不含任何元素的集合稱為空集。 空集的性質(zhì)：空集是一切集合的子集，所以任何子集也包含了空集本身，而子集定義中是需要元素的，所以這是課本規(guī)定。 空集是任何非空集合的真子集?？占奈ㄒ恍杂?外延公理得出?？占荒芡ㄟ^一種方式轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)淇臻g，即通過定義空集為開集；這個空拓?fù)淇臻g是有連續(xù)映射的拓?fù)淇臻g的范疇的唯一初始對象。又如，0是含有一個元素的集合，?是不含任何元素的集合，因此，有??0，不能寫成?=0 或?∈0。

空集_空集 -表示方法

表示方法：用符號?(注：?(念oe)為拉丁字母，區(qū)別于希臘字母Φ(念fi))或者{ }表示。

注意：{?}為有一個?（oe）元素的集合，而不是空集。

空集_空集 -舉例

當(dāng)兩圓相離時，它們的公共點所組成的集合就是空集；

當(dāng)一元二次方程的根的判別式值小于0時，它的實數(shù)根所組成的集合也是空集。

空集_空集 -常見問題

空集不是無；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合就是有。這通常是初學(xué)

者的一個難點。將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助；袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的。

有些人會想不通上述第一條性質(zhì)，即空集是任意集合A的子集。按照子集的定義，這條性質(zhì)是說 { } 的每個元素x都屬于A。若這條性質(zhì)不為真，那 { } 中至少有一個元素不在A中。由于{ }中沒有元素，也就沒有{ }的元素不屬于A了，得到{ }的每個元素都屬于 A， 即{ }是A的子集。

空集_空集 -公理集合論

在諸如策梅羅-弗蘭克爾集合論的 公理集合論中，空集的存在性是由空集公理確定的?？占奈ㄒ恍杂?外延公理得出。

使用分離公理，任何陳述集合存在性的公理將隱含 空集公理。例如：若 A 是集合，則分離公理允許構(gòu)造集合 B = {x in A | x ≠ x}，它就可以被定義為空集。

空集_空集 -空集的運(yùn)算

空集（作為集合）上的運(yùn)算也可能使人迷惑。（這是一種空運(yùn)算。）例如：空集元素的和為 0，而它們的積為 1（見空積）。這可能看上去非常奇怪，空集中沒有元素，他們是怎么相加和相乘的呢？最終，這些運(yùn)算的結(jié)果更多被看成是運(yùn)算的問題，而不是空集的。比如，可以注意到 0 是加法的單位元，而 1 是乘法的單位元。

空集_空集 -范疇論

若A為集合，則恰好存在從{ }到A的函數(shù)f，即空函數(shù)。結(jié)果，空集是集合和函數(shù)的范疇的唯一初始對象。

空集只能通過一種方式轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)淇臻g，即通過定義空集為開集；這個空拓?fù)淇臻g是有連續(xù)映射的拓?fù)淇臻g的范疇的唯一初始對象。

空集是任何非空集合的真子集。

?只有一個子集，沒有真子集。{?}有兩個子集，一個是?一個是它本身

定義：

不含任何元素的集合稱為空集。

A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} c={5,4,3,2,1}

例如，“B是A的子集”，意思是B的任何一個元素都是A的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把B是A的子集解釋成B是由A中部分元素所組成的集合．因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的．

空集也是B的子集，而這個集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把B是A的真子集解釋成B是由A的部分元素組成的集合也是不確切的．正確的說法應(yīng)該把真子集的兩個特征：“B是A的子集”和“A中至少有一個元素不屬于B都指出．

“空集是任何集合的子集”這句話是正確的，但是把空集說成是任何集合的真子集就不確切．因為空集是它本身的子集．正確的說法是“空集是任何非空集合的真子集”．總之，對于概念的解釋，語言表達(dá)必須確切．

再如，“ AB是A在全集B中的補(bǔ)集”，不能把它簡單地說成 AB是A的補(bǔ)集，因為補(bǔ)集的概念是相對而言的，集合A在不同的全集中的補(bǔ)集是不同的，所以在描述補(bǔ)集概念時，一定要注明是在哪個例如，屬于符號“∈ ”、不屬于符號“?”，它們只能用在元素與集合符號之間；包含于（被包含）符號“? ”、包含

符號“?”，它們只能用在兩個集合符號之間．對此，必須引起學(xué)生充分注意，不能用錯，不要出現(xiàn)把a(bǔ)∈{a}表示成a?{a}，或a?{a}之類的錯誤。

又如，{0}是含有一個元素的集合，?是不含任何元素的集合，因此，有??{0}，不能寫成?={0} 或?∈{0}。

關(guān)于子集與真子集的記法，教科書中采用的是新的國家標(biāo)準(zhǔn)，與原教科書不盡相同，應(yīng)該注意。

關(guān)于補(bǔ)集，新的國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，集合A中子集B的補(bǔ)集或余集記為C B ，如果行文中集合A已經(jīng)很明確，則常?？梢允∪シ朅，而記為C B。

集合中的補(bǔ)集，簡單的說集合A的補(bǔ)集是沒有意義的。

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