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要想提高計(jì)算能力，首先要學(xué)好各種運(yùn)算的法則、運(yùn)算定律及性質(zhì)，這是計(jì)算的基礎(chǔ)。
其次是要多做練習(xí)。這里說的“多”是高質(zhì)量的“多”，不單是數(shù)量上的“多”。多做題，多見題才能見多識廣、熟能生巧，堅(jiān)持不懈就能提高計(jì)算能力。
再次是養(yǎng)成速算、巧算的習(xí)慣。能速算、巧算是一個(gè)學(xué)生能綜合運(yùn)用計(jì)算知識、計(jì)算能力強(qiáng)的突出表現(xiàn)。比如計(jì)算855÷45。你見到這個(gè)題就應(yīng)該想到：900÷45=20，而 855比 900少45，那么855÷45的商應(yīng)比900÷45的商小1，應(yīng)是19。
要想提高計(jì)算能力，還要掌握一些簡算、巧算的方法，這要有老師的指導(dǎo)?？纯聪旅娴睦}，是一定會得到啟發(fā)的。
分析與解在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該注意運(yùn)用加法、乘法的運(yùn)算定律，減法、除法的運(yùn)算性質(zhì)，以便使某些運(yùn)算簡便。本題就是運(yùn)用乘法分配律及減法性質(zhì)使運(yùn)算簡便的。
例2 計(jì)算 9999×2222+3333×3334
分析與解 利用乘法的結(jié)合律和分配律可以使運(yùn)算簡便。
9999×2222+3333×3334
=3333×（3×2222）+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
＝3333×（6666+3334）
=3333×10000
=33330000
分析與解 將分子部分變形，再利用除法性質(zhì)可以使運(yùn)算簡便。
分析與解 在計(jì)算時(shí)，利用除法性質(zhì)可以使運(yùn)算簡便。
分析與解 這道分?jǐn)?shù)乘、除法計(jì)算題中，各分?jǐn)?shù)的分子、分母的數(shù)都很大，為了便于計(jì)算時(shí)進(jìn)行約分，應(yīng)該先將各分?jǐn)?shù)的分子、分母分別分解質(zhì)因數(shù)，這樣計(jì)算比較簡便。
分析與解 通過觀察發(fā)現(xiàn)，原算式是求七個(gè)分?jǐn)?shù)相加的和，而這七個(gè)分
由此得出原算式
分析與解觀察題中給出的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)該將小括號去掉，然后適當(dāng)分組，這樣可使運(yùn)算簡便。
分析與解 觀察這些分?jǐn)?shù)的分母，都是連續(xù)自然數(shù)的和，我們可以先求出分母來，再進(jìn)行拆項(xiàng)，簡算。
分析與解 我們知道
例12 計(jì)算 1×2+2×3+3×4＋……＋10×11
分析與解
將這10個(gè)等式左、右兩邊分別相加，可以得到
例13 計(jì)算1×3+2×4+3×5+4×6+……+50×52
分析與解 我們知道
1×3=1×3-1+1=1×（3-1）+1=1×2+1
2×4=2×4-2+2=2×（4-1）+2==2×3+2
3×5=3×5-3+3=3×（5-1）+3=3×4+3
4×6=4×6-4+4=4×（6-1）+4=4×5+4
……
50×52=50×52-50+50=50×（52-1）+50
=50×51+50
將上面各式左、右兩邊分別相加，可以得到
1×3+2×4+3×5+4×6+……+50×52
=1×2+1+2×3+2+3×4+3+4×5+4+……+50×51+50
=1×2+2×3+3×4+4×5+……+50×51+1+2+3+4+……+50
=44200+1275
=45475
例14 計(jì)算（1+0.23+0.34）× （0.23+0.34+0.56）-
（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）
分析與解 根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)，設(shè)1＋0.23+0.34=a，0.23+0.34=b，那么 a-b=1+0.23+0.34-0.23-0.34=1。
于是原式變?yōu)?br />
a×（b+0.56）-（a+0.56）×b
=ab+0.56a-ab-0.56b
＝0.56a-0.56b
=0.56（a-b）
=0.56×1
=0.56
例15 算式2×3×5×7×11×13×17最后得到的乘積中，所有數(shù)位上的數(shù)字和是多少？
分析與解 要求算式乘積的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是多少，就要先求出乘積來。求積時(shí)應(yīng)用乘法結(jié)合律可使計(jì)算簡便。
2×3×5×7×11×13×17
=（2×5）×（7×11×13）×（3×17）
=10×1001×51
=10010×51
=510510
因此，乘積的所有數(shù)位上的數(shù)字和是
5+1+0+5+1+0=12
答：乘積的所有數(shù)位上的數(shù)字和是12。
分析與解 根據(jù)已知，要是算出兩個(gè)數(shù)的乘積再求出積的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字和，那就太復(fù)雜了。不妨先從簡單的算起，尋找解題的規(guī)律。
例如，9×9=81，積的數(shù)字和是8+1=9；
99×99=9801，積的數(shù)字和是 9+8+1=18；
999×999 =998001，積的數(shù)字和是
9+9+8+1=27；
9999×9999=99980001，積的數(shù)字和是
9+9+9+8+1=36；
……
從計(jì)算的結(jié)果可以看出，一個(gè)因數(shù)中9的個(gè)數(shù)決定了積的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和是幾。
9×9的每個(gè)因數(shù)中有1個(gè)9，那么積的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字和就是1個(gè)9；
99×99的每個(gè)因數(shù)中有 2個(gè)9，那么積的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字和就是2個(gè)9，即等于18；
999×999的每個(gè)因數(shù)中有 3個(gè) 9，那么積的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字和就是3個(gè)9，即等于27；
個(gè)9，即等于9×1993=17937。
分析與解 比較幾個(gè)分?jǐn)?shù)的大小時(shí)通常采用的方法是先將幾個(gè)分?jǐn)?shù)通分，再比較它們的大?。换蛘邔讉€(gè)分?jǐn)?shù)先化成小數(shù)，再比較它們的大小。觀察題中給出的五個(gè)數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，采用前面提到的這兩種方法都不容易。但是在觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)我們也不難發(fā)現(xiàn)，這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都比較小，并能看出3、2、15、10、12的最小公倍數(shù)是60，那么就應(yīng)該把這幾個(gè)分?jǐn)?shù)都化成分子相同的分?jǐn)?shù)，去比較它們的大小。我們知道，分子相同的分?jǐn)?shù)，分母大的反而小，分母小的反而大。
還是比B小？
例19 1～1994這些自然數(shù)中所有數(shù)字的和是多少？
分析與解 要求1～1994這些自然數(shù)中所有數(shù)字的和，可以先求出0～1999這些數(shù)中所有數(shù)字的和，然后再減去1995～1999這五個(gè)數(shù)的數(shù)字和。
將0～1999這2000個(gè)數(shù)分組，每兩個(gè)數(shù)為一組，可以分成1000組：
（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），……，（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）。
這里每組的兩數(shù)的和都是1999，并且每組中兩個(gè)數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位，這樣，1～1999這些自然數(shù)所有數(shù)字和是：
（1+9+9+9）×1000=28×1000= 28000
而 1995～1999這五個(gè)數(shù)的數(shù)字和是：
（1+9+9）×5+（5+6+7+8+9）=95+35=130
因此1～1994這些自然數(shù)中所有數(shù)字的和是：
28000-130=27870
答：1～1994這些自然數(shù)中所有數(shù)字的和是27870。
分析與解 要是先計(jì)算出正確的結(jié)果，再回答題中所問的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)化簡后整數(shù)部分是多少，那可不是簡單的計(jì)算。
這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子是1，那么這個(gè)繁分?jǐn)?shù)化簡后的結(jié)果，不就是這個(gè)繁分?jǐn)?shù)分母部分各個(gè)分?jǐn)?shù)之和的倒數(shù)嗎？因此，只要看看分母部分是多少就可以了。
個(gè)分?jǐn)?shù)相加。
然這個(gè)繁分?jǐn)?shù)化簡后的結(jié)果就是1了。
繁分?jǐn)?shù)化簡后的整數(shù)部分就是1了。
幾何初步知識
小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何初步知識，不僅要掌握一些基本的平面圖形和立體圖形的性質(zhì)、特征，還要會求這些平面圖形的周長、面積及這些立體圖形的表面積、體積，而且還要會綜合地、巧妙地運(yùn)用這些知識來進(jìn)行計(jì)算。特別是計(jì)算一些組合圖形的面積時(shí)，常常用到割補(bǔ)、剪拼、平移、翻轉(zhuǎn)等辦法，使得計(jì)算巧妙、簡便。要學(xué)會這些方法，應(yīng)用這些方法。通過解幾何題的訓(xùn)練，更好地培養(yǎng)空間想象力，這對學(xué)好小學(xué)幾何初步知識是極有利的，同時(shí)也為將來到中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識，打下良好而堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
例21 下圖中圓O的面積和長方形OABC的面積相等。已知圓O的周長是9.42厘米，那么長方形OABC的周長是多少厘米？
分析與解 題中告訴我們，圓O的面積和長方形OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于π·r·r，而圖中圓O的半徑恰好是長方形的寬，因此長方形OABC的長正好是π·r，即圓O的周長的一半。而長方形的周長等于2個(gè)長與2個(gè)寬的和，也就是圓O的周長與直徑的和。
長方形OABC的周長是：
9.42+9.42÷3.14
=9.42+3
=12.42（厘米）
答：長方形OABC的周長是12.42厘米。
例22 桌面上有一條長80厘米的線段，另外有直徑為1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圓形紙片若干張，現(xiàn)在用這些紙片將桌上線段蓋住，并且使所用紙片圓周長總和最短，問這個(gè)周長總和是多少厘米？
分析與解 要想蓋住桌上線段，并且使所用紙片圓周長總和最短，那么蓋住線段的圓形紙片應(yīng)該是互不重疊，一個(gè)挨一個(gè)地排開，這時(shí)若干個(gè)圓形紙片直徑的總和正好是80厘米。這些圓形紙片周長的總和與直徑為80厘米的圓的周長相等，因此蓋住桌子上線段的若干個(gè)圓形紙片的周長總和是：
3.14×80=251.2（厘米）
答：這個(gè)周長總和是251.2厘米。
例23 圖2為三個(gè)同心圓形的跑道，跑道寬1米。某人沿每條圓形跑道的中間（虛線所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？
分析與解 根據(jù)題意，要求某人一共跑了多少米，就是求半徑分別為1.5米、2.5米和3.5米的三個(gè)圓的周長之和。列式為
3.14×（1.5×2）+3.14×（2.5×2）+3.14×（3.5×2）
＝3.14×3+3.14×5+3.14×7
=3.14×（3+5+7）
=3.14×15
=47.1（米）
還可以這樣思考：
如果這個(gè)人拿著一個(gè)1米寬的拖把，邊跑邊拖地，他跑了1個(gè)圓圈，就把這一圈的跑道全拖干凈。那么他跑了3個(gè)圓圈，就把這三條圓形跑道全拖干凈了。他共拖了3個(gè)環(huán)形面積的地。這3個(gè)環(huán)形面積的總和是
3.14×（42-32）+3.14×（32-22）+3.14×（22-12）
=3.14×（42-32+32-22+22-12）
=3.14×（42-12）
=3.14-[（4+1）×（4-1）]
=3.14×15
=47.1（平方米）
當(dāng)然，也可以直接列式：3.14×（42-12）=47.1（平方米）
因?yàn)榕艿缹?米，這個(gè)人拖完47.1平方米，那么他就前進(jìn)了47.1米。
答：一共跑了47.1米。
這里列舉的只是某人跑了3個(gè)圓形跑道。如果將題改為跑100個(gè)這樣的圓形跑道，那么用后面介紹的解法計(jì)算他跑步的總長度，就簡捷多了。
解法如下：
3.14×（1012-12）
=3.14×（101+1）×（101-1）
=3.14×102×100
=32028（平方米）
因?yàn)榕艿缹?米，所以共跑了32028米。
例24 在面積是40平方厘米的正方形中，有一個(gè)最大的圓（如圖3）。這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？
分析與解 要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長的一半，也就是圖中圓的半徑。對小學(xué)生來講，從正方形的面積求正方形的邊長，還不會直接計(jì)算。
可以這樣思考：
把正方形平均分成4份（如圖4）。每個(gè)小正方形的面積是40÷4=10平方厘米。小正方形的邊長恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是10平方厘米。這樣就可以求出圓的面積是3.14×10=31.4平方厘米了。
答：圖中圓面積是31.4平方厘米。
例25 圖5由正方形ABCD和長方形EFDG部分重疊而成。正方形的邊長是247.8厘米；長方形的長是292.404厘米、寬是210厘米，正方形和長方形哪個(gè)面積大？
分析與解 要比較正方形ABCD和長方形EFDG面積的大小，方法是分別算出它們的面積再進(jìn)行比較。從題中給出的數(shù)據(jù)看，確實(shí)給計(jì)算帶來麻煩。
只要在AF兩點(diǎn)間連一條線段（如圖6），就會發(fā)現(xiàn)，三角形 AFD的面積是正方形 ABCD面積的一半，同時(shí)也是長方形EFDG面積的一半，所以正方形ABCD和長方形EFDG的面積一樣大。這樣，也就不用計(jì)算這兩個(gè)圖形的面積了。
例26 圖7由半圓和等腰直角三角形重疊而成。已知等腰直角三角形的直角邊長為4厘米，求圖中陰影面積。
分析與解 如果分別算出兩個(gè)陰影部分的面積，再把它們加起來，以便求出圖中陰影部分的總面積，那就太復(fù)雜了。
根據(jù)題中的條件，我們可以把圖中弓形陰影剪下來拼（或旋轉(zhuǎn)）成圖8。
從圖8不難看出，題中要求的陰影部分的面積就是三角形 ABC面積的一半。
圖中的陰影面積是：
（4×4÷2）÷2=4（平方厘米）
答：圖中陰影面積是4平方厘米。
例27 有5個(gè)正方形（如圖9），邊長分別是1米、2米、3米、4米、5米。問圖中白色部分面積與陰影部分面積的比是幾比幾？
分析與解 觀察已知圖形，顯然，先計(jì)算出白色面積比較簡單。
白色部分面積是：（22-12）+（42-32）=10（平方米）
陰影部分面積是：52-10=15（平方米）
因此，白色部分面積與陰影部分面積之比是：10∶15，即2∶3。
還可以這樣想：作正方形的對角線AD和BC，兩條對角線相交于O，于是兩條對角線把正方形平均分成四部分（如圖10）。
要計(jì)算整個(gè)圖形中白色部分面積與陰影部分面積的比，只需計(jì)算三角形AOB中白色部分面積與陰影部分面積的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和陰影的兩部分圖形都看作是一些梯形，其中把最上端的小陰影三角形看作是上底為O的梯形。這些梯形的高都相等，所以這些梯形面積之比就是這些梯形上、下底的和之比。
從小到大，5個(gè)梯形面積比是：
1∶（1+2）∶（2+3）
∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9
因此，圖中白色部分面積與陰影部分面積的比是：（3+7）∶（1+5+9）=2∶3
答：圖中白色部分面積與陰影部分面積比是2∶3。
例28 有一個(gè)直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面積比三角形EFD的面積大17.4平方厘米，那么ED長多少厘米？
分析與解 連接DB（圖12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面積大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面積也大17.4平方厘米。
三角形BDE的面積是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE的面積等于ED×BC×1/2
即ED×6×1/2=6.6
所以ED長是2.2厘米。
答：ED的長是2.2厘米。
例29 圖13由4個(gè)正六邊形拼成，每個(gè)正六邊形的面積都是6，那么三角形ABC的面積是多少？
分析與解 首先連接每個(gè)正六邊形的對角線，將每個(gè)六邊形平均分成六個(gè)小的正三角形（如圖14），那么每一個(gè)小三角形的面積都是1。
由圖14不難看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA組成的，其中三角形DEF的面積是4，而其它的三個(gè)三角形面積都相等。
先看三角形ABE。它正好是平行四邊形AGBE的一半，而平行四邊形AGBE的面積是6，因此，三角形ABE的面積是3。當(dāng)然，三角形BDC和三角形CFA的面積也是3。
由此得出三角形ABC的面積是
4+3×3=13
答：三角形ABC的面積是13。
例30 已知圖15中正方形ABCD的面積是256平方厘米，那么正方形EFGH的面積是多少平方厘米？
分析與解 將圖15中正方形A0′B′C′D′旋轉(zhuǎn)成圖16。由圖中不難看出：正方形 A′ B′C′D′的面積是正方形ABCD面積的1/2；正方形EFGH的面積是正方形A′B′C′D′的面積的1/2。因此，正方形
已知正方形ABCD的面積是256平方厘米，所以正方形EFGH的面積是
答：正方形EFGH的面積是64平方厘米。
例31 圖17是一個(gè)正方形地板磚示意圖，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中間小正方形 EFGH的面積是16平方厘米，四塊藍(lán)色的三角形的面積總和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面積是多少平方厘米？
分析與解 連AC和BD兩條大正方形的對角線，它們相交于O，然后將三角形AOB放在DPC處（如圖18和圖19）。
已知小正方形EFGH的面積是16平方厘米，所以小正方形EFGH的邊長是4厘米。
又知道四個(gè)藍(lán)色的三角形的面積總和是72平方厘米，所以兩個(gè)藍(lán)色三角形的面積是72÷2=36平方厘米，即圖19的正方形OCPD中的小正方形的面積是36平方厘米，那么這個(gè)正方形的邊長就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的邊長是4+6=10厘米，當(dāng)然正方形OCPD的面積就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面積恰好是正方形ABCD的面積的一半，因此正方形ABCD的面積是200平方厘米。
答：正方形ABCD的面積是200平方厘米。
例32 一個(gè)任意凸六邊形ABCDEF，P、Q、M、N分別為AB、BC、DE和EF邊上的中點(diǎn)。已知陰影部分的面積是100平方厘米，那么六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？
分析與解 連接BF、 BE、 BD，在三角形ABF中，P是AB的中點(diǎn)，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面積相等。
同理，由于N為EF中點(diǎn)，所以三角形FNB和三角形 ENB的面積相等；由于M為DE中點(diǎn)，所以三角形DMB和三角形EMB的面積相等；由于Q為BC中點(diǎn)，所以三角形BQD和三角形CQD的面積相等。
由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。
而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=陰影面積=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面積=100平方厘米。
因此，六邊形 ABCDEF的面積為100×2=200平方厘米。
答：六邊形ABCDEF的面積是200平方厘米。
例33 圖21是一個(gè)圓形鐘面，圓周被平均分成了12等份。已知圓形的半徑是6厘米，那么圖中陰影的面積是多少平方厘米？
分析與解 題中告訴我們：圓周被平均分成了12等份，因此連接OE，
由圖中不難看出：三角形AOB與三角形EOB是等底同高的三角形，這兩
的面積相等。
于是圖中陰影的面積是：
答：陰影的面積是18.84平方厘米。例34圖 23中四邊形ABCD是一個(gè)正方形。E、F分別為CD和BC邊上的中點(diǎn)。已知正方形ABCD的邊長是30厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？
分析與解 已知四邊形ABCD為正方形，E、F分別為CD邊與BC邊上的中點(diǎn)，因此，三角形BCE和三角形DCF面積相等。這兩個(gè)三角形的面積各自減去四邊形GFCE的面積，各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面積還是相等的。
連接GC（如圖24），三角形GBF面積和三角形GCF的面積是相等的，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形等底同高。同理，三角形GCE面積和三角形GDE的面積也是相等的。而三角形GBF的面積和三角形GDE的面積相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面積的四個(gè)三角形。
因?yàn)槿切蜝CE的面積等于正方形ABCD面積的1/4，所以圖中空白部分的面積，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面積之和為正方形ABCD面積的
從而得出圖中陰影部分的面積為正方形ABCD面積的
那么陰影部分的面積是：
答：圖中陰影部分的面積是600平方厘米。
例35 為了美化校園，東升小學(xué)用鮮花圍成了兩個(gè)圓形花壇。小圓形花壇的面積是3.14平方米，大圓形花壇的半徑是小圓形花壇半徑的2倍。大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大多少平方米？
分析與解 我們知道圓的面積與半徑的平方成正比。題中告訴我們，大圓的半徑是小圓半徑的2倍，那么大圓面積是小圓面積的22倍。
大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大
3.14×（22-1）
=3.14×3
=9.42（平方米）
答：大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大9.42平方米。
例36 有兩個(gè)長方形，甲長方形的長是98769厘米，寬是98765厘米；乙長方形的長是98768厘米，寬是98766厘米。這兩個(gè)長方形的面積哪個(gè)大？
分析與解 利用長方形面積公式，直接計(jì)算出面積的大小，再進(jìn)行比較，這是可行的，但是計(jì)算太復(fù)雜了。
可以利用乘法分配律，將算式變形，再去比較兩個(gè)長方形的面積大小，這就簡便多了。
甲長方形的面積是：
98769×98765
=98768×98765+98765
乙長方形的面積是
98768×98766
=98768×98765+98768
比較98768×98765+98765與98768×98765+98768的大小，一眼便能看出：甲長方形的面積小，乙長方形的面積大。
還有如下一種思考解答方法。
請先看看下面的事實(shí)。
周長相等的兩個(gè)長方形，長與寬的差越大，則面積就越小；反之，長與寬之差越小，則面積就越大。當(dāng)然，當(dāng)長方形長與寬之差為0時(shí)，也就是為正方形時(shí)，面積則最大。
假設(shè)有兩個(gè)長方形的周長是20厘米，那么周長的一半，也就是長與寬的和，是10厘米，列舉出一部分長、寬的大小與面積的關(guān)系，就會得出上面所講的事實(shí)是存在的，并且是正確的。
我們再回到原題。甲、乙兩個(gè)長方形的長與寬的和是相等的（當(dāng)然它們的周長也相等），即
98769+98765=98768+98766
而甲長方形長與寬的差是：
98769-98765=4（厘米）
乙長方形長與寬的差是：
98768-98766=2（厘米）
因?yàn)?厘米＞2厘米，所以甲長方形的面積小，乙長方形的面積大。
答：乙長方形的面積大。
例37 一個(gè)紅色的正方形ABCD，它的邊長是1993厘米；另一個(gè)紅色的正方形A′B′C′D′，它的邊長是 1994厘米。一個(gè)綠色正方形EFGH，它的邊長是1992厘米，另一個(gè)綠色正方形E′F′G′H′，它的邊長是1995厘米。問兩個(gè)紅色的正方形的面積大，還是兩個(gè)綠色的正方形面積大？
分析與解 要比較兩個(gè)紅色的正方形面積大，還是兩個(gè)綠色的正方形面積大，可以先分別算出它們的面積，然后再進(jìn)行比較。不過這樣計(jì)算起來就太復(fù)雜了。
可以這樣比較它們的大?。?br />
先將紅色正方形ABCD與綠色正方形EFGH重疊在一起（如圖26）。
從圖26不難看出，紅色正方形ABCD的面積比綠色正方形EFGH的面積大的平方厘米數(shù)是：
1×1992+1×1+1×1992=2×1992+1
再將紅色正方形A′B′C′D′與綠色正方形E′F′G′H′重疊在一起（如圖27）。
從圖27不難看出，紅色正方形A′B′C′D′的面積比綠色正方形E′F′G′H′的面積小的平方厘米數(shù)是：
1×1994+1×1+1×1994
=2×1994+1
而2×1994+1＞2×1992+1，也就是說綠色正方形E′F′G′H′比紅色正方形A′B′C′D′大的面積數(shù)超過紅色正方形ABCD比綠色正方形EFGH大的面積數(shù)。因此兩個(gè)綠色正方形的面積大。
答：兩個(gè)綠色正方形的面積大。
例38 在長方形ABCD中，AE的長度與ED的長度的比是8∶5；BF的長度與FC的長度的比是11∶7。那么涂紅色的兩塊圖形的面積與涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積相比較，哪個(gè)大？
分析與解 要比較涂紅色的兩塊圖形的面積大，還是涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積大，只要比較三角形AEC和三角形BDF的大小就可以了。因?yàn)檫@兩個(gè)三角形各自減去重疊的那塊四邊形，剩下的就是兩個(gè)涂紅色的圖形和兩個(gè)涂藍(lán)色的圖形了。
因?yàn)锳BCD是長方形，而三角形AEC和三角形BDF的高都是長方形ABCD的寬，所以比較三角形AEC和三角形BDF的大小時(shí)，只要比較AE和BF的大小就可以了。
根據(jù)已知，AE的長度與ED的長度的比是8∶5，那么AE的長度就占
即AE＞BF，從而得出三角形AEC的面積大于三角形BDF的面積。
因此，涂紅色的兩塊圖形的面積大于涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積。
答：涂紅色的兩塊圖形的面積大于涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積。
例39 一塊長方形小麥田，被互相垂直的兩條直線分成A、B、C、D四部分。A的地積是45公畝，B的地積是20公畝，C的地積是36公畝。那么，D有多少公畝？
分析與解 觀察圖29不難發(fā)現(xiàn)，B與C的長是相等的，因此，B與C地積的比就是它們寬的比。A與D的長也是相等的，因此，A與D地積的比也是它們寬的比。而A與B，C與D的寬分別相等，于是
A∶D=B∶C
即 45∶D=20∶36
D=81
答：D有81公畝。
例40 有50個(gè)表面涂有紅漆的正方體，它們的棱長分別是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米，將這些正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體，得到的小正方體中，至少有一個(gè)面是紅色的小正方體共有多少個(gè)？
分析與解 棱長為1厘米涂有紅漆的小正方體，不用鋸，就是棱長1厘米的小正方體，它當(dāng)然是至少有一個(gè)面是紅色的小正方體了。
將棱長為3厘米的涂有紅漆的小正方體，鋸成棱長為1厘米的小正方體，共得到33個(gè)，其中沒有涂紅漆的共（3-2）3個(gè)。
將棱長為5厘米的涂有紅漆的小正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體，共得53個(gè)，其中沒有涂紅漆的共（5-2）3個(gè)。
將棱長為7厘米的涂有紅漆的小正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體，共得73個(gè)，其中沒有涂紅漆的共（7-2）3個(gè)。
由以上分析、計(jì)算發(fā)現(xiàn)，將校長為1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四個(gè)正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體后，得到至少有一個(gè)面為紅色的小正方體共有
13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3
=13+33-13+53-33+73-53
=13+33+53+73-13-33-53=73=343（個(gè)）
按照這樣的規(guī)律可得，將棱長為1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米這50個(gè)正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體后，得到至少有一個(gè)面為紅色的小正方體共有：
13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299（個(gè)）
答：至少有一個(gè)面是紅色的小正方體共有970299個(gè)。
例41 有棱長為 1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方體102個(gè)，把它們的表面都涂上紅漆，晾干后把這102個(gè)正方體都分別截成1立方厘米的小正方體，在這些小正方體中，只有2個(gè)面有紅漆的共有多少個(gè)？
分析與解 根據(jù)題意，首先應(yīng)該想到只有2個(gè)面有紅漆的小正方體，都在原來大正方體的棱上。原來棱長是1厘米、2厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，得不到只有2個(gè)面有紅漆的小正方體。棱長是3厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，大正方體的每條棱上都有1個(gè)小正方體只有2個(gè)面有紅漆。每個(gè)正方體有12條棱，因此可得到 12個(gè)只有 2個(gè)面有紅漆的小正方體，即共有（3-2）×12個(gè)。
棱長為4厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，得到只有 2個(gè)面有紅漆的小正方體共（4-2）×12個(gè)。
依此類推，可得出，將這102個(gè)正方體截成1立方厘米小正方體后，共得到只有2個(gè)面有紅漆的小正方體的個(gè)數(shù)是：
[（3-2）+（4-2）+（5-2）+……+（102-2）]×12
=[1+2+3+……+100]×12
=60600
答：只有2個(gè)面有紅漆的小正方體共有60600個(gè)。
例42 有一個(gè)長方體木塊，長125厘米，寬40厘米，高25厘米。把它鋸成若干個(gè)體積相等的小正方體，然后再把這些小正方體拼成一個(gè)大正方體。這個(gè)大正體的表面積是多少平方厘米？
分析與解 一般說來，要求正方體的表面積，一定要知道正方體的棱長。題中已知長方體的長、寬、高，同正方體的棱長又沒有直接聯(lián)系，這樣就給解答帶來了困難。我們應(yīng)該從整體出發(fā)去思考這個(gè)問題。
按題意，這個(gè)長方體木塊鋸成若干個(gè)體積相等的小正方體后，又拼成一個(gè)大正方體。這個(gè)大正方體的體積和原來長方體的體積是相等的。已知長方體的長、寬、高，就可以求出長方體的體積，這就是拼成的大正方體的體積。進(jìn)而可以求出正方體的棱長，從而可以求出正方體的表面積了。
長方體的體積是
125×40×25=125000（立方厘米）
將 125000分解質(zhì)因數(shù)：
125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5
=（2×5×5）×（2×5×5）×（2×5×5）
可見大正方體的棱長是
2×5×5=50（厘米）
大正方體的表面積是
50×50×6=15000（平方厘米）
答：這個(gè)大正方體的表面積是15000平方厘米。
例43 一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長2分米。沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊（如圖30）。這60塊長方體表面積的和是多少平方分米？
分析與解 解答這道題的最直接的想法是將這大大小小的60個(gè)長方體形狀的小木塊的表面積分別計(jì)算出來，然后再求出總和，這樣做是可以的，但計(jì)算極為復(fù)雜。因此解答這題時(shí)，應(yīng)從整體出發(fā)，這樣，問題就簡單多了。
這個(gè)正方體形木塊在未鋸成60個(gè)長方體形狀的小木塊前，共有6個(gè)面，每個(gè)面的面積是2×2=4平方分米，6個(gè)面共24平方分米。不管后來鋸成多少塊小長方體，這6個(gè)面的24平方分米的面積總是后來的小長方體的表面積的一部分。
現(xiàn)在我們來考慮將木塊每鋸一刀的情況。顯然，每鋸一刀就會增加2個(gè)4平方分米的表面積，根據(jù)題意，現(xiàn)在一共鋸了2+3+4=9刀，共增加了18個(gè)4平方分米的表面積。
因此，這60塊大大小小的長方體的表面積總和是
24+4×18=96（平方分米）
或列式為
2×2×[6+（2+3+4）×2]
=4×[6+18]
=4×24
=96（平方分米）
答：60塊長方體表面積的和是96平方分米。
例44 一個(gè)圓柱體，底面半徑是5厘米，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是100平方厘米。它的體積是多少立方厘米？
分析與解 一般的解法是先求出圓柱體的高和底面積，再求圓柱體的體積。
圓柱體的高：
圓柱體的底面積：
3.14×52=78.5（平方厘米）
圓柱體的體積：
我們已知學(xué)過，用切拼的方法，可以把一個(gè)圓柱體切拼成一個(gè)與它等體積的近似的長方體（如圖31）
觀察圖31不難發(fā)現(xiàn)，圓柱體的體
積等于側(cè)面積的一半與底面半徑的乘積，即
用這個(gè)式子計(jì)算題中圓柱體的體積，就比用一般的方法計(jì)算要簡便多了。
答：圓柱體的體積是250立方厘米。
應(yīng)用題部分
應(yīng)用題就是應(yīng)用數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算意義去解答的實(shí)際問題。因此學(xué)好數(shù)學(xué)概念和各種運(yùn)算意義是會解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。
怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算意義去解應(yīng)用題呢？首先是要用數(shù)學(xué)概念去分析題中的數(shù)量關(guān)系。這種分析應(yīng)該說是全面的、深刻的。要分析已知數(shù)量與已知數(shù)量，已知數(shù)量與未知數(shù)量間的關(guān)系。然后根據(jù)運(yùn)算意義，用式子表示出題中要求的數(shù)量，使問題得到解決。
小學(xué)生在分析應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系時(shí)，常常缺少更深的思考，只滿足于得出一般的解答方法，這是不夠的。重要的是通過全面的、深刻的分析，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算意義，會尋找巧妙的解法，這對發(fā)展小學(xué)生觀察比較、分析綜合、判斷推理、想象類比的能力是極為有利的。
牢固而清晰地掌握數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算意義才能使你去深刻地思考問題。也要學(xué)會一些幫你思考的方法。比如把題中的條件排列出來，畫一畫示意圖、線段圖等，總之，把題中的條件、問題形象化是一種常見的、有效的辦法。它能幫你想得更深刻。
解答應(yīng)用題最忌諱死背題型、死記解題模式，這樣往往束縛了你的手腳。時(shí)間久了，你的思維就僵化了，這對今后的學(xué)習(xí)極為不利。
例45 紅花襯衫廠要制做一批襯衫，原計(jì)劃每天生產(chǎn)400件，60天完成。實(shí)際每天生產(chǎn)的件數(shù)是原計(jì)劃每天生產(chǎn)件數(shù)的1.5倍。完成這批襯衫的制做任務(wù)，實(shí)際用了多少天？
分析與解 要求完成這批襯衫的制做任務(wù)，實(shí)際用了多少天，必須知道這批襯衫的總數(shù)和實(shí)際每天生產(chǎn)的件數(shù)。已知原計(jì)劃每天生產(chǎn)400件，60天完成，就可以求出這批襯衫的總數(shù)量；又知道實(shí)際每天生產(chǎn)的件數(shù)是原計(jì)劃生產(chǎn)件數(shù)的1.5倍，就可以求出實(shí)際每天生產(chǎn)的件數(shù)。
完成這批襯衫的制做任務(wù)，實(shí)際用的天數(shù)是：
400×60÷（400×1.5）
=24000÷600
=40（天）
也可以這樣想：要生產(chǎn)的襯衫的總數(shù)量是一定的，所以，完成這批襯衫制做任務(wù)所需要的天數(shù)與每天生產(chǎn)襯衫的件數(shù)成反比例關(guān)系。由此可得，實(shí)際完成這批襯衫制做任務(wù)的天數(shù)的1.5倍，正好是60天，于是得出制做這批襯衫實(shí)際需要的天數(shù)是：
60÷1.5=40（天）
答：完成這批襯衫制做任務(wù)，實(shí)際用了40天。
例46 東風(fēng)機(jī)器廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)240個(gè)零件，18天完成。實(shí)際比原計(jì)劃提前3天完成，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)多少個(gè)零件？
分析與解 要求實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)多少個(gè)零件，得先求出實(shí)際每天生產(chǎn)多少個(gè)零件，再減去計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件數(shù)：
240×18÷（18-3）-240
=4320÷15-240
=288-240
=48（個(gè)）
也可以這樣想：實(shí)際與計(jì)劃所完成的零件總數(shù)是相同的。根據(jù)反比例意義可知，每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)與完成生產(chǎn)這批零件所用的天數(shù)成反比例關(guān)系。由此可知，原計(jì)劃完成任務(wù)的天數(shù)與實(shí)際完成任務(wù)的天數(shù)比18∶（18-3）即 6∶5，就是實(shí)際每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)與原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)的比。當(dāng)然，實(shí)際每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)的6/5。于是求出實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是：
=48（個(gè)）
還可以這樣想：生產(chǎn)零件的總數(shù)是 240×18=4320（個(gè)）；把這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再把分解的質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)胤纸M，分別表示出原計(jì)劃每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與完成天數(shù)的乘積和實(shí)際每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與實(shí)際完成天數(shù)的乘積。
4320=25×33×5
=（24×3×5）×（2×32）……原計(jì)劃每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與完成
天數(shù)的乘積
=（25×32）×（3×5）……實(shí)際每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與完成天數(shù)的
乘積
進(jìn)而求出實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)的個(gè)數(shù)是：
25×32-24×3×5
=288-240
=48（個(gè)）
答：實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)48個(gè)。
例47 在春光小學(xué)“創(chuàng)造杯”展覽會上，展品中有36件不是六年級的，有37件不是五年級的，又知道五、六兩個(gè)年級的展品共有45件。那么，五、六年級的展品各有多少件？
分析與解 根據(jù)已知，有36件不是六年級的，就是說，1～4年級的展品加上五年級的展品共有36件。有37件不是五年級的，就是說，1～4年級的展品加上六年級的展品共有37件。
比較以上兩個(gè)條件，可以得出，六年級比五年級的展品多37-36=1件。
又知道五、六兩個(gè)年級的展品共有45件，于是求出五年級的展品有
（45-1）÷2=44÷2=22（件）
六年級的展品有
（45+1）÷2=46÷2=23（件）
答：五年級的展品有22件，六年級的展品有23件。
例48 機(jī)械廠零件加工組里有1位師傅和6位徒弟，共7人。徒弟每人每天能加工零件50個(gè)，師傅每天加工零件的個(gè)數(shù)比全組7個(gè)人每天平均加工的個(gè)數(shù)多24個(gè)。師傅每天加工零件多少個(gè)？
分析與解 師傅每天加工零件的個(gè)數(shù)比全組7個(gè)人平均每天加工的個(gè)數(shù)多24個(gè)。把這24個(gè)平均分給6位徒弟，再加上徒弟每天加工的50個(gè)，正好是7個(gè)人平均每天加工的個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)再加上24就是師傅每天加工零件的個(gè)數(shù)。
24÷6+50+24
=4+50+24
=54+24
=78（個(gè)）
答：師傅每天加工零件78個(gè)。
例49 兒童服裝廠生產(chǎn)紅上衣和黃上衣。每件紅上衣需要2個(gè)鈕扣，每件黃上衣需要4個(gè)鈕扣。做成的兩種顏色的上衣，每30件裝成一箱，每箱衣服共需要鈕扣72個(gè)。每箱中有紅上衣和黃上衣各多少件？
分析與解 已知每件黃上衣要用4個(gè)鈕扣，每件紅上衣要用2個(gè)鈕扣。如果將黃上衣一分為二，黃上衣就成為“半件黃上衣”了。這時(shí)紅上衣和“半件黃上衣”都需要2個(gè)鈕扣。已知每箱中兩種顏色的上衣共需要鈕扣72個(gè)，于是可以求出紅上衣和“半件黃上衣”共有72÷2=36（件）。實(shí)際每箱中兩種顏色的上衣共30件，36件比30件多了6件，說明有6件黃上衣被一分為二了，所以每箱中有6件黃上衣。進(jìn)而求出每箱中紅上衣的件數(shù)是 30-6=24（件）
列式為：
72÷2-30=36-30=6（件）
30-6=24（件）
還可以這樣思考：
把每箱中的30件上衣，每件都取下2個(gè)鈕扣，這樣紅上衣就沒有鈕扣了，黃上衣每件上還剩下2個(gè)鈕扣，共取下2×30=60個(gè)鈕扣。這時(shí)箱內(nèi)的上衣上還剩下72-60=12個(gè)鈕扣。因?yàn)橹挥忻考S上衣上還剩下2個(gè)鈕扣，所以12÷2=6（件）就是每箱中黃上衣的件數(shù)。那么，每箱中紅上衣的件數(shù)就是 30-6=24（件）了。
列式為：
（72-2×30）÷（4-2）
=（72-60）÷2
=12÷2
=6（件）
30-6=24（件）
答：每箱中有紅上衣24件，有黃上衣6件。
例50 主人的籃子里放著蘋果和桃。蘋果的個(gè)數(shù)是桃的3倍。一群頑皮的小猴，趁主人不注意的時(shí)候，每只小猴子都拿了8個(gè)蘋果和3個(gè)桃。主人發(fā)現(xiàn)時(shí)，桃子已被小猴拿光了，還剩下10個(gè)蘋果。這群頑皮的小猴一共有多少只？
分析與解 籃子里的蘋果的個(gè)數(shù)是桃的3倍，每只小猴子拿了3個(gè)桃子，而且拿光了，那么要是每只小猴子拿9個(gè)蘋果，也可以把蘋果拿光（因?yàn)樘O果個(gè)數(shù)正好是桃個(gè)數(shù)的3倍）。可是，每只小猴子只拿了8個(gè)蘋果，結(jié)果還剩下10個(gè)蘋果，這正好說明這群小猴子共有10只。
答：這群頑皮的小猴一共有10只。
例51 光明小學(xué)原計(jì)劃192天燒煤91800千克。如果每天比原計(jì)劃節(jié)約
分析與解 要求節(jié)約出來的煤還可以再燒幾天，就必須知道一共節(jié)約出來多少煤和節(jié)約后每天的燒煤量。
一共節(jié)約出來多少千克的煤？
節(jié)約出來的煤還可以再燒多少天？
5400÷450=12（天）
還可以這樣想：
17個(gè)單位，那么實(shí)際每天節(jié)約用煤為1個(gè)單位，實(shí)際每天用煤為16個(gè)單位。原計(jì)劃燒煤192天，一共可以節(jié)約出192個(gè)單位的煤，這些煤還可以燒：
192÷16=12（天）
答：節(jié)約出來的煤還可以再燒12天。
例52 有1993個(gè)人和1993斤面粉。第1個(gè)人拿走了全部面粉的1/2，第2個(gè)人拿走了余下面粉的1/3，第3個(gè)人拿走了再余下的1/4，……第1992
走了。那么第1993個(gè)人拿走了多少斤面粉？
分析與解 解答這道題不宜采用分步計(jì)算的方法。1993斤面粉被第1個(gè)人拿走1/2，剩下的當(dāng)然是全部的1/2，這一算就出現(xiàn)了小數(shù)，再算第2個(gè)人拿走后剩下多少斤面粉就更復(fù)雜了。因此解答時(shí)應(yīng)從整體去思考，列綜合算式解答，就簡便多了。依題意列式為
答：第1993個(gè)人拿走了1斤面粉。
分析與解 根據(jù)題意，從第10天、第9天，……倒推回去，列式求出這批面粉原來共有
=40（袋）
也可以這樣想：
這些面粉共吃了10天，把這堆面粉平均分成10堆。第1天吃了這批面
每天吃的都是平均分成10堆中的1堆，第10天吃的那一堆正好是4袋，因此，這批面粉共有
4×10=40（袋）
答：這批面粉原來共有40袋。
例54 有兩個(gè)容器，第一個(gè)容器中有1升水，第二個(gè)容器是空的。將第一個(gè)容器中的水的1/2倒入第二個(gè)容器中，然后將第二個(gè)容器里的水的1/3倒回第一個(gè)容器中，然后再將第一個(gè)容器里的水的1/4倒入第二個(gè)容器中，……如此進(jìn)行下去，倒了1993次后，第一個(gè)容器里有多少水？
分析與解 根據(jù)題意，把倒的次數(shù)、兩杯中水的數(shù)量列成下表。
從上表不難看出，凡是倒了1、3、5、……奇數(shù)后，第一個(gè)容器里的水都是1/2升。當(dāng)然，倒了1993次后，第一個(gè)容器里的水也是1/2升。
也可以列式計(jì)算：
例55 幼兒園小朋友過“六一”兒童節(jié)，阿姨給小朋友分蘋果，開始每人分3個(gè)，結(jié)果有15個(gè)人只分到2個(gè)；后來又買來40個(gè)蘋果，又分給小朋友，結(jié)果正好每個(gè)分到4個(gè)。幼兒園一共有多少個(gè)小朋友？
分析與解 題中告訴我們，開始每人分3個(gè)，結(jié)果有15個(gè)小朋友只分到2個(gè)，就是說，每人分3個(gè)缺少15個(gè)蘋果。后來又買來40個(gè)蘋果，又分給小朋友，結(jié)果正好每人分到4個(gè)。把這40個(gè)蘋果先拿出15個(gè)，分給開始分時(shí)每人只分到2個(gè)蘋果的那些小朋友，這時(shí)還剩下25個(gè)蘋果，每人再分1個(gè)，正好是每人分到4個(gè)蘋果。因此得出，幼兒園共有25個(gè)小朋友。
（40-15）÷（4-3）
=25÷1
= 25（人）
答：幼兒園一共有25個(gè)小朋友。
例56 一個(gè)箱子里裝滿了實(shí)心球，連箱子共重12千克。從箱中取出實(shí)心球的1/4后，剩下的實(shí)心球連箱共重9.5千克。問箱子重多少千克？
分析與解 一個(gè)箱子里裝滿了實(shí)心球，連箱子共重12千克；從箱中取實(shí)心球的1/4后，剩下實(shí)心球的3/4連箱子共重9.5千克。由此可以得出，實(shí)心球的1/4重（12-9.5）千克，那么實(shí)心球的總重是：
=10（千克）
箱子重量是：
12-10=2（千克）
答：箱子重2千克。
分析與解 把繩子的全長看作“1”，把繩子折成三股來量，就是用繩長的1/3來量；把繩子折成四股來量，就是用繩長的1/4來量。井外所余繩子長度之差就是繩長1/3與繩長1/4之差。于是得到繩子的全長是：
也可以這樣想：
正好是繩子的長度。
正好是繩子的長度。
好是井的深度。
于是求出井的深度是：
例58 同學(xué)們搞野營活動。一個(gè)同學(xué)到負(fù)責(zé)后勤工作的老師那里去領(lǐng)碗。老師問他領(lǐng)多少，他說領(lǐng)55個(gè)。又問“多少人吃飯？”他說：“一個(gè)人1個(gè)飯碗，兩個(gè)人1個(gè)菜碗，三個(gè)人1個(gè)湯碗?！闭埶阋凰氵@個(gè)同學(xué)給參加野營活動的多少人領(lǐng)碗？
分析與解 先算出平均1人要用多少個(gè)碗，再算出多少人需要55個(gè)碗。列式是
還可以這樣解答：
吃飯時(shí)每人1個(gè)飯碗，要用多少個(gè)飯碗，就表示有多少人參加野營活動。題中又說，兩個(gè)人1個(gè)菜碗，三個(gè)人1個(gè)湯碗。我們知道，2和3的最小公倍數(shù)是6，就是說，當(dāng)有6個(gè)人吃飯時(shí)，要用6個(gè)飯碗，3個(gè)菜碗，2個(gè)湯碗。于是得出有6個(gè)人吃飯時(shí)，共需要6+3+2=11個(gè)碗。
于是，我們把參加野營活動的人，分成每6個(gè)人一組，每組人吃飯時(shí)要用11個(gè)碗。
由55÷11=5可以知道，領(lǐng)55個(gè)碗說明吃飯的人正好分成了5組，于是求出這個(gè)同學(xué)要給6×5=30人領(lǐng)碗。
答：這個(gè)同學(xué)給參加野營活動的30人領(lǐng)碗。
大2歲。那么父親幾歲？母親幾歲？兒子幾歲？
分析與解 題中告訴我們，兒子的年齡是母親年齡的3/10,是父親年齡的2/7，就是說，母親年齡
的3/10等于父親年齡的2/7。由此可知，母親年齡的21/70歲，這時(shí)父親比母親大1歲。
題中告訴我們，父親年齡比母親大2歲，因此可知，母親為 40歲，父
答：父親42歲，母親40歲，兒子12歲。
例60教室里有一些男生和一些女生。老師問他們?nèi)藬?shù)。一個(gè)男生告訴老
分析與解 題中告訴我們，除去1個(gè)男生，男生人數(shù)是女生人數(shù)的
題中還告訴我們，除去1個(gè)女生，女生人數(shù)是男生人數(shù)的3/5。
示女生人數(shù)，除去1個(gè)女生，正好是9個(gè)女生。分母部分的15恰好表示男生人數(shù)，除去1個(gè)男生，正好是14個(gè)男生。
由此得出，教室里有男生15人，女生10人。
答：教室里有男生15人，女生10人。
例61 某書店原有書若干本，第一天售出全部的1/2，第二天又運(yùn)進(jìn)900本，第三天售出的書比現(xiàn)有的書的1/3還多40本，結(jié)果還剩下800本。書店里原有書多少本？
分析與解 根據(jù)題中給出的條件，可以倒推回去，求出書店里原有書多少本。
假設(shè)第三天售出的書比現(xiàn)有的書的1/3不多40本（即少售了40本），
，于是可以求出第三天售書前書店里有書多少本。
假設(shè)第二天不運(yùn)進(jìn)900本，這時(shí)書店里的書恰好是第一天賣出原來的書
求出書店里原有書的本數(shù)。
=720（本）
答：書店里原有書720本。
例62 有7袋米，它們的重量分別是 12千克、 15千克、17千克、20千克、22千克、24千克、26千克。甲先取走一袋，剩下的由乙、丙、丁取走。已知乙和丙取走的重量恰好一樣多，而且都是丁取走重量的2倍。那么甲先取走的那一袋的重量是多少千克？
分析與解 題中告訴我們，甲先取走一袋后，剩下的由乙、丙、丁取走。已知乙和丙取走的重量恰好一樣多，而且都是丁取走的重量的2倍，因此乙、丙、丁三人取走的重量是了取走的重量的5倍。
而7袋米的總重量是
12+15+17+20+22+24+26=136（千克）
從136中減去5的倍數(shù)，剩下的就是甲取走的重量的千克數(shù)?；蛘哒f，從136千克中減去甲取走那袋米的重量，剩下的重量一定是5的倍數(shù)。要使136減去一個(gè)數(shù)后得數(shù)能被5除盡，這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是1或6。而題中列出的7袋米的重量的千克數(shù)只有26的個(gè)位數(shù)字為6，因此甲先取走的那一袋米的重量是26千克。
答：甲先取走的那一袋米的重量是26千克。
例63 有若干堆圍棋子，每堆圍棋子的數(shù)目一樣多，并且每堆中的白棋子占28%。明明從第一堆中拿走一半棋子，而且都是黑棋子?，F(xiàn)在在所有的棋子中，白棋子占32%。那么原來共有幾堆圍棋子？
分析與解 根據(jù)題意，白棋子的個(gè)數(shù)在明明取走棋子的前后是沒有變化的。由于取走了黑棋子，棋子總數(shù)有了變化，所以白棋子占棋子總數(shù)的百分?jǐn)?shù)就發(fā)生變化，原來白棋子占總數(shù)的28%，而后來占總數(shù)的32%。由此可知，
答：原來共有4堆圍棋子。
例64 植樹節(jié)那天，學(xué)校把一批樹苗分給三～六年級部分學(xué)生去植。如果由三年級的部分學(xué)生單獨(dú)去植，平均每人植6株；如果由四年級的部分學(xué)生單獨(dú)去植，平均每人植12棵；如果由五年級的部分學(xué)生單獨(dú)去植，平均每人植20棵；如果由六年級的部分學(xué)生單獨(dú)去植，平均每人植30棵。現(xiàn)在由三、四、五、六4個(gè)年級的部分學(xué)生都去植，平均每人植幾棵？
分析與解 不管由幾年級去植樹，樹苗的總數(shù)是一定的。設(shè)要植的樹苗
生都去植樹，平均每人植的棵數(shù)是
還可以這樣想：根據(jù)題中給出的三～六年級單獨(dú)去植樹時(shí)平均每人植的棵數(shù)，可以推得，要植樹的總棵數(shù)一定是6、12、20、30這四個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。這四個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60。假設(shè)要植60棵樹，那么不難算出三～六年級的人數(shù)分別是10人、5人、3人、2人，于是求出三～六年級的部分學(xué)生都去植樹時(shí)，平均每人植的棵數(shù)是：
答：三、四、五、六4個(gè)年級的學(xué)生都去植樹時(shí)，平均每人植3棵樹。
例65 一件工程，如果甲先獨(dú)做12天，然后乙再單獨(dú)做9天，正好完成；如果乙先獨(dú)做21天，然后甲再獨(dú)做8天，也正好完成。如果這件工程由甲單獨(dú)做，幾天可以完成？
分析與解 題中所給的條件可用圖49表示。
從圖49不難看出，完成相同的工作量（圖中雙豎線中間部分），甲要用12-8=4（天），乙要用21-9=12（天），從而求出，在完成相同的工作量時(shí)，甲、乙所用時(shí)間的比為4∶2即1∶3。因此，甲單獨(dú)完成這件工程要用
答：這件工程由甲單獨(dú)做，15天可以完成。
例66 某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水。單開甲管，要10小時(shí)把空池注滿；單開乙管，要20小時(shí)把空池注滿?，F(xiàn)在要求用8小時(shí)把空池注滿，并且甲、乙兩管合開的時(shí)間要盡可能地少，那么甲、乙兩管合開最少要幾小時(shí)？
分析與解 因?yàn)榧坠茏⑺^快，所以甲管應(yīng)一直開著，8小時(shí)可給空池注水
開乙管的時(shí)間是：
即甲、乙兩管合開的最少的時(shí)間是4小時(shí)。
也可以這樣想：因?yàn)榧坠茏⑺^快，所以甲管應(yīng)該一直開著。由于單開甲管10小時(shí)才能把空池注滿，所以單開甲管8小時(shí)，還差甲管再開2小時(shí)的水量才能把空池注滿。已知注滿水池單開甲管要10小時(shí)，單開乙管要20小時(shí)，因此，單開甲管2小時(shí)的水量，就是單開乙管4小時(shí)的水量，即乙管要開4小時(shí)、也就是甲、乙兩管合開的最少時(shí)間是4小時(shí)。
答：甲、乙兩管合開最少要4小時(shí)。
例67 一件工程，甲獨(dú)做20天可以完成；乙獨(dú)做30天可以完成?，F(xiàn)在由甲、乙合做，因?yàn)橐彝局行菹⒘藥滋?，結(jié)果經(jīng)過14天才完成任務(wù)。那么乙途中休息了幾天？
分析與解 題中告訴我們，由于乙在甲、乙合做全工程中休息了幾天，結(jié)果經(jīng)過14天才完成任務(wù)。假設(shè)乙途中沒有休息，那么甲、乙合做14天就會超過全部工程量，而超過的部分恰好是乙由于休息而沒有干的，于是求出乙途中休息的天數(shù)是：
=5（天）
答：乙途中休息了5天。
例68 一件工程，甲乙丙三隊(duì)合做，要8天完成。已知甲隊(duì)每天的工作效率等于乙、丙兩隊(duì)每天的工作效率之和，丙隊(duì)每天的工作效率相當(dāng)于甲、乙兩隊(duì)每天工作效率和的1/5，那么這件工程如果由乙隊(duì)單獨(dú)去做，要幾天才能完成？
分析與解 題中告訴我們，甲隊(duì)每天的工作效率等于乙、丙兩隊(duì)每天的工作效率之和，丙隊(duì)每天的工作效率相當(dāng)于甲、乙兩隊(duì)每天工作效率之和的
題中還告訴我們，甲乙丙三隊(duì)合做這件工程，8天可以完成，甲隊(duì)每天工作效率又等于乙丙兩隊(duì)每天工作效率之和，所以這件工程如果由甲隊(duì)獨(dú)做，
由此得出，乙單獨(dú)完成這件工程要用的天數(shù)是：
16÷2×3=24（天）
答：這件工程若由乙隊(duì)單獨(dú)去做，要24天才能完成。
例69 一項(xiàng)工程，如果由第一、二、三小隊(duì)合干，需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊(duì)合干，需要7天才能完成；如果由第二、四、五小隊(duì)合干，需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊(duì)合干，需要42天才能完成。現(xiàn)在由這五個(gè)小隊(duì)一起干這項(xiàng)工程，幾天才能完成？
分析與解 要求這五個(gè)小隊(duì)一起干時(shí)完成這項(xiàng)工程需用的天數(shù)，先要求出這五個(gè)小隊(duì)工作效率之和。設(shè)這五個(gè)小隊(duì)的工作效率分別為A、B、C、D、E。根據(jù)已知可得
將上面四式相加，得
即3（A+B+C+D+E）=1/2
所以 A+B+C+D+E=1/6
因此，第一、二、三、四、五小隊(duì)合干這項(xiàng)工程，要用
答：五個(gè)小隊(duì)合干這項(xiàng)工程，6天可以完成。
例70 一個(gè)水池底部要用一個(gè)常開的排水管，上部要有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿一池水；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿一池水?，F(xiàn)要需要在2小時(shí)內(nèi)注滿一池水，那么至少需要打開幾個(gè)進(jìn)水管？
分析與解 假設(shè)每個(gè)進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)水量為1，那么打開 4個(gè)進(jìn)水管， 5小時(shí)的進(jìn)水量為 4×5=20。
打開2個(gè)進(jìn)水管，15小時(shí)的進(jìn)水量為2×15=30。
比較上面得出的結(jié)果，不難求出，排水管每小時(shí)的排量為
（30-20）÷（15-5）=1
進(jìn)而求出滿池的水量為
20-1×5=15或30-1×15=15
那么，要在2小時(shí)內(nèi)注滿水池，至少要打開的進(jìn)水管為：
（15+1×2）÷2=8.5≈9（個(gè)）
答：至少要打開9個(gè)進(jìn)水管。
例71 甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一條路去B地，甲的速度始終不變，而乙在行走AB間的前1/5路程時(shí)的速度是甲速度的2倍，在行走后AB
時(shí)間少，因此甲先到達(dá)B地。
答：甲先到達(dá)B地。
例72 從A城到B城，甲要行2小時(shí)，乙要行1小時(shí)40分鐘。如果甲先行10分鐘，那么乙出發(fā)后多少分鐘，在何處追上甲？
分析與解 根據(jù)已知，從A城到B城，甲比乙要多用
60×2-（60+40）=20（分鐘）
也就是說，如果甲比乙早出發(fā)20分鐘，二人就可以同時(shí)到達(dá)B城?，F(xiàn)在甲比乙早出發(fā)10分鐘，即甲先行10分鐘后乙再出發(fā)，那么二人就會同時(shí)到達(dá)A、B兩城間的中點(diǎn)處。
到達(dá)兩城間的中點(diǎn)處，乙要用50分鐘，這就是說，乙出發(fā)50分鐘，在A、B兩城間的中點(diǎn)處追上甲。
答：乙出發(fā)后50分鐘，在兩城間中點(diǎn)處追上甲。
例73 一輛客車和一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩地相向開出，客車行了甲、乙兩地間全程的3/5時(shí)，恰好和貨車相遇。相遇后貨車仍以原來每小時(shí)行40千米的速度向甲地駛?cè)ィ钟昧?8小時(shí)到達(dá)甲地。求客車的速度。
分析與解 題中要求客車的速度，那么就要先求出客車行駛的路程和行駛這段路程所用的時(shí)間。題中已知客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，客車行了甲、乙兩地間全程的3/5與貨車相遇，這時(shí)貨車行了甲、乙兩地全程的2/5。貨車仍以原速（每小時(shí)40千米）又行了18小時(shí)到達(dá)甲地，即用了18小時(shí)走了全程的3/5，這樣可以求出甲、乙兩地間的路程是：
=1200（千米）
貨車每小時(shí)行40千米，它行全程2/5的路程所用的時(shí)間和客車行全程3/5所用的時(shí)間是相同的，即兩車同時(shí)出發(fā)相向而行至相遇時(shí)所用的時(shí)間。
=480÷40
=12（小時(shí)）
=720÷12
=60（千米）
也可以這樣想：根據(jù)已知貨車行了全程的3/5用了18小時(shí)，可以求出它行全程要用幾小時(shí)。
所以客車的速度是：
40×1.5=60（千米）
還可以這樣想：客車、貨車同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)到相遇，它們行駛的時(shí)間是相同的，因此客車、貨車行駛的路程比就是客、貨兩車的速度比。所以客車的速度是：
答：客車每小時(shí)行60千米。
例74 一輛汽車運(yùn)一批貨從江城到海鄉(xiāng)，又從海鄉(xiāng)運(yùn)一批貨返回江城，往返共用了13.5小時(shí)。去時(shí)用的時(shí)間是回來時(shí)用的時(shí)間的1.25倍，去時(shí)的速度比返回時(shí)的速度每小時(shí)慢6千米。這輛汽車往返共行了多少千米？
分析與解 已知這輛汽車往返共用13.5小時(shí)，去時(shí)用的時(shí)間是回來時(shí)用的時(shí)間的1.25倍，即往返時(shí)間比是1.25：1，即5∶4。顯然去時(shí)用的時(shí)間是：
=7.5（小時(shí)）
因?yàn)橥档穆烦淌窍嗟鹊?，往返時(shí)間比是5∶4，那么往返的速度比就是4∶5。已知去時(shí)比回來時(shí)每小時(shí)慢6千米，于是可以求出去時(shí)的速度是：
6÷（5-4）×4
=6÷1×4
=24（千米）
這樣又能求出這輛汽車往返的路程。這輛汽車往返共行了
24×7.5×2= 360（千米）
答：這輛汽車往返共行了360千米。
例75 甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，第一次相遇地點(diǎn)離A地100千米，相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，分別到達(dá)B、A兩地后，立刻沿原路返回，這時(shí)又在距B地60千米處相遇。求A、B兩地間的距離。
分析與解 根據(jù)題中條件，可列方程解答。設(shè)A、B兩地間的距離為x千米。兩車速度是不變的，因此兩車從出發(fā)到第一次相遇時(shí)所行路程比與從出發(fā)到第二次相遇時(shí)所行路程比是相等的，于是列方程得
200x-6000=x2-40x-6000
x2-240x=0
x（x-240）=0
x=240
這里列的方程是正確的，但小學(xué)生還不會解這個(gè)方程。
要是按如下思路來思考問題，那么，問題就可迎刃而解了。
甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，到第一次相遇，兩車共行了一個(gè)A到B的全程，其中甲車行了100千米。兩車從A、B出發(fā)到第二次相遇，兩車共行了3個(gè)A到B的全程，因此甲車行了3個(gè)100千米，這時(shí)離開B地60千米，因此，A、B間的距離是
100×3-60=240（千米）
答：A、B兩地間的距離是240千米。
例76 一條小河流過A、B、C三鎮(zhèn)。 A、B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時(shí)11千米。B、C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡，木船在靜水中的速度為每小時(shí)3.5千米。已知A、C兩鎮(zhèn)水路相距50千米，水流速度為每小時(shí)1.5千米。某人從A鎮(zhèn)上船，順流而下到B鎮(zhèn)，吃午飯用去1小時(shí)，接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn)。從A鎮(zhèn)到C鎮(zhèn)前后共用了8小時(shí)，那么A、B兩鎮(zhèn)間相距多少千米？
分析與解 由已知可得：汽船順?biāo)啃r(shí)航行
11+1.5=12.5（千米）
木船順?biāo)啃r(shí)航行
3.5+1.5=5（千米）
根據(jù)題意，兩船航行共用了
8-1=7（小時(shí)）
假定從A鎮(zhèn)到B鎮(zhèn)也用木船擺渡，那么木船行了7小時(shí)共行
5×7=35（千米）
即少行了50-35=15（千米）
這是由于木船的速度比汽船慢的緣故。由此可求得汽船從A鎮(zhèn)航行到B鎮(zhèn)所用的時(shí)間為
15÷（12.5-5）=2（小時(shí)）
A、B兩鎮(zhèn)之間的距離為
12.5×2=25（千米）
答：A、B兩鎮(zhèn)之間相距25千米。
例77 小明騎自行車，從A地去B地，小華步行從B地去A地，二人同時(shí)出發(fā)相向而行，途中在C地相遇。相遇后小明又過15分鐘到達(dá)B地，而小華卻用了1小時(shí)到達(dá)A地，那么小明騎車與小華步行的速度比是幾比幾？
分析與解 根據(jù)題中給出的條件可知，小明騎車從A到C所用時(shí)間與小華步行從B到C所用時(shí)間相等。假設(shè)他們用的時(shí)間為x小時(shí)。
題中又告訴我們，小明從C到B所用的時(shí)間為15分鐘，即1/4小時(shí)；小華從C到A所用的時(shí)間為1小時(shí)，而小明與小華行同樣長的路程所用時(shí)間的
答：小明騎車與小華步行的速度比為2∶1。
例78 下圖A、B、C是三個(gè)站，B到A、C兩站的距離相等。小明和小強(qiáng)分別從A、C兩站同時(shí)出發(fā)相向而行。小明過B站100米后與小強(qiáng)相遇。然后二人繼續(xù)前進(jìn)。小明到達(dá)C站后，立即沿原路返回，經(jīng)過B站后300米追上小強(qiáng)。那么A、C兩站間的距離是多少米？
分析與解 已知A、B兩站間的距離和B、C兩站間的距離相等，設(shè)A、B（或B、C）間的距離為x米。
根據(jù)題意，小明、小強(qiáng)分別從A、C兩站同時(shí)出發(fā)相向而行，第一次相遇時(shí)，小明行了（x+100）米；小強(qiáng)行了（x-100）米。二人同時(shí)出發(fā)相向而行到第一次相遇，再到小明追上小強(qiáng)，小明行了（3x+30O）米，小強(qiáng)行了（x+300）米。
比較上面所得的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，在同樣多的時(shí)間里，小明行走（3x+30O）米的路程是他行走（x+100）米路程的3倍，那么小強(qiáng)行走的（x+300）米的路程也是小強(qiáng)行走（x-100）米路程的3倍，即
3（x-100）=x+300
3x-300=x+300
2x=600
即A、C兩站間的距離是600米。
答：A、C兩站間的距離是600米。
例79 某市20路公共汽車往返于甲、乙兩地。甲、乙兩地都按間隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車。一個(gè)騎自行車的人按不變的速度向前行走，每隔15分鐘有一輛公共汽車從背后開過，每隔10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來。問某市20路公共汽車每隔多少分鐘分別從甲、乙兩地發(fā)一輛車？
分析與解 根據(jù)題意，由于汽車每隔一定時(shí)間發(fā)一輛車，所以每相鄰的兩輛公共汽車之間的距離是相等的。假設(shè)每相鄰的兩輛公共汽車之間的距離
這12分鐘就是汽車發(fā)車間隔的時(shí)間。
答：公共汽車每隔12分鐘分別從甲、乙兩地發(fā)一輛車。
例80 一個(gè)步行人和一個(gè)騎車人沿同一條公共汽車線路同向而行。騎車人的速度是步行人速度的3倍。每隔10分鐘有一輛公共汽車超過步行人，每隔20分鐘有一輛公共汽車超過騎車人。如果從始發(fā)站每隔同樣的時(shí)間發(fā)一輛公共汽車，那么發(fā)車的間隔時(shí)間是多少？
分析與解 設(shè)每隔x分鐘發(fā)一輛公共汽車。由題意可知，步行人走10分鐘的路，公共汽車要行（10-x）分鐘；騎車人行20分鐘的路，公共汽車要行（20-x）分鐘。
題中告訴我們，騎車人的速度是步行人的速度的3倍，因此，步行人所用時(shí)間與公共汽車所用時(shí)間的比的比值是騎車人所用時(shí)間與公共汽車所用時(shí)間的比的比值的3倍。
解方程得10×（20-x）=（10-x）×20×3
200-10x=600-60x
50x=400
x=8
也可以這樣思考：
假設(shè)步行人走10分鐘的路程為1。
因?yàn)轵T車人的速度是步行人速度的3倍，所以騎車人行10分鐘的路程為3，騎車人行20分鐘的路程為6。
題中告訴我們，從始發(fā)站每隔同樣時(shí)間發(fā)一輛公共汽車，所以在行走中兩輛汽車的距離是相同的。已知每隔10分鐘有一輛公共汽車超過步行人，每隔20分鐘有一輛公共汽車超過騎車人。由此得出，汽車在10分鐘所行的路程是（汽車間隔+1），而汽車在20分鐘所行的路程則是（汽車間隔+6），所以汽車在10分鐘所行的路程等于（6-1）。由此可見，汽車在10分鐘所行的路程是步行人在10分鐘所行路程的（6-1）÷1=5倍，那么汽車行駛步行人在10分鐘內(nèi)所行的路程，只要10÷5=2分鐘就可以了。
因?yàn)槊扛?0分鐘有一輛公共汽車超過步行人，所以公共汽車站發(fā)車的間隔是10-2=8分鐘。
答：每隔8分鐘發(fā)一輛公共汽車。
例81 張、王二人同時(shí)從A地去108千米外的B地。張先乘車，行一段路后下車改為步行，直達(dá)B地。王先步行，當(dāng)與張乘坐的車返回A地途中相遇時(shí)，立即改為乘車向B地駛?cè)?。結(jié)果張、王二人同時(shí)到達(dá)B地。已知二人步行速度都是每小時(shí)行6千米，汽車每小時(shí)行36千米。問張是在離開A地多少千米處下車的？
分析與解 題中告訴我們，張先乘車后步行，王先步行后乘車，二人同時(shí)從A地出發(fā)又同時(shí)到達(dá)B地，這說明張、王二人步行的路程和乘車的路程分別相等。又知道二人步行的速度都是每小時(shí)行6千米，汽車每小時(shí)行36千米，因此，在相同的時(shí)間里，汽車行駛的路程是步行路程的36÷6=6倍。
根據(jù)已知，張、王二人步行和乘車的情況如下圖所示。
根據(jù)前面分析可知，從A到C再到D的路程是AD間路程的6倍，所以從A到C的路程是AD間路程的（6+1）÷2=3.5倍。而A、D間的路程與C、B間的路程相等，因此A、B間的路程是C、B間路程的3.5+1=4.5倍。已知A、B間的路程是108千米，所以 C、B間的路程是 108÷4.5=24千米。由此得出，A、C間的路程是108-24=84千米，即張是在離開A地84千米處下車的。
也可以列方程求解。
設(shè)A、D間的路程為x千米，當(dāng)然C、B間的路程也是x千米，那么從
9x=216
x=24
A、C間的路程為108-24=84（千米）
答：張是在離開A地84千米處下車的。
例82 有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第1班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)，第2班的學(xué)生同時(shí)開始步行。車到途中某處，讓第1班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第2班學(xué)生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時(shí)4千米，載學(xué)生時(shí)車速每小時(shí)40千米，空車每小時(shí)50千米。問要使兩批學(xué)生同時(shí)到達(dá)少年宮，第1班學(xué)生步行了全程的幾分之幾（學(xué)生上下車時(shí)間不計(jì)）？
分析與解 根據(jù)題意，先把題中數(shù)量關(guān)系用圖53表示出來。
要使兩班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，并且同時(shí)到達(dá)少年宮，那么，這兩班學(xué)生乘車和步行的路程必須分別相等，即AB=C′D，AC′=BD。
已知載學(xué)生時(shí)車速為每小時(shí)40千米，學(xué)生步行速度為每小時(shí)4千米，所以兩班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到第1班學(xué)生下車時(shí)，乘車行駛的路程AB正好是
第1班學(xué)生下車后,汽車立即返回去接第2班學(xué)生,返回時(shí)車速為每小時(shí)
于是求出第2班學(xué)生又步行的路程B′C′相當(dāng)于已步行的路程AB′的
這樣進(jìn)一步求出第2班從出發(fā)到乘車，即步行的路程
那么第1班步行了全程的
還可以列方程解答。
設(shè)從出發(fā)到第1班學(xué)生下車行了m小時(shí)，汽車立即返回到接第2班學(xué)生上車又行了n小時(shí)，這時(shí)汽車行了（40m+50n）千米，步行行了（4m+4n）千米。于是列方程，得
40m-4m-4n=50n
36m=54n
步行路程占全程的
答：第1班學(xué)生步行了全程的1/7。
例83 A、B兩地間有一條公路。小明騎自行車從A地出發(fā)去B地，同時(shí)小華騎摩托車從B地去A地，60分鐘后二人第一次相遇。相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，小華到達(dá)A地后立即返回，第一次相遇后又過了20分鐘追上小明。小華到B地后又馬上返回，這樣一直下去，直到小明到達(dá)B地為止。小華從A地騎摩托車到B地的途中，共追上小明多少次？
分析與解
設(shè)C地為小明與小華第一次相遇的地方，D地為二人第一次相遇后，小華從A地騎摩托車返回B地途中，第一次追上小華的地方（如圖54）。
由題意可知，小明從A到C騎自行車用了60分鐘。再從C到D又騎行了20分鐘。因?yàn)?0÷20=3，所以A、C間的路程是C、D間路程的3倍。
二人第一次相遇后，小明騎自行車的路程是CD，而小華騎摩托車從C到A，再從A到D追上小明，共行了2個(gè)A、C間的路程與一個(gè)C、D間路程，即C、D間路程的3×2+1=7倍。因此得出，小華騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的7倍。
小明從A地到B地，騎自行車行了1個(gè)A、B間的全程，小華騎摩托車則行了7個(gè)A、B間的全程。在這7個(gè)A、B間的路程中，有4次是從B地到A地，有3次是從A地到B地的。小華每行1個(gè)從A到B的全程，必然追上小明1次，因此，小華騎摩托車從A地到B地的途中，共追上小明3次。
答：小華騎摩托車從A地到B地的途中，共追上小明3次。
應(yīng)用題部分練習(xí)
1.小明看一本書，原計(jì)劃每天看35頁，32天看完。實(shí)際每天比計(jì)劃多看5頁，實(shí)際用多少天看完？
2.修一條路，原計(jì)劃每天修0.4千米，70天可以修完。實(shí)際每天修的米數(shù)是計(jì)劃的1.25倍。實(shí)際用多少天完成？
3.綠化隊(duì)植樹，計(jì)劃8天完成任務(wù)。實(shí)際每天植樹240棵，7天就完成了全部的植樹任務(wù)。實(shí)際比計(jì)劃每天多植樹多少棵？
4.某街道居委會慰問軍烈屬，給他們送去紅糖和白糖。每到一戶送去2袋紅糖和5袋白糖，送到最后一戶時(shí)，紅糖正好送完，還剩下10袋白糖。已知帶去的白糖的袋數(shù)是紅糖袋數(shù)的3倍，那么帶去的紅糖、白糖各多少袋？
5.服裝廠要加工一批服裝。第一車間和第二車間同時(shí)加工60天正好完成。已知第一車間加工的服裝占服裝總數(shù)的45％，第二車間每天加工132件。第一車間每天加工多少件？
6.洗衣機(jī)廠計(jì)劃生產(chǎn)一批洗衣機(jī)。結(jié)果9天恰好完成了計(jì)劃的37.5％。照這樣計(jì)算，完成計(jì)劃還要多少天？
7.有一堆煤可以燒120天。由于改進(jìn)燒煤技術(shù)，每天節(jié)約用煤0.25噸，結(jié)果這堆煤燒了150天。這堆煤共有多少噸？
牽走7頭黃牛放在水牛群之中，那么這三群牛的頭數(shù)正好相等。問奶牛有多少頭？
9.甲乙兩個(gè)車間加工一批同樣的零件。如果甲車間先加工35個(gè)，然后乙
先加工1天，然后乙車間再開始加工，經(jīng)過5天后兩車間加工的零件數(shù)相等。那么乙車間一天加工多少個(gè)零件？
10.修路隊(duì)原計(jì)劃用240天修好一條長 91200米的公路。實(shí)際每天比計(jì)
12.有100千克青草，含水量為66％，晾曬后含水量降到15％。這些青草晾曬后重多少千克？
13.將一個(gè)正方形的一邊減少1/5，另一邊增加 4米，得到一個(gè)長方形。這個(gè)長方形與原來正方形面積相等。那么正方形面積有多少平方米？
14.某車間加工甲、乙兩種零件。已加工好的零件中甲種零件占30％，后來又加工好了24個(gè)乙種零件，這時(shí)甲種零件占25％。那么現(xiàn)在已加工好兩種零件共多少個(gè)？
15.甲、乙、丙三人共生產(chǎn)零件1760個(gè)。如果甲少生產(chǎn)2/9，乙多生產(chǎn)80個(gè)，那么甲、乙、丙三人生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)相等。甲、乙、丙三人各生產(chǎn)了多少個(gè)？
16.小明今年的年齡是他爸爸年齡的1/6，15年后他的年齡是他爸爸年齡的4/9。小明和他爸爸今年各多少歲？
17.某校有學(xué)生314人，其中男生人數(shù)的2/3比女生人數(shù)的4/5少40人。這個(gè)學(xué)校男生、女生各多少人？
18.甲、乙兩班人數(shù)相等，各有一些同學(xué)參加了數(shù)學(xué)小組。甲班參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)恰好是乙班沒參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)的1/3；乙班參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)恰好是甲班沒參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)的1/4。那么甲班沒參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)是乙班沒參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)的幾分之幾？
19.容器里放著某種濃度的酒精溶液若干升，加 1升水后純酒精含量為25％；再加1升純酒精，容器里純酒精含量為40％。那么原來容器里的酒精溶液共幾升？濃度為百分之幾？
20.甲、乙、丙三人合抄一份稿件，1小時(shí)可以完成。如果甲、乙二人合抄，要80分鐘完成；如果乙、丙二人合抄，要100分鐘完成。如果這份稿件由乙一人獨(dú)抄，要幾小時(shí)完成？
21.一件工程，甲獨(dú)做，20天可以完成；乙獨(dú)做，30天可以完成?，F(xiàn)在兩人合做，中間甲休息了3天，乙休息了若干天，結(jié)果經(jīng)過16天才完成。問乙休息了幾天？
22.注滿一池水，只打開甲管，要8小時(shí)；只打開乙管，要12小時(shí)；只打開丙管，要15小時(shí)。今開始只打開甲、乙兩管，中途關(guān)掉甲、乙兩管，然后打開丙管，前后共用了10小時(shí)才注滿一池水。那么打開丙管注水幾小時(shí)？
23.某工程隊(duì)承建一項(xiàng)工程，要用12天完成。如果只讓其中的甲、乙兩個(gè)小隊(duì)交換一下工作內(nèi)容，那么全工程就要推遲3天完成；如果讓其中甲、乙兩個(gè)小隊(duì)交換一下工作內(nèi)容的同時(shí)，也讓丙、丁兩個(gè)小隊(duì)交換工作內(nèi)容，仍然可以按期完成全工程。如果只讓丙、丁兩個(gè)小隊(duì)交換工作內(nèi)容，那么可以使全工程提前幾天完成？
24.甲、乙兩隊(duì)合干一項(xiàng)工程，甲隊(duì)先獨(dú)干了6天后，乙隊(duì)參加和甲隊(duì)一起干，又過了4天完成了全工程的1/3。又過了10天正好完成了全工程的3/4。因甲隊(duì)另有任務(wù)調(diào)出，乙隊(duì)繼續(xù)工作，直到完成全工程。從開始到完工用了多少天？
25.甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，各自去B、A兩地，二人速度比為7∶6。二人相遇后繼續(xù)向前行進(jìn)，這時(shí)乙的速度比原來速度每小時(shí)增加
來的速度。
26.平日A、B兩車分別從甲城、乙城兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)相遇。某日A車途中發(fā)生故障，修理占去了2.5小時(shí)，結(jié)果經(jīng)過7.5小時(shí)兩車才相遇。那么這一天A車從甲城出發(fā)到乙城用了多少小時(shí)？
27.某市104路電車起點(diǎn)站和終點(diǎn)站都按一定的間隔時(shí)間發(fā)一輛電車，并且勻速行駛。張華騎車沿104路電車線以均勻速度行駛，每隔12分鐘有一輛電車從后面超過他，每隔4分鐘有輛電車迎面開來。那么104路電車起點(diǎn)站和終點(diǎn)站每隔多少分鐘發(fā)一輛車？
28.甲、乙二人步行的速度比為11∶7。二人分別從A、B兩地相向而行，2小時(shí)相遇。如果二人同向而行，幾小時(shí)后甲追上乙？
29.45名學(xué)生要到離學(xué)校30千米的郊外勞動。學(xué)校只有一輛汽車能乘坐15人，汽車的速度是每小時(shí)60千米。學(xué)生步行的速度是每小時(shí)4千米。為使他們盡早到達(dá)勞動地點(diǎn)，他們最少要用幾小時(shí)才能全部到達(dá)？
30.甲、乙兩班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去少年宮。甲班步行的速度是每小時(shí)5千米，乙班步行的速度是每小時(shí)6千米。學(xué)校有一輛汽車恰好可以坐一個(gè)班的學(xué)生，汽車每小時(shí)行30千米。為了使兩班學(xué)生盡早到達(dá)少年宮，甲、乙兩班步行路程比應(yīng)該是幾比幾？
31.一輛汽車從甲地開往乙地。如果把車速度提高20％，那么可以比原定時(shí)間提早1小時(shí)到達(dá)。如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，那么可以比原定時(shí)間提早40分鐘到達(dá)。甲、乙兩地之間的路程有多少千米？
32.從甲市到乙市有一條公路，它分成三段，其中第一段長是第三段長的2倍。在第一段路上，汽車的速度都是每小時(shí)40千米；在第二段路上，汽車的速度都是每小時(shí)90千米；在第三段路上，汽車的速度都是每小時(shí)50千米?，F(xiàn)有兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩市出發(fā)相向而行，1小時(shí)20分后在第二段路的1/3（從甲市到乙市方向的1/3）處相遇。那么甲、乙兩市相距多少千米？
33.甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)到B地。甲車按原定速度行了全程的2/3后，車速提高了1倍，結(jié)果比原計(jì)劃時(shí)間提前2小時(shí)到達(dá)B地；乙車按每小時(shí)30千米的原定速度行了全程的1/4后，車速提高了1倍，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)B地。那么甲原定每小時(shí)行多少千米？
34.甲、乙兩城之間有長途汽車以固定速度行駛。如果車速比原定速度每小時(shí)快6千米，那么就可以早到20分鐘。如果車速比原定速度每小時(shí)慢5千米，那么就要遲到24分鐘。問甲、乙兩城間的路程是多少千米？
35.甲、乙、丙三人進(jìn)行自行車比賽，結(jié)果甲比乙早24分鐘、乙比丙早6分鐘到達(dá)終點(diǎn)。又知道甲速度比乙速度每小時(shí)快5千米，乙速度比丙速度每小時(shí)快1千米。甲、乙、丙三人比賽的路程有多少千米？
雜題部分
小學(xué)生的課外數(shù)學(xué)活動，包括一些數(shù)學(xué)競賽活動，極大地提高了小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。通過參加各種數(shù)學(xué)課外活動，提高了學(xué)生思維和探索能力。雜題中選編的例題，更突出了小學(xué)數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用。有的題涉及一點(diǎn)小學(xué)尚未學(xué)習(xí)的知識，但是學(xué)生還是可以理解的，題中介紹的各種解法，小學(xué)生應(yīng)該掌握。
例84 將奇數(shù)1、3、5、7、9、……按下表排成五列。
例如，13排在第2行第2列，25排在第4行第4列。那么1993排在第幾行第幾列？
分析與解 首先要算出1993這個(gè)數(shù)是這列數(shù)中的第幾個(gè)數(shù)。
由上表可看出，每行有4個(gè)數(shù)，而997÷4=249……1。就是說第997個(gè)數(shù)是第250行中最小的一個(gè)。偶數(shù)行的數(shù)是從小到大依次排在第4、3、2、1列的，因此1993這個(gè)數(shù)排在第250行第 4列。
例85 在自然數(shù)中有很多三位數(shù)，其中三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)的三位數(shù)共有多少個(gè)？
分析與解 要想求出三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)的三位數(shù)共有多少個(gè)，不妨按從小到大的順序把這些數(shù)寫出來：104、109、113、118、122、127、……顯然，用這種尋找答案的方法是可以的，但是太費(fèi)時(shí)間了。
我們可以按下面的思路去思考。
這10個(gè)連續(xù)的三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和,也正好是10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。例如，A=1，B=2，那么上面寫出的10個(gè)連續(xù)的三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和為3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。其中有而且只有兩個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)。
從100～999，這些三位數(shù)共900個(gè)，每10個(gè)連續(xù)三位數(shù)為一個(gè)“數(shù)段”，一共可以分成90個(gè)“數(shù)段”。而每10個(gè)連續(xù)的三位數(shù)中有而且只有2個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)，所以在所有的三位數(shù)中共有 2×90=180個(gè)三位數(shù)，它們的三個(gè)數(shù)字和是5的倍數(shù)。
答：三位數(shù)中三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)的共有180個(gè)。
例86 有一串?dāng)?shù) 1、4、9、16、25、26、49、……它們是按一定的規(guī)律排列的。那么左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大多少？
分析與解 仔細(xì)觀察這串?dāng)?shù)各數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)是從1開始的自然數(shù)的平方數(shù)，即12、22、32、42、52、62、72、……
進(jìn)而比較相鄰兩數(shù)之差，可以發(fā)現(xiàn)
4-1=22-12=2+1
9-4=32-22=3+2
16-9=42-32=4+3
25-16=52-42=5+4
由此可以推得，左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大
1994+1993=3987
答：左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大3987。
例87 有一列數(shù) 1、2、4、7、11、16、22、29、……這列數(shù)左起第1994個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是多少？
分析與解 觀察這一列數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)它排列的規(guī)律是：第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)多1；第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)多2；第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)多3；……依次類推。這樣我們就可以先求出第1994個(gè)數(shù)是幾，再算出這個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是多少了。
左起第1994個(gè)數(shù)是
1+1+2+3+…+1993
=1+1987021
=1987022
再計(jì)算1987022除以5的余數(shù)，得到余數(shù)是2。
也可以這樣思考：
根據(jù)這列數(shù)排列的規(guī)律，我們先列出前15個(gè)數(shù)，然后再算一下這15個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)。列表如下：
從上表可以看出、第1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)，與第6、7、8、9、10五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)對應(yīng)相同、也與第11、12、13、14、15五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)對應(yīng)相同。由此得出，這一列數(shù)被5除的余數(shù)，每隔5個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)。
因?yàn)?994=5×398+4，所以第1994個(gè)數(shù)被5除得到的余數(shù)，與第四個(gè)數(shù)除以5得到的余數(shù)一樣，也就是余數(shù)為2。
答：這列數(shù)左起第1994個(gè)數(shù)除以5得到的余數(shù)是2。
例88 有1994名同學(xué)按編號從小到大排成一排，令奇數(shù)號位（1號位、3號位……）上的學(xué)生離隊(duì)。余下的同學(xué)順序不變，再令其中站在新編號為奇數(shù)號位上的同學(xué)離隊(duì)。依次重復(fù)上面的做法，那么最后留下來的同學(xué)，在開始時(shí)是排在第幾號位上的？
分析與解 依照題中所說的做法，第一次令奇數(shù)號位上的同學(xué)離隊(duì)后，余下的同學(xué)，開始時(shí)編號是2（21×1）、4（21×2）、6（21×3）、……、1994（21×997），再令余下的同學(xué)中站在奇數(shù)號位上的同學(xué)離隊(duì)后，剩下的同學(xué)開始時(shí)的編號是4（22×1）、8（22×2）、12（22×3）、16（22×4）、……、1992（22×498）
依次類推，第9次令余下的同學(xué)中站在奇數(shù)號位上的同學(xué)離隊(duì)后，剩下的同學(xué)開始時(shí)的編號是29×1，29×2，29×3。
第10次令余下的同學(xué)中站在奇數(shù)號位上的同學(xué)離隊(duì)后，只剩下一個(gè)同學(xué)，他開始時(shí)的編號是：210×1，即1024。
答：最后留下來的同學(xué)，在開始時(shí)是排在第1024號位上的。
例89 把乒乓球裝在6個(gè)盒中，每盒裝的個(gè)數(shù)分別為1個(gè)、3個(gè)、9個(gè)、27個(gè)、8l個(gè)、243個(gè)。從這6盒中，每次取其中1盒，或取其中幾盒，計(jì)算乒乓球的個(gè)數(shù)之和，可以得到63個(gè)不同的和。如果把這些和從小到大依次排列起來，是1個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、9個(gè)、10個(gè)、12個(gè)、……，那么第60個(gè)和是多少個(gè)？
分析與解 首先應(yīng)該想到，不能用從取1盒、取2盒、……去計(jì)算乒乓球個(gè)數(shù)之和的辦法，去尋找第60個(gè)和是多少個(gè)。根據(jù)題意，第63個(gè)兵乓球個(gè)數(shù)之和是很容易計(jì)算出來的，而第60個(gè)兵乓球個(gè)數(shù)之和與它相差不多，例推回去，就可以得出結(jié)果了。
根據(jù)已知，第63個(gè)乒乓個(gè)數(shù)之和是
1+3+9+27+81+243=364
于是第62個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是
364-1=363
第61個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是
364-3=361.
第60個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是
364-3-1=360
答：第60個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和是360。
例90 有甲、乙、丙、丁四個(gè)人，他們的年齡一個(gè)比一個(gè)大2歲，這四個(gè)人年齡的乘積是48384。這四個(gè)人的年齡各是幾歲？
分析與解 題中告訴我們，48384是四個(gè)人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個(gè)數(shù)相乘，這四個(gè)數(shù)就是四個(gè)人的年齡了。
48384=28×33×7
=（22×3）×（2×7）×24×（2×32）
=12×14×16×18
由此得出這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。
也可以這樣想：
由題意可知，這四個(gè)數(shù)是相差2的四個(gè)整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當(dāng)然這四個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因?yàn)?8384的個(gè)位數(shù)字不是0，顯然這四個(gè)數(shù)中，沒有個(gè)位數(shù)字是0的，那么這四個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是2、4、6、8。
又因?yàn)?04＜48384，而 48384＜204，所以可以斷定，這四個(gè)數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說，這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。
答：這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。
例91 把分母為60的最簡假分?jǐn)?shù)從小到大排列，第1994個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？
分析與解 直接求出第1994個(gè)假分?jǐn)?shù)是幾分之幾，是不大容易的。我們不妨換一下思考的角度，那就是將假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)去思考，求出第1994個(gè)帶分?jǐn)?shù)是幾又幾分之幾，再把這個(gè)帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)就可以了。
由于分母是60的最簡真分?jǐn)?shù)共有16個(gè)，把它們從小到大排列起來，依
由此可知，分母為60的最簡假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，由小到大依次排列，
因?yàn)?994÷16=124……10，所以第1994個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是
答：第1994個(gè)最簡假分?jǐn)?shù)是7537/60。
例92 有 A、B、C、D、E五個(gè)小足球隊(duì)參加足球比賽，到現(xiàn)在為止，A隊(duì)賽了4場，B隊(duì)賽了3場，C隊(duì)賽了2場，D隊(duì)賽了1場。那么E隊(duì)賽了幾場？
分析與解 把參賽的五個(gè)球隊(duì)看成平面上不在同一條直線上的五個(gè)點(diǎn)，并且沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上。這樣每兩隊(duì)比賽了1場，就可以用相應(yīng)的兩點(diǎn)間連一條線段來表示。根據(jù)各隊(duì)比賽過的場次可畫成圖55。
從上圖不難看出，E隊(duì)賽了2場。
答：E隊(duì)賽了2場。
例93 有4個(gè)不同的自然數(shù)a、b、c、d，而且a＜b＜c＜d。又知道a比b小5，d比c大7，這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 17，那么d最大是多少？最小是多少？
分析與解 題中告訴我們，四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是17，那么這四個(gè)數(shù)的和就是17×4=68。
題中問d最大是多少。要使d最大，那么a就要盡量小。因?yàn)檫@四個(gè)數(shù)都是自然數(shù)，所以a最小為1。又因?yàn)閍比b小5，所以這時(shí)b為6。這樣不難求出這時(shí)c與d的和是68-1-6=61。題中又告訴我們，d比c大7，這樣就可以求出這時(shí)d是61+7/2=34，即d最大是34。
那么d最小是多少呢？
題中告訴我們，a比b小5，d比c大7，a、b、c、d四個(gè)數(shù)之和是68，而68+5+7之和正好是b與d的和的2倍，因此b與d的和是（68+5+7）÷2=40。要使d最小，那么a、b、c就要盡量大，而b與c的差應(yīng)該盡量小，而b與c的差最小是1，這樣b與d之差就是1+7=8。由此得出d最小是：40+8/2=24
答：d最大是34，最小是24。
例94 一個(gè)正方體有六個(gè)面，分別用字母A、B、C、D、E、F表示。圖56是從三個(gè)不同角度看到的這個(gè)正方體的部分面的字母。那么這個(gè)正方體到底哪個(gè)面與哪個(gè)面相對？
分析與解 觀察題中給出的三個(gè)圖，不容易看出哪個(gè)面與哪個(gè)面相對。那就換一種思考方法，看看哪個(gè)面不對著哪個(gè)面，從而得出哪個(gè)面與哪個(gè)面相對的正確結(jié)論。
觀察圖（1）可知，A面不對著D面、E面；觀察圖（2）可知，A面不對著B面、F面。由此得出，A面一定對著C面。
再觀察圖（2），可以知道，F(xiàn)面不對著A面、B面；觀察（3）可以知道，F(xiàn)面不對著C面、D面。那么F面一定對著E面。
這樣剩下的B面一定對著D面。
答：這個(gè)正方體的A面對著C面；B面對著D面；E面對著F面。
例95 一次乒乓球比賽，共有512名乒乓球運(yùn)動員參加比賽。比賽采用淘汰制賽法，兩個(gè)人賽一場，失敗者被淘汰，將不再參加比賽；獲勝者進(jìn)入下輪比賽，如此進(jìn)行下去，直到?jīng)Q賽出第一名為止。問這次乒乓球比賽一共要比賽多少場？
分析與解 如果這樣去想，第一輪512名運(yùn)動員參賽，要賽256場；第二輪256名運(yùn)動員參賽，要賽128場；……直到?jīng)Q賽出第一名為止，再將各輪比賽場次加起來，計(jì)算出一共要比賽多少場。這種方法是可以的，不過太復(fù)雜了。
如果按下面的思路思考，那就簡單得多了。
根據(jù)題中所說，比賽采取淘汰制，每比賽一場淘汰掉1人，到最后決賽得出第一名，只有這第一名未被淘汰。也就是說，512名運(yùn)動員參賽，有511人被淘汰。淘汰一個(gè)人就要賽一場，所以這次乒乓球比賽一共要進(jìn)行511場比賽。
答：這次乒乓球比賽，一共要比賽 511場。
例96 一只杯子里裝著紅葡萄酒，一只杯子里裝著白酒，都是300毫升?，F(xiàn)在從裝著紅葡萄酒的杯中倒出30毫升紅葡萄酒與白酒混合，混合均勻后，再從混合的酒中取出30毫升倒回裝紅葡萄酒的杯中，每個(gè)杯中的酒仍然是300毫升。問這時(shí)是紅葡萄酒杯中的白酒多呢？還是白酒杯中的紅葡萄酒多呢？
分析與解 解答這題不應(yīng)從具體數(shù)量上分析入手，因?yàn)槟菢佑?jì)算就太復(fù)雜了。
根據(jù)題中條件，紅葡萄酒和白酒的數(shù)量都是300毫升，我們用V表示。白酒中紅葡萄酒的含量用a表示，紅葡萄酒中白酒的含量用b表示。于是白酒杯中的酒是
V=（V-b）+a
紅葡萄酒杯中的酒是
V=（V-a）+b
因此，（V-b）+a=（V-a）+b
那么 a-b=b-a
2a=2b
所以 a=b
這就是說，白酒里的紅葡萄酒與紅葡萄酒里的白酒是一樣多的。
當(dāng)然題目還可以改為：“不等混合均勻，又倒回30毫升”，那該是怎樣的結(jié)果呢？
這個(gè)問題的回答是：結(jié)果與前面完全一樣，其中的道理也就不用再說了。
答：紅葡萄酒中的白酒與白酒中的紅葡萄酒一樣多。
例97 甲盒中有1993個(gè)白棋子和1994個(gè)黑棋子，乙盒中有足夠多的黑棋子?，F(xiàn)在每次從甲盒中任取2個(gè)棋子放在外面。如果被取出的2個(gè)棋子是同顏色的，就從乙盒中取1個(gè)黑棋子放入甲盒；如果取出的2個(gè)棋子是不同顏色的，便將那個(gè)白棋子再放回到甲盒中去。這樣經(jīng)過3985次取、放之后，甲盒中還剩下幾個(gè)棋子？它們是什么顏色的？
分析與解 根據(jù)題意，甲盒中共有1993+1994= 3987（個(gè)）棋子。每次取出2個(gè)棋子后又放回到甲盒中1個(gè)棋子，實(shí)際每次取、放后，甲盒中減少1個(gè)棋子。因此，經(jīng)過3985次取、放后，甲盒中還剩下3987-3985=2個(gè)棋子。
根據(jù)題中所說的取、放方法，每次取、放之后，甲盒中要么減少1個(gè)黑棋子，要么減少2個(gè)白棋子增加1個(gè)黑棋子。顯然，甲盒中的白棋子總是兩個(gè)兩個(gè)地減少。而甲盒中有1993個(gè)白棋子，那么，最后必定剩下1個(gè)白棋子。另外剩下的那個(gè)棋子一定是黑色的。
答：甲盒中還剩下2個(gè)棋子，1個(gè)白色的，1個(gè)黑色的。
例98 某市電話403局的各戶電話號碼是4030000～4039999。那么除局號外其余4個(gè)數(shù)碼中的前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼共有多少個(gè)？
分析與解 我們知道，403局的電話號碼0000～9999，共有10000個(gè)號碼。而前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號碼的個(gè)數(shù)，比前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的號碼的個(gè)數(shù)少得多。因此，要求前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼的個(gè)數(shù)，應(yīng)該先求出前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的個(gè)數(shù)，再從 10000中減去這個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果就是題目所要求的電話號碼的個(gè)數(shù)了。
那么除局號外，在其余4個(gè)數(shù)碼中，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號碼有多少個(gè)呢？
我們知道，在這些號碼中，兩個(gè)號碼之和最小的是0，最大的是18。
前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為0的，只用到數(shù)字0，即0000。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為18的，只用到數(shù)字9，即9999。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為0或18的，都只用到1個(gè)數(shù)字，各有1個(gè)號碼。
再看前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為1的情況。這時(shí)只用到0和1兩個(gè)數(shù)字，它們是0101、0110、1010、1001，共4個(gè)號碼。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為17的，只用到8和9兩個(gè)數(shù)字，它們是
8989、8998、9898、9889，共4個(gè)號碼。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為1或17的，都用到2個(gè)數(shù)字，各有4個(gè)號碼。
我們再看看前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為2的情況。這時(shí)只用到0、1、2三個(gè)數(shù)字，它們是0202、0220、2020、2002、1102、0211、2011、1120、1111，共9個(gè)號碼。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為16的，用到 7、8、9三個(gè)數(shù)字，它們是7979、7997、9797、9779、8879、7988、8897、9788、8888，共9個(gè)號碼。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為2或16的，都用到3個(gè)數(shù)字，各有9個(gè)號碼。
從以上列舉的三種情況看，我們發(fā)現(xiàn)，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號碼，如果用到1個(gè)數(shù)字，就有1個(gè)號碼，即12個(gè)；用到2個(gè)數(shù)字，就有4個(gè)號碼，即22；用到3個(gè)數(shù)字，就有9個(gè)號碼，即32個(gè)。
前面已經(jīng)說了，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和最小的是0，最大的是18，共有19種情況。我們把這19種情況，即用到數(shù)字的個(gè)數(shù)及號碼的數(shù)，列成下表。
從上表不難看出，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)之和相等的號碼共有
（12+22+32+42+52+62+72+82+92）×2+102
=（1+4+9+16+25+36+49+64+81）×2+100
=285×2+100
=570+100
=670（個(gè)）
于是得出，除局號外，在其余的四個(gè)數(shù)碼中，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼共有
10000-670=9330（個(gè)）
答：前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼共有 9330個(gè)。
例99 用紅、黃、藍(lán)三種顏色把圖57中8個(gè)圓圈涂上顏色，每個(gè)圓圈只許涂一種顏色，并且有連線的兩端的圓圈不能涂上相同的顏色，那么共有多少種不同的涂法？
分析與解 根據(jù)題中條件，首先要想到中間菱形的四個(gè)圓圈連線最多，應(yīng)該從這里開始思考。為了說明方便，先用字母表示圖中各圓圈，如圖58所示。
假如在A圓圈內(nèi)涂紅色，那么B、C、D三個(gè)圓圈的涂色方法有六種，如圖59所示。
因?yàn)锳圓圈可以涂紅、黃、藍(lán)三種顏色，所以A、B、C、D四個(gè)圓圈的涂色方法共6×3=18種。
又因?yàn)锳、B、C、D都有一條線分別與E、F、G、H相連，所以 E、F、 G、H各有2種不同的涂法，由此共有18×2×2×2×2=288種不同的涂法。
答：共有288種不同的涂法。
例100 9月1日開學(xué)那天，五年級數(shù)學(xué)科代表向李老師匯報(bào)說：“李老師，我們100個(gè)同學(xué)，在暑假里一共做了1600道數(shù)學(xué)題?！崩罾蠋熉犃朔浅８吲d，當(dāng)即表揚(yáng)了他們，并且說：“你們100個(gè)人中，至少有4個(gè)人做的數(shù)學(xué)題的數(shù)目一樣多?！崩罾蠋熣f的這句話對嗎？為什么？
分析與解 根據(jù)題意，把100個(gè)學(xué)生按3人為一組，分成33組，還剩下1個(gè)學(xué)生。
假設(shè)第1組3個(gè)學(xué)生都沒做題，即每人做了0道題；第2組3個(gè)學(xué)生每人做1道題；第3組3個(gè)學(xué)生每人做2道題；…… 第33組3個(gè)學(xué)生每人做32道題。剩下的一個(gè)學(xué)生要是與前面的99個(gè)學(xué)生做的題數(shù)不相同，最少也要做33道題。這樣100個(gè)學(xué)生最少共做了
3×（0+1+2+3+4+…+31+32）+33
=3×528+33
=1584+33
=1617（道）
超過了1600道題。要是不超過1600道題，必須有1個(gè)或更多的學(xué)生少做題，合起來共少做了17道題。其實(shí)只要有1個(gè)學(xué)生少做了題，這個(gè)學(xué)生就會歸到其它做題少的那組中去。這樣一來，那個(gè)組就會有4個(gè)學(xué)生做題一樣多了。
因此，李老師的話是正確的。
雜題部分練習(xí)。
1.明明和小華到新華書店去買《小學(xué)數(shù)學(xué)百問》這本書。一看書的價(jià)錢，發(fā)現(xiàn)明明帶的錢缺1分錢，小華帶的錢缺2.35元。兩人把錢合起來，還是不夠買一本的。那么買一本《小學(xué)數(shù)學(xué)百問》到底要花多少元？
2.將奇數(shù)按如下順次排列
1 5 7 19 21
3 9 17 23 ……
11 15 25 ……
13 27 ……
29 33 ……
31 ……
在這樣的排列中，17這個(gè)數(shù)排在第2行第3列，33這個(gè)數(shù)排在第5行和2列，那么1995這個(gè)數(shù)排在第幾行第幾列？
3.有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)和第二個(gè)數(shù)都是1994，以后每個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和，這列數(shù)的第1994個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)是幾？
4.11+22+33+44+55+66+77+88+99+1010除以3的余數(shù)是幾？
5.某班有學(xué)生51人，準(zhǔn)備推選1名同學(xué)在教師節(jié)那天給老師獻(xiàn)花。選舉的方法是讓51名同學(xué)按編號1、2、3、……、51排成一個(gè)圓圈，從1號位開始，隔過1號，去掉2號、3號，隔過4號，去掉5號、6號……如此循環(huán)下去，總是每隔過1個(gè)人，就去掉2個(gè)人，最后剩下的那名同學(xué)當(dāng)選。那么當(dāng)選的同學(xué)開始時(shí)是排在幾號位置上的？
6.設(shè) 1、3、9、27、81、243、729、2187是給定的 8個(gè)數(shù)，在這8個(gè)數(shù)中每次取1個(gè)或取幾個(gè)不同的數(shù)求和，可以得到一個(gè)新數(shù)，這樣共得到255個(gè)新數(shù)。從小到大把這些新數(shù)排列起來，那么第250個(gè)數(shù)是幾？
7.有一列數(shù)1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、……那么第398個(gè)數(shù)是多少？
8.下圖中已填好了2個(gè)數(shù)6和7，再從1、2、3、4、5中選出4個(gè)數(shù)填在圖中空格中，要使填好的格里的數(shù)右邊比左邊大，下邊比上邊大，那么一共有多少種不同的填法？
9.下面方格中每橫行、每豎行、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么方格中的A、B、C、D、E各是多少？
10.有四包糖，每次選出其中的3包，算出這三包的平均重量，再加上另一包的重量，用這種方法算了4次，分別得到下面4種重量8.8千克，9.6千克，10.4千克，11.2千克那么這四包糖平均每包重多少千克？
小明擺了兩次，第一次擺成正方陣后，余下12枚棋子；第二次擺成每邊各加 1枚棋子的正方陣時(shí)，還缺少9枚棋子。那么這些棋子共有多少個(gè)？
12.有兩列數(shù)，它們各自按一定的規(guī)律排列。第一列數(shù)是：3、5、7、9、……，第二列數(shù)是：4、9、14、19、24、……，第一列數(shù)中的第1個(gè)數(shù)與第二列數(shù)中的第1個(gè)數(shù)相加是3+4；第一列數(shù)中的第2個(gè)數(shù)與第二列數(shù)中的第2個(gè)數(shù)相加是5+9；……那么兩列數(shù)第80個(gè)數(shù)相加，是幾+幾？
13.有7000多棵小樹苗，按著六種規(guī)格捆成若干小捆。如果每10根捆成1捆，結(jié)果剩下9棵；如果每9棵捆成1捆，結(jié)果剩下8棵；第三、四、五、六種規(guī)格是：分別以8棵、7棵、6棵、5棵捆成1捆，那么最后分別剩下7棵、6棵、5棵、4棵。問一共有多少棵小樹苗？
14.有幾個(gè)長方形，它們的長和寬的長度都是小于10的自然數(shù)，并且各個(gè)長方形的寬與長的比值都比3/10大，比1/2小。那么這幾個(gè)長方形的面積總和是多少？
15.有一個(gè)數(shù)比30小，它與2的差能被3整除。它與3的和能被4整除。它與1的和能被5除整除。這個(gè)數(shù)除以60的余數(shù)是幾？
16.如果兩個(gè)數(shù)的和是80，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？
17.一個(gè)六位數(shù)，把它的末三位一起搬到前三位的前面，成為一個(gè)新的六位數(shù)，而原來那個(gè)六位數(shù)的7倍正好等于新的六位數(shù)的6倍。原來的六位數(shù)是多少？
18.某校六年級學(xué)生按一層男生、一層女生地排成一個(gè)正方陣。又知道男生比女多25人，這個(gè)學(xué)校的六年級共有多少學(xué)生？
19.在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個(gè)？
20.有若干學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，每個(gè)學(xué)生的得分都是整數(shù)。已知參賽學(xué)生所得的總分是4729分，并且前三名的分?jǐn)?shù)分別是88分、85分、80分，最低分是30分，又知道沒有與前三名得分相同的學(xué)生，其它任何一個(gè)分?jǐn)?shù)，得到這個(gè)分?jǐn)?shù)的都不超過3人。那么在這次競賽中得分不低于60分的學(xué)生至少有多少名？
21.某班一次考試有52人參加，共考 5個(gè)題，每道題做錯(cuò)的人數(shù)如下：
又知道每人至少做對一道題，做對一道題的有7人，5道題全做對的有6人，做對2道題的人數(shù)和3道題的人數(shù)一樣多，那么做對4道題的有多少人？
22.某車間原有工人不少于63名。在1月底以前的某一天調(diào)進(jìn)了若干工人，以后每天都增調(diào)1人進(jìn)車間工作?，F(xiàn)在知道，這個(gè)車間在1月份每人每天生產(chǎn)1件產(chǎn)品，共生產(chǎn)了1994件。試問1月幾號開始調(diào)進(jìn)工人？共調(diào)進(jìn)了多少工人？
23.打一份稿件，甲單獨(dú)打，要6小時(shí)完成。如果按甲、乙、丙輪流每人打1小時(shí)的順序去打，正好用整小時(shí)數(shù)完成；如果按乙、丙、甲輪流每人打1小時(shí)的順序去打，就要比按甲、乙、丙輪流的順序去打多用0.5小時(shí)完成；如果按丙、甲、乙輪流每人打1小時(shí)的順序去打，就要比按甲、乙、丙輪流的順序去打多用0.25小時(shí)完成。現(xiàn)在由甲、乙、丙合打這份稿件，需要幾小時(shí)完成？
答案僅供參考：
1.明明買這本書還缺1分錢，小華要是能補(bǔ)上1分錢，就能買這本書了?？墒切∪A、明明的錢合起來，仍然買不了這本書，這說明小華連1分錢也沒帶。
題中說，小華買這本書缺2.35元，那么2.35元正好是這本書的價(jià)錢了。
所以買一本《小學(xué)數(shù)學(xué)百問》要花2.35元。
個(gè)數(shù)是990×2—1=1979
排在第1行第45列的數(shù)是1981，1983是第2行第44列上的數(shù)，余類推，得出1995排在第8行第38列。
3.首先算出這一列數(shù)除以3的余數(shù)排列的規(guī)律。
從上表不難看出，這列數(shù)被3除的余數(shù)呈2、2、1、0、1、1、2、0這八個(gè)數(shù)一循環(huán)的排列，而1994÷8=249……2，即1994個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)同第二個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)一樣，即余2。
4.因?yàn)?、6、9都能被3整除，因此33、66、99都能被3整除，即33、66、99除以3的余數(shù)都是0。
我們知道，一個(gè)不能被3整除的數(shù)的平方數(shù)被3除的余
數(shù)都是1，因此
11=12，12除以 3余數(shù)是1；
22除以3的余數(shù)是1；
44=4×4×4×4=（4×4）2，44除以3的余數(shù)是1；
88=8×8×8×8×8×8×8×8=（8×B×8×8）2，88除以3的余數(shù)是1；
1010=10×10×10×10×10×10×10×10×10×10=（10×10×10×10×10）2，1010除以3的余數(shù)是1。
再看一下55=5×5×5×5×5
= 5×5×5×5×（3＋2）
=（5×5）2×（3+2）
＝（5×5）2×3＋（5×5）2×2
其中（5×5）2×3能被 3整除，（5×5）2×=1250， 1250除以 3的余數(shù)是2，因此55除以3的余數(shù)是2。
77=7×7×7×7×7×7×7
=（7×7×7）×（7×7×7）×（6+1）
=（7×7×7）2×（6＋1）
=（7×7×7）2×6＋（7×7×7）2×1
其中（7×7×7）2×6能被3整除，（7×7×7）2×1除以 3的余數(shù)是 1，因此7×7除以 3的余數(shù)是 1。
由以上分析，得出：
11、22、44、55、77、88、1010除以3的余數(shù)分別是1、1、1、2、1、1、1，這些余數(shù)的和是8，而8除以3的余數(shù)是2。因此，
11＋22+33+44＋55＋66＋77＋88＋99＋1010除以3的余數(shù)是2。
5.根據(jù)推選的方法可知，第一輪篩選后留下了17人。這17人是排在第 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49號位置上的同學(xué)。接下去繼續(xù)篩選，留下了6人，這6個(gè)人是排在第1、10、19、28、37、46號位置上的同學(xué)。不過留下46號后去掉49號，接下來正好去掉1號，再繼續(xù)下去，留下的是第10、37號位上的同學(xué)，在去掉46號之后，接下去是去掉10號，最后剩下的是37號，即開始時(shí)排在37號位置上的那個(gè)同學(xué)當(dāng)選。
6.第255個(gè)數(shù)是：
1＋3＋9＋27＋81＋243＋729＋2187=3280
第 250個(gè)數(shù)是：3280—1—9=3270
7.仔細(xì)觀察這列分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，它們的分母是1、2、3、4.……分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)；分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)；分母是3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)；……分子是1、1、2、1、1、2、3、2、1……從小到大再到小，依次排列。從而得出，從第400個(gè)分?jǐn)?shù)是分母為20的分?jǐn)?shù)中最后一個(gè)，
8.當(dāng)空格中取1、2、3、4時(shí)，有2種填法，即
1 2 1 3
3 4 2 4
當(dāng)空格中取1、2、3、5時(shí)，有2種填法，即
1 2 1 3
3 5 2 5
當(dāng)空格中取1、2、4、5時(shí)，有2種填法，即
1 2 1 4
4 5 2 5
當(dāng)空格中取1、3、4、5時(shí)，有2種填法，即
1 3 1 4
4 5 3 5
當(dāng)空格中取2、3、4、5時(shí)，有2種填法，即
2 3 2 4
4 5 3 5
由此得出，共有2＋2＋2＋2＋2=10種不同填法。
9.19＋10＋D=D＋18＋E
∴E=11
19+A＋14=A＋B＋18
∴B=15
19＋15＋11=14＋15＋D
∴D=16
三數(shù)之和是19+10+16=45
∴A=45—19—14=12
C=45—14—11=20
10.根據(jù)題中所說的稱重方法可知，每包糖重在四次的計(jì)算中，三次各取了每包的1/3，一次取了一包的重量，也就是說，這四次計(jì)算中，每包的重量都被計(jì)算了兩次。因此，8.8＋9.6+10.4＋11.2的和相當(dāng)于四包糖重的2倍，那么這四包糖平均每包的重量是：
=5（千克）
11.解法（1）根據(jù)題意，兩次擺放棋子都要擺成正方陣，那么兩次要擺成的正方陣所需要的棋子數(shù)一定是兩個(gè)相鄰的平方數(shù)，像22=4，32=9，4和9是兩個(gè)相鄰的平方數(shù)。
題中告訴我們，第一次擺成正方陣后，余下12枚棋子，第二次擺成正方陣時(shí)缺少9枚棋子，那么兩次擺成正方陣后棋子數(shù)相差12＋9=21枚。也就是說，兩個(gè)相鄰的平方數(shù)相差21。我們知道102=100，112=121，而121—100正好是21。
由此得出，這堆棋子共有
100＋12=112（枚）
或121—9=112（枚）
解法（2）根據(jù)題意，第二次擺成的正方陣要比第一次擺成的正方陣多用了第一次擺成的正方形最外一層每邊棋子數(shù)的2倍多1枚。題中告訴我們，第二次擺成正方陣還差9枚棋子，而第一次擺成正方陣后余下12枚，就是說，第二次擺成的正方陣由于多擺了一層而多用了12＋9=21枚棋子，多用的棋子數(shù)比第一次擺成正方陣的最外一層每邊的棋子數(shù)的2倍多1枚。
因此第一次擺成正方陣時(shí)，最外一層每邊上的棋子數(shù)是：
（9＋12—1）÷2=10（枚）
那么這些棋子數(shù)是：
10×10＋12=112（枚）
或（10＋1）×（10＋1）-9=112（枚）
下面再用方程表示。
設(shè)第一次擺成正方陣時(shí)，最外一層的棋子數(shù)為x枚，則
2x+1=9＋12
2x＝9+12-1
2x=20
x=10
這些棋子共有10×10＋12=112（枚）
或（10＋1）×（10+1）-9=112（枚）
12.觀察兩列數(shù)排列的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)：第一列數(shù)是從3開始、公差為2的數(shù)列，因此第一列數(shù)的第 80個(gè)數(shù)是 3＋ 2×（80—1）=161。第二列數(shù)是從4開始、公差為5的數(shù)列，因此第二列數(shù)的第 80個(gè)數(shù)是 4＋5×（80—1）=399。
由此得出這兩列數(shù)的第80個(gè)數(shù)相加是161+399。
13.5、6、7、8、9、10的最小公倍數(shù)是2520，它的3倍是7560，7560—1=7559（棵）
們的總和是133。
15.4×5+3×5×3+3×4×2—60=29
29除以60的余數(shù)是29。
16.4875=3×5×5×5×13
由此得出這兩個(gè)數(shù)是：5與75或15與65。這兩個(gè)數(shù)的差是 70或50。
由此得出，原來那個(gè)六位數(shù)是461538。
18.根據(jù)男生比女生多25人，可知方陣中心站1名男生，這個(gè)方陣共排
19.根據(jù)已知條件，符合要求的數(shù)不可能有一位數(shù)及兩位數(shù)。在三位數(shù)及四位數(shù)中，奇、偶數(shù)位上數(shù)字和的差不可能是0，只能是11。
因此在三位數(shù)中，只有十位數(shù)字為1，個(gè)位與百位數(shù)字之和為12的一些數(shù)。于是得出符合要求的數(shù)有
319、913、418、814、517、715、616、共有7個(gè)數(shù)。
在四位數(shù)中有（3＋9）-（1＋0）=11、（4+8）-（1＋0）=11、（5+7）-（1+0）=11、（6＋6）-（1+0）=11。于是得出符合要求的數(shù)有
1309、1903、3091、3190、1408、1804、4081、4180、1507、1705、1606共11個(gè)數(shù)。
合起來共有7＋11=18個(gè)小于5000的數(shù)，其數(shù)字和為13，并且能被11整除。
20.要求得分不低于60分的學(xué)生至少有多少人，那么不及格的人數(shù)應(yīng)盡量多，得高分的也應(yīng)盡量多。根據(jù)題意，不及格的學(xué)生最多占去的分?jǐn)?shù)是：
（30＋31＋32＋……＋58＋59）×3=4005（分）
除去不及格的及前三名學(xué)生的得分，還有
4729-4005-88-85-80=471（分）
再從這471分中依次去掉3個(gè)79分，3個(gè)78分，得
471-79×3-78×3=0（分）
這說明得79分的有3人，得78分的有3人。再加上前三名學(xué)生，共9人及格，這就是說，不低于60分的學(xué)生至少有9人。
21.根據(jù)已知，全班 52人應(yīng)做對 5×52=260（道）題。實(shí)際做對 260-（4＋6＋10＋20＋39）=181（道）題。做對2道、3道、4道題的有52-7-6=39（人）。做對1道題及5道題的共做對1×7+5×6=37（道）題，那么做對2道、3道、4道題的39人共做對181-37=144（道）題。
題中告訴我們，做對2道、3道題的人數(shù)一樣多，可以把他們看成做對了（2＋3）÷2=2.5（道）題。
假設(shè)做對2道、3道、4道題的39人全做對了2.5道題，那么做對了4道題的有
（144—2.5×39）÷（4—2.5）=31（人）
22.根據(jù)題意可得1994=63×31＋41
1994=64×31＋10
而 1994＜65×31，也就是說，這個(gè)車間原有工人63人或64人，于1月份可生產(chǎn)63×31=1953件產(chǎn)品或生產(chǎn)64×31=1984件產(chǎn)品，這樣還差41件或10件產(chǎn)品未完成。
根據(jù)已知，應(yīng)把41或10表示為若干連續(xù)自然數(shù)之和。我們知道，41=20＋21，10=1＋2＋3＋4，這就是說，1月30日開始調(diào)進(jìn)20人，1月31日再增調(diào)1人，共調(diào)進(jìn)21人?；?月28日開始調(diào)進(jìn)1人，以后每天增調(diào)1人，到1月31日共調(diào)進(jìn)4人。
23.根據(jù)題意可知，如果按甲、乙、丙、甲、乙、丙……丙最后完成的順序去打，或按乙、丙、甲、乙、丙、甲……甲最后完成的順序去打，或按丙、甲、乙、丙、甲、乙……乙最后完成的順序去打，完成這份稿件都應(yīng)是3小時(shí)的整倍數(shù)。但是題中告訴我們，如果按乙、丙、甲的順序去打，要比按甲、乙、丙的順序去打多用0.5小時(shí)完成；如果按丙、甲、乙的順序去打，要比按甲、乙、丙的順序去打多用0.25小時(shí)完成。由此可知，如按甲、乙、丙的順序去打，最后完成這份稿件的不是丙，而是甲或乙。
如果是甲最后完成，那么完成全部稿件的方案如下：（腳碼表示工作的小時(shí)數(shù)）
甲1 乙1 丙1 甲1 乙1 丙1……甲1
乙1 丙1 甲1 乙1 丙1 甲1……乙1丙0.5
丙1 甲1 乙1 丙1 甲1 乙1……丙1甲0.25
由以上三種方案可知，經(jīng)若干輪后，余下的工作量，甲打1小時(shí)完成；或乙打1小時(shí)后，丙再打0.5小時(shí)完成；或丙打1小時(shí)后，甲再打0.25小時(shí)完成。由此得出：
打這份稿件，所用的時(shí)間是：
由上面得出的合打時(shí)間可知，甲、乙、丙各打2小時(shí)后，甲、乙、丙還
1小時(shí)完成相矛盾。這說明最后完成的是乙而不是甲。
由乙最后完成，那么完成全部稿件的方案如下：
甲1 乙1 丙1 甲1 乙1 丙1……甲1乙1
乙1 丙1 甲1 乙1 丙1 甲1……乙1丙1甲0.5
丙1 甲1 乙1 丙1 甲1 乙1……丙1甲1乙0.25
由以上方案可知，用、乙、丙經(jīng)若干輪后，余下的工作甲打1小時(shí)，乙再打1小時(shí)完成；或乙打1小時(shí)、丙打1小時(shí)后，甲再打0.5小時(shí)完成；或丙打1小時(shí)、甲打1小時(shí)后，乙再打0.25小時(shí)完成。由此得出
進(jìn)而求出甲、乙、丙的工效之和是：
甲、乙、丙合打這份稿件，需要
甲、乙、丙各打2小時(shí)后，余下的工作由甲先打1小時(shí)，再由乙打還要
