愛華網混沌學隸屬于非線性動力學，是非線性科學的主體內容。混沌學中的混沌不同于通俗意義上的混沌，也不同于一般科學中的混沌，而是具有確切意義的科學概念。這里的混沌是指確定性系統的無規(guī)行為。對于三百多年牛頓力學中的確定性原則，混沌理論無疑是一次重大的科學革命。
一、混沌的發(fā)現
混沌研究的淵源可以上溯到十九世紀末，前后共有一百多年的歷史。
最早對混沌研究作出貢獻的是俄國女數學家卡瓦列夫斯卡婭（Kovalevskaya），她在1889年給動力學系統穩(wěn)定性下定義時，提出了度量小偏差增長率平均值的概念，這是朝混沌的獨立理論邁出的第一步。此后，俄國數學家李雅普諾夫（LiapunovAM）將上述概念推廣為李雅普諾夫指數，進而第一個給出了運動穩(wěn)定性的定義，奠定了運動穩(wěn)定性理論和方法。李雅普諾夫指數概念是確定運動穩(wěn)定性問題的關鍵，至今仍是判定運動穩(wěn)定性的基本方法。
哈密頓函數是動力學系統中與總能量有關的狀態(tài)函數，根據哈密頓函數表示的運動方程，可以把動力學系統劃分為可積的和不可積的兩類。這種劃分使人們逐步認識到，牛頓理論實質上只是關于可積系統的理論，這樣的系統具有周期運動和準周期運動的特征，它們在動力學系統中所占比例極小，小到“測度為零”的程度。而一般的動力學系統，包括多體問題都是不可積的，而其典型行為正是混沌。首先發(fā)現這種不可積系統動力學行為的是法國數學家龐加萊（H.Poincaré）。他因此而被公認為真正研究混沌的第一位科學家。
龐加萊的發(fā)現是在研究天體力學時作出的。天體力學是隨著牛頓力學的建立誕生的。微積分為描述行星運行提供了數學工具，借此可以概括運動定律，從某個初始狀態(tài)出發(fā)，確定系統過去和未來的狀態(tài)。這種模式在刻劃天體力學中的二體問題（比如太陽和地球）時，的確非常成功。然而，天文觀測發(fā)現，太陽系中有些行星的軌道在變化。比如，土星軌道在擴大，木星軌道在縮小。照此下去，木星豈不沖向太陽，而土星卻將飛離太陽系？太陽系是穩(wěn)定的嗎？這在當時無疑是一個引人入勝的實際問題。
1887年，瑞典國王奧斯卡二世（OscarⅡ）懸賞2500克朗，征解這個經魏爾斯特拉斯進一步明確化并呈交給國王的問題。兩年后，龐加萊獲得了此項大獎，他的獲獎論文題目是《論三體問題和動力學方程》。這篇論文發(fā)表于1890年，長達270頁，分三部分，第一部分確立動力學方程的普遍性質；第二部分把結果應用于牛頓萬有引力作用下的任意多體運動問題。
![[轉載]混沌世界的分形描述 混沌理論與分形幾何學](http://img.413yy.cn/images/31101031/31061539t018bb3ccbc9f7f88e1.jpg)
由于太陽系中有許多天體，它的穩(wěn)定性問題需要研究這些天體在萬有引力作用下的運動規(guī)律。此即天體力學中的N體問題。19世紀的數學家已經知道，N體問題屬于不可積的難題，只能近似求解。龐加萊考慮的是限制性三體問題。所謂限制性三體問題，是當所討論的3個天體中，有一個天體的質量與其他兩個天體的質量相比，小到可以忽略。龐加萊說，這個問題盡管很簡單，但不能用一般的分析方法來解決。他著手去尋找小質量體（考慮另外兩個大質量體時被忽略掉的那一個天體）的周期運動。這是在論文的第三部分里，龐加萊試圖解決微分方程周期解的存在性問題。他在得出形式上的級數解后，沒有直接去證明收斂性，卻從另外一個角度審視這個問題，意在嚴格地證明周期解的存在，同時隱含著級數的收斂。他的這種思想是獨一無二的，其實用到了拓撲方法，是一種定性而非定量的方法。
系統只要在某個時刻重復先前的特定時刻的狀態(tài)，運動就一定是周期性的。這由微分方程解的唯一性保證。系統的狀態(tài)是由相空間中的點的坐標表示的。當系統隨時間演化時，這點的運動描出一條曲線。要使狀態(tài)再次回復，這條曲線必須圍成一個環(huán)?！扒€何時成為閉合的環(huán)？”這問題與環(huán)的形狀、大小、位置統統無關，它取決于一點在此刻的位置與它在一個周期后的位置之間的關系的拓撲性質。
正是在這種拓撲思想的指導下，龐加萊發(fā)明了一種像病理切片一樣的“龐加萊截面”：拋開相空間的軌道曲線，只記錄每次穿過截面時截點的變換情況，從而推知系統的運動特征。如果系統作簡單的周期運動，那么軌道每次由同一處穿過截面，截面上只有一個不動點。如果運動是非周期的，截面上將有無窮多個無規(guī)則的點。龐加萊還為動力系統理論貢獻了一系列的概念和方法，如動力系統、奇異點、極限環(huán)、同宿的概念和攝動方法等。他是微分方程定性理論的奠基人之一，他創(chuàng)立的組合拓撲學是當今研究混沌學必不可少的工具。
龐加萊證明，三體問題一方面有周期解，另一方面某些周期是不穩(wěn)定的。他在詳細研究周期軌道附近流的結構時，發(fā)現在所謂的雙曲點附近存在著無限復雜精細的“柵欄結構”。他描述說：“當人們試圖畫出這兩條曲線和它們的無窮次相交（每一次相交都對應于一個雙漸近解）構成的圖形時，這些相交形成一種網、絲網或無限密集的網狀結構；這兩條曲線從不會自相交叉，但為了無窮多次穿過絲網的網節(jié)，它們必須以一種很復雜的方式折疊回自身之上。這一圖形的復雜性令人震驚，我甚至不想畫出來。沒有什么能給我們一個三體問題復雜性的更好的概念”。龐加萊的發(fā)現表明，即使像限制性三體這樣簡單的系統，也會產生極其復雜的行為，確定性動力學方程的某些解有不可預見性，這其實就是我們今天所說的混沌。
龐加萊沒有解決太陽系的穩(wěn)定性問題。但卻回答了一個影響深遠的普遍性問題：怎樣研究復雜動力學系統中的穩(wěn)定性問題。他因此成為通過數學推理發(fā)現混沌的第一個人。
龐加萊并沒解決N體問題，這個問題的解決依賴于KAM定理。1954年，前蘇聯學者柯爾莫果洛夫（KolmogorovA）在阿姆斯特丹的國際數學家大會上，宣讀了《在具有小改變量的哈密頓函數中條件周期運動的保持性》。在這篇劃時代的科學論文中，他提出了一個重要定理。后來他的學生阿諾德（V.I.Arnold）及瑞士數學家莫澤（J.Moser）分別給出了定理的嚴格證明。因此，這個定理稱為KAM定理?？聽柲宸蜓芯苛私馕龉茴D系統的橢圓周期軌道的分類，發(fā)現了一個充分接近可積系統的不可積系統，對此系統若把不可積當作可積哈密頓函數的擾動來處理，則在小擾動條件下，系統運動圖象與可積系統基本一致；當擾動足夠大時，系統圖象就發(fā)生了性質改變，成了混沌系統。這是19世紀以來，人們用微擾方法處理不可積系統，所取得的最成功的結果，具有極為重要的理論意義。它說明了不可積系統的混沌運動的發(fā)生機制。KAM定理被國際混沌學界公認為這一新學科的第一開端。
美國氣象學家洛侖茲（E.N.Lorenz）在天氣預報中的發(fā)現是混沌認識過程中的一個里程碑。
洛侖茲本來是學數學的，1938年大學畢業(yè)后，由于第二次世界大戰(zhàn)，使他成了一名氣象學家。戰(zhàn)后他繼續(xù)從事氣象研究，在麻省理工學院他操作著一臺當時比較的先進工具——計算機進行天氣模擬。在二十世紀五、六十年代，人們普遍認為氣象系統雖然非常復雜，但仍是遵循牛頓定律的確定性對象，只要計算機功能足夠強大，天氣狀況就可以精確預報。馮?紐曼（VonNoumann）在設計第一批計算機的時候，就以天氣模擬為理想任務。他甚至設想通過使用計算機計算流體運動的方程，人類就可以控制天氣。
天氣變化是一種特殊的流體運動——對流。洛侖茲將薩爾茨曼（B.Saltzman）的簡化對流模型做了進一步的簡化，最后得到3個一階微分方程，后稱為洛侖茲方程。洛侖茲把這個方程作為大氣對流模型，用計算機做數值計算，觀察這個系統的演化行為。
洛侖茲終于得出了一個驚人的發(fā)現。這個發(fā)現的過程本身也很有趣，是個偶然性的小插曲。
1961年冬天有一天，他先算出了一個解，還想觀察更長時間的演化情況。這次他沒有重新輸入初始值，而是把中間值作為初值輸入節(jié)省運算時間，然后他下樓去喝咖啡。當他回到機房取結果時，卻驚奇地發(fā)現，新一輪運行未按設想去重復舊運行的后一半。兩條曲線漸行漸遠，直到完全分道揚鑣，毫無相像之處。
起初，他以為計算機又出了故障。但他很快意識到，問題出在他記錄并敲入的小數是三位的，而機器內存儲使用的是六位的。這個不到千分之一的誤差導致了截然不同的演化結果，表明最初小小的誤差可以產生兩種完全不同的天氣。這正是混沌對初始條件的敏感依賴性。洛侖茲后來把它稱為“蝴蝶效應”，并通俗地比喻為：一只蝴蝶在巴西煽動翅膀會在得克薩斯引起一場龍卷風。
洛侖茲的模型是對原型的簡化，他把一組對流方程簡化到只剩下了骨架。他本質上仍是一位數學家，他的數學思維在這里發(fā)揮了根本作用。這完全是一個理想的超現實的模型，除了非線性之外，后來的模型幾乎什么也沒有剩下。這樣的模型更能定性地說明氣象的本質。如果采用更能確切地刻劃系統特點的高階微分方程，那么數值結果的無規(guī)行為，就會被歸咎于方程的復雜，因而不便發(fā)現混沌。洛侖茲的簡單化數學處理，讓人們從最簡單的模型觀察到奇怪、復雜的行為，并理所當然地承認，這種不確定行為源自確定性系統產生的內在隨機性。斯圖爾特總結說：“多數科學家對那些削去部分的作用憂心忡忡。他們未理解，洛侖茲根本不在意他的方程是否有物理意義。洛侖茲打開了通往一個新世界的大門”。
物理上將動力學系統分為保守系統和耗散系統。如果系統中不存在摩擦、粘滯等因素，運動過程中能量守恒，這類系統稱為保守系統；如果系統中有摩擦、黏滯性的擴散或熱傳守性質或過程，在運動過程中消耗能量，系統的能量不能保持恒定不變，這樣的系統稱為耗散系統。龐加萊在保守系統中發(fā)現了混沌，而洛侖茲則是在耗散系統中第一個發(fā)現了混沌。
通過長期反復的數值實驗和理論思考，洛侖茲以巨大的勇氣向傳統理論提出了挑戰(zhàn)，揭示了計算機模擬結果的真實意義。在耗散系統中首先發(fā)現了混沌運動。他提示了一系列混沌運動的基本特征。如確定性非周期性、對初值的敏感依賴性、長期行為的不可預測性等，他還發(fā)現了第一個奇怪吸引子——洛侖茲吸引子，并開辟了用計算機進行數值計算來研究混沌的道路。
然而，洛侖茲的重大發(fā)現并未在當時引起重視。1963，他把第一篇題為《確定性非周期性》發(fā)表在美國的《大氣科學雜志》。數學家很少有人翻閱氣象學刊物，而氣象學家們會把這個修剪過的對流方程視為左門歪道。因此，他的論文十年內湮沒無聞。直到七十年代掀起混沌研究的熱潮時，人們才驚奇地發(fā)現了洛侖茲的工作成果并開始理解他超越時代的思想。
到20世紀70年代，混沌的數學理論和研究工具均已問世。KAM定理和洛侖茲的工作更把物理學家吸引到這個領域中來。物理學家闡明了混沌的實質，并在實驗中證實了它的存在，混沌理論進一步得到確認，混沌研究的高潮來到了。
二、混沌的產生及特征
混沌理論研究的是具有確定性的非線性系統，混沌可以看作是決定論方程的無規(guī)運動。混沌的正常狀態(tài)不同于通常概念下確定性運動的三種狀態(tài)：靜止（平衡），周期運動和準周期運動。比如，它的軌道永不重復但卻囿于有限范圍，局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定，無限自相似等等，所有這些復雜性特征及其產生機制都是混沌理論所最關注的核心話題。
考察混沌的發(fā)生不必尋找很復雜的動力系統，選擇一個理想的簡單“標本”反而可以收到事半功倍的效果。歷史上的探索是從一個非常簡單的差分方程—Logistic方程開始的，由此洞開的混沌世界令人驚奇不已，一系列混沌的實質內容浮出水面，將人們對其特征和涵義的認識引向深入。郝柏林院士將此方程與二體問題模型、布朗運動模型相并列，用以說明經典自然科學的三次飛躍。研究二體運動揭示了確定論范式，研究布朗運動揭示了隨機論范式，研究Logistic方程（映射）則揭示了復雜系統的渾沌論范式——確定論與隨機論相結合的綜合范式。
1．Logistic方程
這是一個種群生物學模型。經典的馬爾薩斯模型是無限制增長的線性函數。顯然這種增長不受食物供應或道義約束的限制。而現實的模型中，生態(tài)學家需要帶有附加項的方程，以期在種群數太大時限制增長。按生態(tài)學家的設想，最簡單的模型莫過于稍稍修改一下馬爾薩斯的模型。這個函數被稱為邏輯斯蒂映射。20世紀50年代，曾有好幾位生態(tài)學家考察過這個函數的修正形式。
R.梅（RobertMay）是美國的數學生態(tài)學家。他先在家鄉(xiāng)悉尼學理論物理，后到哈佛大學做應用數學方面的博士后研究工作。1971年他來到普林斯頓高等研究所進行為期一年的訪問，他沒有做原本應該做的事，轉而致力于邏輯斯蒂方程的研究，試圖用它來揭示非線性種群模型的古怪特性。梅對這個初中生就已熟悉的最簡單方程的行為，進行了大量的數值探索，意在一舉弄清這個簡單方程的全部行為，不是局部地，而是整體地看清楚這個非線性方程的動力學演化。
1976年，R.梅在《自然》雜志上發(fā)表論文《表現非常復雜的動力學的簡單數學模型》，提請大家對簡單模型的復雜狀態(tài)多加注意。這位美國生物學家知道，在全部科學中，專家們都曾看到和討論過系統的復雜行為，但每一個學科卻為混沌貼上了不同的標簽。他正在探索的這些驚奇結構，與生物學并無內在聯系。如果這些簡單模型可以用于不同領域的復雜行為，該有多少其他領域的科學家會同他一樣感到激動。他把自己發(fā)表的文章想象為“救世箴言”。他從這樣一個簡單的生態(tài)方程出發(fā)，討論一個系統是怎樣走向混沌的。
R.梅實際觀察的是離散化的邏輯斯蒂差分方程
他研究了成百個參數值。對每個參數，他觀察這成串的迭代數字是否以及在何處趨向一個不動點。比如時，種群數為0.6292。隨著參數增大時，種群數也稍有增加。如果參數表示在橫軸上，種群數表示在縱軸上，則當參數限定在0與3之間，這種種群數依賴于參數變化就會形成一條從左向右微微上升的曲線。但當參數超過了3時，曲線突然地一分為二，值在兩個不同數之間振蕩。這是周期2循環(huán)。此時定態(tài)失穩(wěn)，成為周期性的。
當增大到3.444…時，周期2吸引子也失穩(wěn)，出現周期4循環(huán)，即種群數在4個不同值之間跳躍，周期再次加倍。當增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期達到16，此后便是更快速的32，64，128…周期倍增數列，這種現象叫做倍周期分岔。這種倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699…就結束了：倍周期分岔現象突然中斷，周期性讓位于混沌，表現為一種永不落入定態(tài)的漲落。
所有這一切看起來是非常簡單的，當從0趨向4時，動力學性態(tài)的復雜性穩(wěn)定增長：
定態(tài)→周期性態(tài)→混沌性態(tài)
倍周期分岔則是使混沌開始發(fā)生的機制。
但這并非盡然！R.梅還會更深層的發(fā)現！
參數值繼續(xù)上升，非線性對系統的驅動越來越強，穩(wěn)定的周期又突然地出現，形成有規(guī)則性的窗口，倍周期分岔以更快的速度全面展開，很快地經過3,6,12，…或7，14，28，…這些周期，然后再次中斷，進入新的混沌。
R.梅把不同參數的迭代結果畫在一張圖上，得到倍周期分岔圖，從中可以了解邏輯斯蒂映射的全部動力學性態(tài)。分岔是動力學系統的吸引子定性形式的任何變化；邏輯斯蒂映射恰恰充滿著分岔。如此復雜的動力學行為使R.梅深感震驚，他把它描述為“數學草叢中的一條蛇”。進一步的觀察還發(fā)現，即使在混沌區(qū)也還包含著復雜、精細的幾何結構。
首先，從參數由大到小看混沌區(qū)的變化會發(fā)現，為4時呈單片混沌。當參數降至3.6786時，混沌區(qū)一分為二，迭代數值在兩個混沌帶來回跳躍。為3.5926時，兩個混沌帶分成四個，然后八個帶，十六個帶……，直到臨界參數3.5699為止?；煦鐓^(qū)以與周期區(qū)相反的方向從右向左依次分為21，22，…，2n，…個帶，叫做混沌區(qū)的倒分岔。
其次，混沌區(qū)的窗口內也非空白。窗口內的演化是周期性的，最大的一個窗口是周期3窗口，位于3.828處。往左還有5，7，9，…等周期窗口。在2n帶區(qū)內有2n×3，2n×5，2n×7…等周期窗口。若把周期窗口中某一部分放大，會發(fā)現與分岔圖相同的精細結構。這種二級結構與一級結構構成奇妙的自相似嵌套結構。進一步把二級結構放大，還會發(fā)現嵌套在內的三級結構，四級結構，……。可見，混沌區(qū)中存在著無窮層次的自相似結構。
這確實有點不可思議！這么一個簡單的確定性方程，卻產生了如此多的隨機內容！而且，這么久以來人們還未曾把它產生有序和無序的可能性研究窮盡。事實上就是沒有窮盡，梅的計劃只是一個開端。美國物理學家費根鮑姆（Mitchell，Feigenbaum）從中發(fā)現了更多的東西。
2．費根鮑姆的普適常數
費根鮑姆在美國的洛斯阿拉莫斯實驗室工作。他同事誰也搞不清他在從事什么工作，包括他本人。他的雇主卡拉瑟斯是一位和藹的但雄心勃勃的物理學家兼科學管理工作者，他知道，好的科學工作往往不出自計劃。他認為“費根鮑姆具有正確的背景。他在正確的時候做正確的事，而且做得很出色。他不是做局部的事情。他把整個問題弄清楚了”。
費根鮑姆有一個信念，物理科學未能理解艱難的非線性問題。當他開始在洛斯阿拉莫斯思考非線性時，他意識到正規(guī)教育中沒有任何有用的東西。除了教科書中專門設計的特例，求解非線性微分方程組是不可能的。通過微擾技術求解，希望它與真正問題相接近，看來是愚蠢的。費根鮑姆最終確定從簡單的類似于R.梅研究過的映射開始。他同時進行數值工作和理論分析，但遲遲看不到方程的整體圖象，但能夠看出，各種可能性非常復雜，分析起來會極其困難。他知道洛斯阿拉莫斯的三位數學家1971年已經研究過這類映射，其中的P.斯坦還提請他注意：這類映射甚至比任何人想象的還要復雜。于是，問題曾一度被束之高閣。
然而，1975年夏天，他去科羅拉多的山間小鎮(zhèn)參加了一次會議，會上他聽了拓撲學和動力學專家斯梅爾（S.Smale）有關動力學系統的介紹。斯梅爾先介紹了邏輯斯蒂映射和倍周期分岔走向混沌。斯梅爾指出，某些有意義的現象可能就發(fā)生在周期轉為混沌的臨界處。同以往一樣，斯梅爾對重要問題有敏銳的直覺。費根鮑姆又一次受到鼓舞，他決定重新研究邏輯斯蒂方程。
費根鮑姆決定先精確算出分岔點的參數值。由于計算器太慢，每一次周期倍分的精確參數值要用好幾分鐘才能算出來，而且越往前走，時間越長。為了節(jié)省時間，他試圖猜測下一個參數會在何處。忽然他發(fā)現一個出乎意料的規(guī)律：這些數字是幾何收斂的。也就是說，相鄰兩分岔點的間距是幾何收斂的。R.梅從邏輯斯蒂方程得到豐富的定性信息，他也曾看到過這個幾何收斂，但很快就忘記了。他為方程的整體行為而激動，但沒有意識這些數值細節(jié)會證明是重要的。費根鮑姆知道這些定量信息的重要性，因為幾何收斂意味著方程中有些標度變換性質。在這樣不守規(guī)矩的系統中，蘊含著某些標度變換下能保持下來的性質。在方程的湍流表面之下，藏著某種規(guī)律性。現在需要進一步確證這兩個常數的普適性。
費根鮑姆想起了他的同事斯坦等人還觀察過其他方程，并發(fā)現了同樣的周期倍增現象。發(fā)現一個多月之后，他終于下定決心把超越函數拿來做迭代試驗。這一次，計算器算得更慢。但他還是很快發(fā)現，這個超越函數的迭代，其分岔間距比也是幾何收斂的，更令他激動的是收斂速度（每次縮小的倍數）也是4.669。
后來人們進一步發(fā)現，一維單峰映射都有相同的收斂速率和標度因子。而且，在許多包含耗散的高維非線性系統中，只要出現倍周期分岔序列，就會有同樣的普適常數。當然，對于明顯不同的峰形（如扁平峰或尖峰）和多峰來說，就不是這兩個數值了。對于保守系統，與一維單峰映射對應的普適常數。因此，根據普適常數的不同可以劃分不同的普適類，每一類內的映射的普適常數相同。同類映射中，我們只要研究一個最簡單的典型實例即可。
斯圖爾特說：“費根鮑姆像一個魔術師，他從混沌大禮帽中抓出了普適性的兔子”。普適性的重要意義不僅在于他是一個偉大的思想結果，而且在于由此可以找到定量上完全相同的性質、可以預言的性質。
1977年物理學家利布沙伯（A.Libchaber）設計了一個理想化的但卻真實的對流實驗。隨著溫度的升高，他觀察到了周期振蕩的周期倍增效應，并驗證了標度比4.669。費根鮑姆的普適常數從數學理想變成了物理現實，可以測量，可以再生。此后幾年，世界各地進行的一大批實驗證實了費根鮑姆的預言。不僅僅在湍流中，而且在電子學、光學，甚至生物學中。費根鮑姆的發(fā)現，改變了人類對宇宙的認識。
3．奇怪吸引子
為了描述動力學系統的演化，要用到物理學中的相圖。在物理學中，把表示動力學系統在任一時刻所處的狀態(tài)（即速度和位置）叫做相，用相空間中一個點表示；這個點就是該時刻的動力系統；動力學系統的演化用相空間的一條曲線表示。系統的時間史全部包含在這條相空間中的軌道上，這有利于觀察系統的變化。相空間是龐加萊發(fā)明，并由美國拓撲學家斯梅爾（StephenSmale,1930-）繼承和發(fā)展的定性方法，這是現代科學最強有力的發(fā)明之一。
斯梅爾的思想非常獨特。他對動力學作出過非常重要的貢獻，包括1906年證明龐加萊猜想五維以上情形（他為此獲菲爾茲獎）。他研究動力學系統時依據的是相圖的拓撲特性，而不是定義他們的公式。為強調新的觀點，斯梅爾用術語“動力學系統”來代替“微分方程系統”。在他看來，動力學系統最重要的屬性是它的長期性態(tài)。吸引子作為它穩(wěn)定下來成為的任何東西，即系統的穩(wěn)定態(tài)，無疑是最值得的關注的。系統的運動只有到達吸引子上，才能穩(wěn)定下來并保持下去。
就平面內的結構穩(wěn)定系統而言，吸引子只有兩種：不動點和根限環(huán)。這就是說，系統的長期運動狀態(tài)只能是靜正和周期性重復某種運動系列。比如單擺運動，無摩擦力時，相圖是一個閉環(huán)，這說明吸引子為極限環(huán)。當考慮摩擦時，摩擦會使擺的運動慢下來，最后停在一個定點，即中心點上。即系統趨于相空間中一個特定的點——不動點。另外，邏輯斯蒂映射即有不動點，也有極限環(huán)（2周期點，4周期點等等都是極限環(huán)）。
在經典動力學系統中還有第三種吸引子——二維環(huán)面，它表示準周期運動。在這種運動中，質點同時作兩種周期運動，是兩重周期運動的疊加運動。那么這兩種運動的合成還是周期運動嗎？事實上，當兩周期之比為有理數時，合成運動依然是周期運動；當兩周期之比為無理數時，合成運動不再是周期運動。但可以證明，在經過足夠長的時間之后，質點總可以轉回到與其出發(fā)點任意接近的地方。也就是說，運動從不重復卻又“幾乎重復”，故稱為準周期運動。這種運動常常出現在經典動力學中，因為天體力學中存在許多疊加現象。
湍流是困擾物理學家的一個古老難題，同時也是促發(fā)混沌發(fā)現的一個重要因素。法國的數學物理學家呂埃勒（D.Ruelle）和荷蘭數學家塔肯斯（F.Takens）正是在解釋湍流的形成機理時，提出奇怪吸引子的概念。
湍流究竟是什么？它是各種尺度上的一堆無序，大渦流中套著小渦流。它是不穩(wěn)定的。它是高度耗散的，是一種變得隨機的運動。然而，流體怎么越過從平滑層流到湍流的分野的呢？20世紀40年代，俄國科學家朗道（LandaL D）提出了一個假說。他認為，湍流是許許多多互不相容的頻率疊加在一起的結果。后經德國數學家霍普夫（HopfE）補充，形成了流行三四十年之久的朗道一霍普夫理論。
呂埃勒其實并不精通流體流動，但他認為，新事物總是非專家發(fā)現的，況且湍流還沒有深奧的理論，只有一些非專家就可以理解的性質。他聽過斯梅爾的報告，知道斯梅爾的通過伸縮和折疊進行馬蹄變換的拓撲思想?；谒姑窢柕恼Z言，他和來訪的塔肯斯合作，于1971年發(fā)表了《論湍流的本質》一文，提出用混沌來說明湍流形成機制的新觀點。他們認為，湍流中的能量消耗必然要導致相空間的收縮，從而收向某種其他類型的吸引子。這種吸引子應該具有穩(wěn)定性、低維性和非周期性。它是相空間中有限區(qū)域中的一條無限長軌道。兩位數學家是靠數學推論作出這個斷言的，他們自己從來沒有見過，也沒在文章里給出示意圖。但是僅有這個論斷就足以奠定他們在混沌研究中的歷史地位了，他們提出了一個完全不同的通往湍流的道路。
其實，呂埃勒和塔肯斯設想的圖像早在十年前就已經存在了。1963年，洛侖茲在自己的論文中附了一張圖，圖中畫了一條十分復雜的曲線，正是奇怪吸引子，后稱為洛侖茲吸引子。這條曲線分左右兩葉，左葉畫出五道環(huán)，右葉畫出兩道環(huán)。僅這七個環(huán)線，洛侖茲就進行了500次數值計算。就當時他的計算機能力所及很難給出這個圖象的全貌。但他看到的比畫出的要多。這是一種雙螺旋，像一只蝴蝶的翅膀，兩翼的曲線巧妙地交織著，但永遠不會自交。因為一旦自交，此后的運動就會按周期重復。在有限的范圍內永不重復，無限地向縱深卷曲，正是這個吸引子的美妙之處。當呂埃勒看到洛侖茲吸引子時，其驚訝和激動之情可想而知。據說，在以后的年代中，呂埃勒還專門去拜訪過洛侖茲一次。
就呂埃勒和旨塔斯提出的線索，人們分別從理論上和實驗上進行了探索。洛侖茲吸引子典型嗎？奇怪吸引子適用于自然中的混沌嗎？
在德國，1976年一位名叫若斯勒（Otto R?ssler）的醫(yī)生發(fā)現了一種特別簡單的吸引子，它是洛侖茲吸引子的一個變種。
在法國，一位遠離流體力學的天文學家——埃儂（M.Henon）,建立了一個由能級決定性態(tài)的動力學系統，發(fā)現了高能級時的軌道解體，得到一個卵形圖。他在聽到呂埃勒和洛侖茲吸引子之后，決定拋開系統的物理意義，集中探究其幾何實質。關鍵在于斯梅爾的馬蹄變換思想。經過伸縮和折疊，得到一幅像一輪彎月一樣的圖象。其精妙之處在于，圖的輪廓可以分解成不同的線，然后兩條線分解成四條，其中一對靠得很近，另一對離得較遠。再放大后，四條線中的每一條原來都由雙線組成?！绱饲短祝敝翢o窮。
一般來說，天文學家在計算中忽略耗散。沒有耗散，相空間就不會折疊和收縮得產生無窮的自相似層次，從而永遠不會出現奇怪吸引子。然而，埃儂也是一位跟數學有著未了緣的科學家。他發(fā)現了混沌，并且變換出了奇怪吸引子。他開始時就對微分方程組作了些簡化。正如他說的，“為了多一些實驗自由度，我們暫時忘掉問題的天文學來源”。他的確從簡化中獲得了報償。他抽象出的實質內容同樣適用于其他更重要的系統。他在獲得奇怪吸引子之前再次拋開系統的實際背景，施行了一些純數學的手段。
另一方面，科學家們在自然界看來具有隨機性行為的一切領域尋求奇怪吸引子。1981年，美國加州大學克魯茲分校的幾位物理學家，通過龍頭流水實驗，從實驗數據中重建了滴水龍頭動力學中奇怪吸引子的拓撲結構。奇怪吸引子的混沌動態(tài)是造成某些湍流現象的原因已得到認可。
在耗散系統的混沌研究中，奇怪吸引子是一個中心問題。耗散系統的混沌與保守系統的混沌的根本區(qū)別在于有無吸引子。對耗散系統的混沌研究一個常規(guī)模式是：尋找奇怪吸引子，刻劃奇怪吸引子。
4．混沌的特征
一般認為，混沌具有以下三個主要的定性特征：
（1）內在隨機性。從確定性非線性系統的演化過程來看，它們在混沌區(qū)的行為都表現出隨機不確定性。而且這種不確性是沒有受到外部干擾對系統運動的影響，而是系統自發(fā)產生的，是一種內在的隨機性。上述的混沌研究表明，只要確定性系統具有稍微復雜的非線性，就會在一定控制參數范圍內產生出內在隨機性?；煦绯１环Q為自發(fā)混沌、確定性的隨機性等，它所強調的就是混沌現象產生的根源在系統自身，而不在外部的影響。
內在隨機性往往導致局部不穩(wěn)定性。一般來說，產生混沌的系統具有整體穩(wěn)定性。但與有序態(tài)比較，混沌態(tài)的不同在于它同時還有局部不穩(wěn)定性。所謂局部不穩(wěn)定性是指系統運動的某些方面（如某些維度上）的行為強烈地依賴于初始條件。從兩個非常接近的初值出發(fā)的兩條軌線在經過長時間演化之后，可能變得相距“足夠”遠，表現出對初值的極端敏感。即所謂“失之毫厘，謬以千里”。洛侖茲稱這種現象為“蝴蝶效應”。正因為具有內在隨機性的系統對初值的極端敏感，系統的長期行為才不可預測。
（2）分維性質。混沌態(tài)具有分維性質。非整數維可以用來描述系統運動軌道在相空間的行為特征。比如奇怪吸引子的無窮層次的自相似結構。
（3）普適性和費根鮑姆常數。混沌不是純粹的無序，而是種種不具備周期性和其他明顯對稱特征的“高級”有序運動。如果數值的或實驗的分辨率足夠高，可以發(fā)現混雜在小尺度混沌中的有序運動花樣。混沌區(qū)的系統行為往往體現出無窮嵌套的自相似結構，這種標度不變性代替了通常的空間和時間的周期性，成為混沌運動的規(guī)律性。費根鮑姆在研究邏輯斯蒂方程時，發(fā)現了其中隱藏著的內在規(guī)律，獲得了兩個反映自然界本質的新的普適常數。其中δ=4.6692016901……反映了倍周期分岔速度的幾何收斂性，以幾何級數方式的收斂意味著有標度變換規(guī)律。α=2.502907876反映了前后分岔寬度之間的倍數關系。
δ=lim[Δμ(n)/Δμ(n+1)
=lim{[μ(n)-μ(n-1)/[μ(n+1)-μ(n)}
=4.6692016091029
α=-lim{μ(n)分形傘區(qū)寬度/μ(n+1)分形傘區(qū)寬度}=2.502907876
這兩個常數雖然得自一個生態(tài)方程，但它們與種群演化過程無關，也不是該方程特有的而是普適的，是混沌現象深層規(guī)律的一種體現。這種普適性為研究和把握混沌帶來了許多方便，只要研究一種最簡單的模型，就可以將所得結論放心地運用到同類運動形態(tài)中去。
在混沌運動中發(fā)現自然常數的意義是十分深遠的，在物理學中普朗克常數h、光速c的發(fā)現都已作為物理學理論發(fā)展的一個重要的里程碑。費根鮑姆常數的發(fā)現標志著混沌理論的相對成熟。
三、分形幾何
1967年，法國數學家曼德勃羅（B.Mandelbrot）在《科學》雜志發(fā)表文章《英國海岸線有多長》。他用分形思想，對海岸線的本質作了獨特的分析，其結論震驚了學術界：任何一條海岸線的長度都是不確定的，它取決于測量所用的尺度。
曼德勃羅提出了一個怎么認識非線性復雜世界的根本問題。
長期以來，人們一直在使用歐幾里德幾何學的方法，對復雜的對象進行簡化和抽象，建立起各種理想模型（幾乎都是線性的），把問題納入可解的范疇。對這種模式，由于從中學到大學的不斷熏陶，人們已經習以為常。這種線性的近似處理方法，在許多情況下是卓有成效的，從而在科學上取得了豐碩的成果。然而，環(huán)顧四周，自然界的各種事物都是不規(guī)則的。正如曼德勃羅所說：“云團不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線引進”。復雜世界需要更貼近自然的幾何學。而分形正是直接從非線性復雜系統的本身入手，從未經簡化和抽象的研究對象本身去認識其內在的規(guī)律性。因此，分形幾何與傳統的歐氏幾何不同，是自然界的幾何學。
曼德勃曼是美國IBM公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學數學系教授。他于1924年出生在華沙，父親是成衣批發(fā)商，母親是牙醫(yī)。1936年遷往巴黎。由于戰(zhàn)爭，他受的中學教育并不正規(guī)。但巴黎解放之后，他在缺乏準備的情況下，卻通過了巴黎高師的入學考試。他的思維極其圖形化，無論什么數學問題，他幾乎都能把它轉化為幾何問題，通過圖形變換求解。他正是用這種方法掩蓋了自己的訓練不足，順利地通過了這次考試。當時布爾巴基的形式主義統治著高師的數學，曼德勃羅因不堪忍受而轉到巴黎高工讀書。10年后，他因同樣的原因而離開法國到美國定居。他不愿放棄自己的幾何直覺。
“分形（英文fractal）”是曼德勃羅新造的，原義是“不規(guī)則的、分數的、支離破碎的”。他是參考了拉丁文fractus(弄碎的)后造出來的，它既是英文又是法文，既是名詞又是形容詞。曼德勃羅對不規(guī)則的形狀和不規(guī)則的現象特別感興趣，他對早期人們遇到的“病態(tài)”集合進行了研究，包括康托爾集、魏爾斯特拉斯曲線，皮亞諾曲線和科克曲線等等。他還研究過海岸線、通信中的噪聲、尼羅河水位的記錄、棉花價格和股票市場的漲落等不規(guī)則的東西，取得了一系列令人矚目的成功。他把早期人們對分形集和維數理論的研究成果進行總結，集其大成，于1975年以《分形：形，機會與維度》為名發(fā)表了他劃時代的專著。這標志著分形理論的正式誕生。
什么是分形呢？事實上，目前對分形還沒有嚴格的數學定義，只能給出描述性的定義。粗略地說，分形是對沒有特征長度，（所謂特征長度，是指所考慮的集合對象所含有的各種長度的代表者，例如一個球，可用它的半徑作為它的特征長度），但具有一定意義下的自相似圖形和結構的總稱。曼德勃羅曾建議將分形定義為整體與局部在某種意義下的對稱性的集合，或者具有某種意義下的自相似集合；他也曾給出一個嘗試性的定量刻畫，說分形是其豪斯道夫維數嚴格大于其拓撲維數的集合。但是所有這些定義都不夠精確、不夠全面。不過，一般來說，自相似性和分數維數代表著分形的兩個基本特征。
自相似性是分形最本質的幾何特征。用不同的尺度觀察分形，看到的是相同的圖形。不僅局部與整體形狀相似，而且局部的局部也與整體相似。
根據上述定義，科克曲線的分維數D=ln4/ln3≈1.2618，而其歐氏維數為1，分維數大于歐氏維數，故科克曲線是分形。再如康托爾集，D=ln2/ln3≈0.630929，而歐氏維數為0，康托爾集也是分形。這兩個曲線都是典型的數學分形，而自然界中的分形有所不同。像山脈、流川、海岸線以及布朗粒子的運動軌跡都是分形。它們沒有數學上嚴格意義的自相似性，只有隨機的自相似分布；而且，自然界分形的相似層次是有限的，分形只存在于特定的限度內，不存在無限的自相似層次。
從1978年開始，曼德勃羅等人開始研究在非線性變換（即允許以簡單放大與平移更復雜的操作如平方、立方等）下保持不變的分形。他們利用計算機來產生這樣的分形圖形，并研究它們的性質，又發(fā)現了混沌現象，導致了混沌動力學的建立。
曼德勃羅是從簡單的復平面迭代Z←Z2+C開始的，這里C是常數。對于一定的參數值C，觀察發(fā)現每一個初始點Z0的迭代結果，要么趨向無限，要么在某幾個值之間循環(huán)振動，這些值正是吸引子。導致無限的初始點集的邊界稱為朱利亞（Julia）集。而對于某些特定的參數值C，迭代結果出現無規(guī)則振動的現象，就是混沌。
朱利亞集是分形。根據連通性可分為兩類。如果連通，把對應的C涂黑，否則不涂，則得到曼德勃羅集。
曼德勃羅集被稱為“數學恐龍”，是當今數學上最為復雜而又有序的對象之一。它已經成為混沌的一種國際標志。這個集合有許多奇妙之處，比如在其內部隱藏著所有可能的朱利亞集，它們和諧地合并著，每個都精確地位于它自身的常數C值之上。曼德勃羅集只有一個，它就像是無數朱利亞集的目錄。關于曼德勃羅集，人們還有許多問題正在探究，每一次深入的研究，都會帶來新的發(fā)現。
與歐氏幾何不同，分形幾何中沒有像點、線、圓這樣的基本元素。應該說它首先是一種幾何語言，是由算法及程序來描述的，并可借助計算機轉換成幾何形態(tài)。由于分形的自相似性，這些算法中多有遞歸、迭代的特點。回顧邏輯斯蒂迭代方程，我們可以將其同復映射Z←Z2+C作一類比。前者的吸引子可與后者的朱利亞集相比（作為無窮大點處的吸引域）；前者的倍周期分岔圖可與這里的曼集對應。由此可窺混沌與分形的內在一致性。分形是混沌的幾何結構，而混沌則是分形形成和演化的動力學。混沌的典型特征是奇怪吸引子，而奇怪吸引子具有無窮嵌套的自相似性和分維數，因而奇怪吸引子都是分形。在應用中，分形和混沌常常形影不離，比如在湍流的研究中，渦旋的嵌套結構顯然是分形。總之，分形與混沌有著密切的聯系，我們可以用分形定量地刻劃混沌，同時從混沌研究中得出的定性結論進一步發(fā)展分形幾何。
分形的應用發(fā)展遠遠超過了理論的發(fā)展。八十年代中期，許多國際大公司組織人力研究分形的應用，諸如石油、冶金、化工等行業(yè)的應用都卓有成效。保溫性能最佳的人造羽絨便是根據分形原理合成的。金屬表面分形能夠提供有關金屬強度的重要資料。核反應堆的安全問題也是分形應用的用武之地。分形在電影事業(yè)中也大有可為，它可以創(chuàng)造出人世間從未有過的絢麗多彩、奇妙無比的景象。因此好萊塢立意發(fā)展這種新的電影藝術。隨著分形的廣泛應用，一些新的數學方法和工具被不斷提出，對分形的理論提出了更高的要求，這將會促進分形幾何的進一步發(fā)展。
#混沌?分形?耗散結構
