法.要掌握一元二次不等式的解法，主要就是要掌握利用二次函數(shù)圖象尋找一元二次不等式解集的方法，而這又需先了解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系.而要建立這三者之間的聯(lián)系，則需要學生能利用數(shù)形結合的思想去分析和思考，這無疑將成為學生學習本節(jié)內容的最大困難.解決這一困難，一方面可在初中已初步建立起的方程與函數(shù)思想的基礎上，先建立已學過的一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關系，再建立一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系；另一方面可讓學生在圖形計算器或計算機上直觀地看到，函數(shù)圖象與方程的解、不等式的解集之間的關系.

3.本小節(jié)的內容重點是圍繞一元二次不等式的解法展開，突出了數(shù)形結合思想的滲透，從前面的分析可知，突破重點的關鍵是弄清一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系:

先在二次函數(shù)y＝x2－2x－3上任取一個點，并在圖象上移動此點，來觀察該點坐標（x，y）的變化，從而得出：

當x＝3，或x＝-1時，y＝0，即x2－2x－3＝0；

當x＜－1，或x＞3時，y＞0，即x2－2x－3＞0；

當－1＜x＜3時，y＜0，即x2－2x－3＜0.

接下來，將函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象向上平移，在平移的過程中讓學生觀察，圖象與x軸的相關位置關系在發(fā)生著變化，從二者有兩個公共點，變?yōu)橹挥幸粋€公共點，最后變?yōu)闊o公共點.在此變化過程中，函數(shù)對應的方程的解與不等式的解集也都在發(fā)生著變化.老師可引導學生，先根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的幾種位置關系，學會找出對應的幾個具體的方程的解和不等式的解集；然后再由特殊到一般歸納出三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和對應的一元二次方程的解，來尋找相應的一元二次不等式的解集。

在這里，教材將拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸的三種相關位置，同一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的判別式Δ＝b2－4ac（Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0＝的三種取值情況聯(lián)系在一起.這樣處理，由于學生對用判別式判斷一元二次方程根的情況已有了一定的認知基礎，在此基礎上，來認識拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸的三種相關位置，進而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和對應的一元二次方程的解，來尋找相應的一元二次不等式的解集，學生的認識就容易得到逐步發(fā)展；另一方面利用計算機在函數(shù)圖象向上平移的同時，將二者聯(lián)系起來，是向學生滲透數(shù)形結合思想的一個有利時機。

7.因為a＜0的情況可以轉化為a＞0的情況，所以教材只討論了a＞0的情況.在教學中，老師也可以只討論a＞0的情況，a＜0的情況，可以讓學生自行分析。

8.可以結合教材中的例1～例4，指出解一元二次不等式的一般步驟.先把不等式化成ax2＋bx＋c＞0（或＜0＝（a＞0），然后作出相關函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象，再解對應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0），最后，根據(jù)一元二次方程的根，結合函數(shù)圖象和不等號的方向，寫出不等式的解集。另外對于區(qū)間表示不等式的解建議在2.1復習一元一次不等式和不等式組時介紹。

9.本小節(jié)的主要目的是熟練掌握一元二次不等式的解法，因此教師可適當補充一些練習和習題，加強一元二次不等式解法的訓練，務必使學生能熟練的求解一元二次不等式。

10.例6、例7是不等式的應用題，講解中著重數(shù)學模型（不等式）的建立，并且要學生注意應用問題作答的一般要求。

11.例8和練習2.2（3）中的第3題都是不等式恒成立問題，這兩個題由于都是一元二次不等式，因此可直接利用二次函數(shù)的圖像得到。對于練習2.2（3）中的第3題教師可以追問去掉“一元二次”四個字后，k又取那些值呢？這是學生易錯之處。

2.3其他不等式的解法

分式不等式的解法。教材也是通過一個實際問題來引入分式不等式，接著通過例1介紹分式不等式的兩種基本解法。教學中，重點要分析清楚解分式不等式和解分式方程的相同處（化為整式）和不同點（方程對角乘直接去分母，而分式不等式是通過化一邊為零然后轉化為不等式組或整式不等式的）。例2是分式不等式的應用，例3說明解分式不等式時要根據(jù)條件靈活地運用性質3。

含絕對值的不等式的解法。在復習了絕對值的概念和幾何意義后，直接利用絕對值的幾何意義得出了｜x｜＜a與｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解。通過例4、例5和例6介紹了｜x｜＜a與｜x｜＞a（a＞0）型的解的應用。教學中要讓學生明白，解含有絕對值得不等式的方法是利用絕對值的意義將它轉化為不含絕對值得不等式，再求解。教師可補充類似｜x-1｜<｜2x-5｜這樣的不等式。教材中的思考題：｜x+1｜+｜x-2｜>5讓學有余力的學生思考就可以了，這個內容一般不需要加深。練習中的打*號題也一樣處理。另外｜x｜＜a與｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解對于a<0和a=0時其實也是成立的，教師可以讓學生做一些研究。這個結論有助于求解類似｜x+1｜<x-1的不等式。

無理不等式的解法（拓展內容）。按課程標準規(guī)定，這是理科內容，因此在高一可以作為拓展向學生介紹一下。重點講清楚無理不等式如何轉化為有理不等式，它和解無理方程又有什么區(qū)別和聯(lián)系。

某些高次不等式的解法（*拓展內容）。按課程標準規(guī)定，打*的拓展內容可以不教，但是我還是建議向學生介紹一下數(shù)軸表根法。從我們的教學情況看學生還是容易接受的。

2.4基本不等式及其應用

1.本節(jié)知識結構

2.目的要求

1）利用信息技術捕捉學生思維的切入點，理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的兩倍的幾何解釋及其證明。

2）熟練掌握算術幾何平均數(shù)不等式在解決數(shù)學問題和實際問題中的應用。

3.通過算術幾何平均數(shù)不等式探究與應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學意識。

4.結合數(shù)學史恰當?shù)倪M行愛國主義教育。

3.教學任務分析

1）本小節(jié)內容包括兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理及其證明，此定理在解決數(shù)學問題和實際問題中的應用.

2）在公式a2＋b2≥2ab以及算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

⑴a2＋b2≥2ab和≥成立的條件是不同的，前者只要求a,b都是實數(shù),而后者要求a,b都是正數(shù)。

⑵這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘＝’號”這句話的含義要搞清楚.教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

當a＝b時取等號，其含義就是a＝b時，這兩個不等式可以取等號；僅當a＝b時取等號，其含義就是這兩個不等式取等號時，a＝b一定成立。

綜合起來，其含義就是：a＝b是這兩個不等式取等號的充要條件。

3）當用基本不等式證明不等式時（教材的例2，3，4），應該使學生認識到，它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質或用比較法證明。

4）利用正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關系，我們可以求某些非二次函數(shù)的最大值、最小值。（教材的例1，5）

在利用算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系求某些函數(shù)的最大值、最小值時，應該使學生注意以下兩點：

⑴函數(shù)式中，各項（必要時，還要考慮常數(shù)項）必須都是正數(shù)。

⑵函數(shù)式中，含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)，并且只有當各項相等時，才能利用算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系求某些函數(shù)的最大值或最小值.

以上兩點都是學生容易疏忽的地方，必須予以注意.

5）探究與實踐。這個內容是本教材的一大特色，教師應利用這個內容引導學生進行探究性學習。這里的課題是----最大容積問題。教師可以讓學生動動手，再借助圖形計算器進行猜測，證明。通過課題的研究，并不是要學生學會三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個不等式及其應用，重點是培養(yǎng)學生的探究創(chuàng)新能力。

2.5不等式的證明（拓展內容）

1.本節(jié)知識結構

2.目的要求

1）掌握不等式的證明方法，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴謹性、靈活性、深刻性。

2）在不等式證明過程中，注意滲透等價轉化、分類討論等數(shù)學思想，提高分析問題解決問題能力。

3）對于經(jīng)過證明了的不等式的幾何背景通過恰當?shù)臄?shù)學實驗加以驗證，用以強化數(shù)形結合思想的形成

3.教學任務分析

1）這一小節(jié)內容是拓展內容，是理科內容，是本章的難點.證明不等式就是要證明所給不等式在給定條件下恒成立.由于不等式的形式多種多樣，所以不等式的證明的方法也就靈活多樣，具體問題具體分析是證明不等式的精髓.本小節(jié)教材通過七個例題，分別介紹了證明不等式最常用的方法----比較法、綜合法、分析法。

2）教材首先指出了比較法的依據(jù)，接著通過二個例題介紹了用比較法證明不等式的具體步驟.在教學時，應強調：

⑴在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法。比較法是利用不等式兩邊的差是正數(shù)或負數(shù)來證明不等式，因而其應用非常廣泛。在這之前，比較兩個數(shù)或式子的大小，證明不等式的性質等，都用過這種方法。在證明基本不等式時也用過這種方法.因此，要求學生熟練掌握。

⑵不等式兩邊的差的符號是正或負，一般必須經(jīng)過變形后，才能判斷。在這里，變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少。至于怎樣變形，教師可多做些示范，有時把差變形為一個常數(shù)（例1），有時用配方法（例2），有的用通分的方法，有的用因式分解法等。能夠判斷出差的符號是正或負即可.

（3）圖象觀察法將對學生對枯燥的不等式有一個形象地認識，有益于學生興趣的培養(yǎng)；數(shù)據(jù)推測將有助于學生歸納總結和預見能力的培養(yǎng)（例2）。

3）分析法也是證明不等式時一種常用的基本方法（例3，4，5）。當證題不知從何人手時，有時可以運用分析法而獲得解決。特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效。另外對于恒等式的證明，也同樣可以運用。

用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：

為了證明命題B為真，

這只需證明命題B；為真，從而有……

這只需證明命題B。為真，從而又有

這只需證明命題A為真.

而已知A為真，故B必真.

可見分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法。

4）有時，我證明不等式，也可根據(jù)不等式的性質和已經(jīng)證明過的不等式來進行。這就是用綜合法來證明不等式（例6，7），在2.l節(jié)中證明不等式的性質，第2.4節(jié)中證明兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理時，實際上已用過這種方法。綜合法是“由因導果”，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的不等式成立。

5）一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易人手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結合在一起使用的。

證明不等式的方法，教材只介紹了三種基本方法。教學中，主要應著眼于培養(yǎng)學生的能力，使學生能針對具體問題進行具體分析，靈活地運用各種證法。對于這幾種證明方法，只是為了教學的需要，才把它們分開來講。在運用時，不僅可以根據(jù)實際情況靈活選擇，而且必要時，可以并且應該綜合運用它們去證明同一個問題。

本章小結

1.小節(jié)與復習分為三個部分：第一部分概括了本章學過的主要內容；第二部分分別給出了本章的知識結構框圖；第三部分給出了二組復習題。

2.復習本章時，應與以前學過的知識（如初一學過的不等式的基本性質，解一元一次不等式與一元一次不等式組，聯(lián)系起來進行，這樣才能使學生對不等式有較完整的認識。