在數(shù)學(xué)及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數(shù)、公式和定理。在數(shù)論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱費(fèi)馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理）是一個(gè)關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理得名于瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉，該定理被認(rèn)為是數(shù)學(xué)世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實(shí)際上是費(fèi)馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中，頂點(diǎn)數(shù)-棱邊數(shù)+面數(shù)=2)。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中歐拉定理又稱為產(chǎn)量分配凈盡定理，指在完全競爭的條件下，假設(shè)長期中規(guī)模收益不變，則全部產(chǎn)品正好足夠分配給各個(gè)要素。另有歐拉公式。

歐拉定理_歐拉定理 -歐拉其人

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到著名數(shù)學(xué)家貝努利的精心指導(dǎo)．歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時(shí)發(fā)表了700多篇論文。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年。歐拉著作驚人的高產(chǎn)并不是偶然的。他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，可以使他在任何不良的環(huán)境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。當(dāng)他寫出了計(jì)算天王星軌道的計(jì)算要領(lǐng)后離開了人世。歐拉永遠(yuǎn)是我們可敬的老師。歐拉研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學(xué)分支，對物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時(shí)一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777-1855）曾說過“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。歐拉還是數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f(x)等等，至今沿用。歐拉不僅解決了彗星軌跡的計(jì)算問題，還解決了使牛頓頭痛的月地問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創(chuàng)了“圖論”的研究。歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總有關(guān)系V+F-E=2，此式稱為歐拉公式。V+F-E即歐拉示性數(shù)，已成為“拓?fù)鋵W(xué)”的基礎(chǔ)概念。

歐拉定理_歐拉定理 -數(shù)論定理

內(nèi)容

在數(shù)論中，歐拉定理,（也稱費(fèi)馬-歐拉定理）是一個(gè)關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理表明，若n,a為正整數(shù)，且n,a互質(zhì)，則:

證明

將1~n中與n互質(zhì)的數(shù)按順序排布：x1,x2……xφ(n) （顯然，共有φ(n)個(gè)數(shù)）

我們考慮這么一些數(shù)：

m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)

1）這些數(shù)中的任意兩個(gè)都不模n同余，因?yàn)槿绻衜S≡mR (mod n) （這里假定mS更大一些），就有：

mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a與n互質(zhì)，a與n的最大公因子是1，而xS-xR

2）這些數(shù)除n的余數(shù)都與n互質(zhì)，因?yàn)槿绻鄶?shù)與n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi與n不互質(zhì)，而這是不可能的。那么這些數(shù)除n的余數(shù)，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因?yàn)檫@是1~n中與n互質(zhì)的所有數(shù)，而余數(shù)又小于n.

由1）和2）可知，數(shù)m1,m2,m3……mφ(n)（如果將其次序重新排列）必須相應(yīng)地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

或者說a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)

或者為了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 這里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都與n互質(zhì)，所以K與n互質(zhì)。那么a^[φ(n)]-1必須能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a^[φ(n)]≡1 （mod n），得證。

費(fèi)馬小定理:

a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

證明這個(gè)定理非常簡單，由于p是質(zhì)數(shù)，所以有φ(p) = p-1，代入歐拉定理即可證明。推論：對于任意正整數(shù)a，有a^p ≡ a (mod p)，因?yàn)閍能被p整除時(shí)結(jié)論顯然成立。

應(yīng)用

首先看一個(gè)基本的例子。令a = 3，n = 5，這兩個(gè)數(shù)是互素的。比5小的正整數(shù)中與5互素的數(shù)有1、2、3和4，所以φ(5)=4（詳情見[歐拉函數(shù)]）。計(jì)算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。與定理結(jié)果相符。

這個(gè)定理可以用來簡化冪的模運(yùn)算。比如計(jì)算7^{222}的個(gè)位數(shù)，實(shí)際是求7^{222}被10除的余數(shù)。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由歐拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

歐拉定理_歐拉定理 -幾何定理

內(nèi)容

1)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．

2)三角形ABC的垂心H，九點(diǎn)圓圓心V,重心G,外心O共線 ，稱為 歐拉線

證明

1)證明過程見下圖：

2）證明過程見下圖

歐拉定理_歐拉定理 -拓?fù)涔?/p>
合并圖冊

V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。

如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個(gè)球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓?fù)洳蛔兞浚峭負(fù)鋵W(xué)研究的范圍。

歐拉定理_歐拉定理 -經(jīng)濟(jì)學(xué)

歐拉定理指出：如果產(chǎn)品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產(chǎn)的規(guī)模報(bào)酬不變，那么在市場均衡的條件下，所有生產(chǎn)要素實(shí)際所取得的報(bào)酬總量正好等于社會(huì)所生產(chǎn)的總產(chǎn)品。該定理又叫做邊際生產(chǎn)力分配理論，還被稱為產(chǎn)品分配凈盡定理。如上所述，要素的價(jià)格是由于要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費(fèi)者都被動(dòng)地接受市場形成的價(jià)格。

定理推導(dǎo)

在完全競爭的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值等于要素價(jià)格。即:

P*MPL=W (1)

P*MPK=r (2)

由式1和2可得：

MPL=W/P (3)

MPK=r/p(4

P為產(chǎn)品的價(jià)格，W/P和r/P分別表示了勞動(dòng)和資本的實(shí)際報(bào)酬。因?yàn)樵谕耆偁幍臈l件下，單位勞動(dòng)、單位資本的實(shí)際報(bào)酬分別等于勞動(dòng)、資本的邊際產(chǎn)量。假定整個(gè)社會(huì)的勞動(dòng)總量和資本總量為L和K，而社會(huì)總產(chǎn)品為Q,由在市場均衡的條件下，所有生產(chǎn)要素實(shí)際所取得的報(bào)酬總量正好等于社會(huì)所生產(chǎn)的總產(chǎn)品,得:

Q=L*MPL+K*MPK(5)

式5稱為歐拉分配定理。它是由于該定理的證明使用了數(shù)學(xué)上的歐拉定理而得名。

定理證明

假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：Q=f(L.K)(即Q為齊次生產(chǎn)函數(shù)),定義人均資本k=K/L

方法1:根據(jù)齊次生產(chǎn)函數(shù)中不同類型的生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行分類討論

(1)線性齊次生產(chǎn)函數(shù)

n=1,規(guī)模報(bào)酬不變,因此有:

Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)

k為人均資本，Q/L為人均產(chǎn)量，人均產(chǎn)量是人均資本k的函數(shù)。

讓Q對L和K求偏導(dǎo)數(shù),有:

?Q/?L=?[L*g(k)]/?L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g’(k)*(-K/L)=g(k)-k*g’(k)

?Q/?K=?[L*g(k)]/ ?K=L*[?g(k)/?k]=L*[dg(k)/dk]*[?k/?K]=L*g’(k)*(1/L)=g’(k)

由上面兩式，即可得歐拉分配定理：

L*[?Q/?L]+K*[?Q/?K]=L*[g(k)-k*g’(k)]+K*g’(k)=L*g(k)-K*g’(k)+K*g’(k)=L*g(k)=Q

(2)非線性齊次生產(chǎn)函數(shù)

1.當(dāng)n〉1時(shí)，規(guī)模報(bào)酬遞增，如果按照邊際生產(chǎn)力分配，則產(chǎn)品不夠分配給各個(gè)生產(chǎn)要素，即：

L*[?Q/?L]+K*[?Q/?K]>Q

2.當(dāng)n

L*[?Q/?L]+K*[?Q/?K]

方法2：設(shè)一個(gè)一般的齊次生產(chǎn)函數(shù)Q=f(L,K)為n齊次（即n任意的齊次生產(chǎn)函數(shù)，既可以是線性的，也可以是非線性的），則有：

Q=L *g(k)

將該函數(shù)對K，對L求偏導(dǎo)數(shù)，得：

?Q/?K=g’(k)

?Q/?L=ng(k)-kg’(k)

綜合上述兩式，有：

L*(?Q/?L)+K*(?Q/?K)=nL*g(k)=nQ

當(dāng)n=1時(shí)，規(guī)模報(bào)酬不變，該式即為歐拉分配定理

當(dāng)n〉1時(shí)，規(guī)模報(bào)酬遞增，故有：

L*[?Q/?L]+K*[?Q/?K]>Q

當(dāng)n

L*[?Q/?L]+K*[?Q/?K]

實(shí)例

在技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中，歐拉定理屬于一次齊次函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它是說一次齊次函數(shù)的數(shù)值都可以表示為各自變量和因變量對相應(yīng)自變量一階偏導(dǎo)的乘積之和。在理論上，這句話顯得很晦澀，可以用一個(gè)很形象的例子來解釋。

假設(shè)有兩個(gè)人，他們一個(gè)有十個(gè)胡蘿卜的種子，另外一個(gè)有種胡蘿卜的經(jīng)驗(yàn)，他們打算合作，前者出種子，后者出勞力，用十天的時(shí)間來種植胡蘿卜。在這過程中，風(fēng)調(diào)雨順，沒有什么意外，種子全部茁壯成長，擁有種植經(jīng)驗(yàn)的人也盡職盡責(zé)，最后得到的胡蘿卜的產(chǎn)量是最大化的，有十公斤。而每個(gè)種子的在自然狀態(tài)下能產(chǎn)出0.5公斤的胡蘿卜，勞動(dòng)者每一天能辛勞能使胡蘿卜在最終增加0.5公斤，所以最后的產(chǎn)量也是10=0.5*10+0.5*10，即種子(資本)的邊際產(chǎn)出乘以資本量加上勞動(dòng)的邊際產(chǎn)出乘以勞動(dòng)量等于總產(chǎn)出。

上邊是對歐拉定理在經(jīng)濟(jì)學(xué)中一次齊次生產(chǎn)函數(shù)的解釋。但是它又有什么深刻地含義呢?在宏觀經(jīng)濟(jì)中，上述的歐拉定理可以被解釋為收入的分配，也就是在胡蘿卜的例子中，前五公斤的蘿卜是由資本所作出的貢獻(xiàn)，后五公斤是由勞動(dòng)所作出的貢獻(xiàn)，如果社會(huì)這種很理想量化的貢獻(xiàn)來分配產(chǎn)出，那么社會(huì)的分配時(shí)公平也富有效率的，也是能夠自動(dòng)將產(chǎn)出出清的。

這樣看來，一個(gè)社會(huì)的產(chǎn)出如果能用歐拉定理將各種生產(chǎn)要素的貢獻(xiàn)清晰量化，按貢獻(xiàn)分配產(chǎn)出，那么這個(gè)社會(huì)是如此的美好啊，至少每個(gè)勞動(dòng)者，每個(gè)資本擁有者用了生產(chǎn)的動(dòng)力，不會(huì)像人民公社中的按需分配的成員那樣隨處搭便車，產(chǎn)生囚徒困境的窘境，也不會(huì)像如今這樣勞動(dòng)者到處訴苦說自己的貢獻(xiàn)在社會(huì)分配中被低估，而國家有制定最低工資制度，結(jié)果造成在位者的得利，失業(yè)者的痛苦。

也有人一定會(huì)指責(zé)歐拉定理的理想狀態(tài)，肯定會(huì)說，這樣的話整個(gè)社會(huì)的產(chǎn)出就被當(dāng)期消費(fèi)掉了，沒有留下盈余成為資本來在將來擴(kuò)大再生產(chǎn)，我們的后代怎么辦?餓肚子么?其實(shí)這個(gè)問題也是值得考慮的，吃光了的，甚至把種子都吃了，將來當(dāng)然會(huì)一命嗚呼，但是盈余讓勞動(dòng)者，資本所有者們在當(dāng)期享樂，總比把當(dāng)期的盈余變成各種“白宮”好吧?

歐拉定理_歐拉定理 -復(fù)變函數(shù)

定理內(nèi)容

歐拉定理

e^(ix)=cosx+isinx

e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。

它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

將公式里的x換成-x，得到：

e^(-ix)=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2.

這兩個(gè)也叫做歐拉公式。

上帝創(chuàng)造的公式

將e^(ix)=cosx+isinx中的x取作π就得到：

e^(iπ)+1=0.

這個(gè)等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

歐拉定理_歐拉定理 -意義

1．?dāng)?shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律

2．思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。

3．引入拓?fù)鋵W(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。

定理引導(dǎo)我們進(jìn)入一個(gè)新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。

4．提出多面體分類方法：

在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。

除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個(gè)洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€(gè)球面，而能變?yōu)橐粋€(gè)環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f (p)=16+16-32=0，即帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。

5．利用歐拉定理可解決一些實(shí)際問題

如：為什么正多面體只有5種？ 足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等

歐拉定理_歐拉定理 -證明應(yīng)用

利用幾何畫板

逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E

先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。

去掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1

1．去掉一條棱，就減少一個(gè)面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍薄?/p>

2．從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V+F1-E不變，直至只剩下一個(gè)點(diǎn)。

以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個(gè)面，V+F-E =2。

對任意的簡單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。

計(jì)算多面體各面內(nèi)角和

設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖），求所有面內(nèi)角總和Σα

一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。

設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：

Σα = [(n1-2)?180度+(n2-2)?180度+…+(nF-2) ?180度]

= (n1+n2+…+nF -2F) ?180度

=(2E-2F) ?180度 = (E-F) ?360度 （1）

另一方面，在拉開圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和。

設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)?180角，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V-n)?360度，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)?180度。

所以，多面體各面的內(nèi)角總和：

Σα = (V-n)?360度+(n-2)?180度+(n-2)?180度

=（V-2）?360度（2）

由(1)(2)得：(E-F) ?360度=（V-2）?360度

所以 V+F-E=2.

用拓?fù)鋵W(xué)方法證明

嘗試一下用拓?fù)鋵W(xué)方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點(diǎn)數(shù)的歐拉公式。

歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體），假設(shè)F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個(gè)數(shù)，那末

F-E+V=2。

證明 如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：

1．把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

2．去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。

3．對于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

4．如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

5．如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

6．這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

7．因?yàn)樵瓉韴D形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會(huì)是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣。

8．如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

即F′-E′+V′=1

成立，于是歐拉公式：F-E+V=2 得證。

公式應(yīng)用

例：足球表面由五邊形和六邊形的皮革拼成，計(jì)算一共有多少個(gè)這樣的五邊形和六邊形？

答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E+V=2，其中F,E,V分別表示面，棱，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)

設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個(gè)和y個(gè)，那么

面數(shù)F=x+y

棱數(shù)E=(5x+6y)/2（每條棱由兩塊皮子共用）

頂點(diǎn)數(shù)V=(5x+6y)/3（每個(gè)頂點(diǎn)由三塊皮子共用）

由歐拉公式，x+y－(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，

解得x=12。所以，共有12塊黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5=60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的

對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。

所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的

那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2=120條邊，120÷6=20

所以共有20塊白皮子

（或者，每一個(gè)六邊形的六條邊都與其它的三個(gè)六邊形的三條邊和三個(gè)五邊形的三條邊連接；每一個(gè)五邊形的五條邊都與其它的五個(gè)六邊形的五條邊連接

所以，五邊形的個(gè)數(shù)x=3y/5。

之前求得x=12，所以y=20）

歐拉定理_歐拉定理 -運(yùn)用方法

分式

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0

當(dāng)r=2時(shí)值為1

當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c

當(dāng)r=4時(shí)值為a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

r=5時(shí)值為a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c）+ca(c+a)+abc

一般的，當(dāng)r取正整數(shù)n時(shí)，有a^n/(a-b)(a-c)+b^n/(b-c)(b-a)+c^n/(c-a)(c-b) =∑ (a^i)*(b^j)*(c^k)，

其中i，j，k是非負(fù)整數(shù)，且i+j+k=n。

復(fù)數(shù)

由e^iθ=cosθ+isinθ，得到：

sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i

cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2

三角形

設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

d^2=R^2-2Rr

多面體

設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則

v-e+f=2-2p

p為歐拉示性數(shù)，例如

p=0 的多面體叫第零類多面體

p=1 的多面體叫第一類多面體

多邊形

設(shè)一個(gè)二維幾何圖形的頂點(diǎn)數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：

V+Ar-B=1

(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)定理內(nèi)容

在同一個(gè)三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點(diǎn)圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。

其實(shí)歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個(gè)常用的。

歐拉定理 若(a,n)=1，則aφ(n)≡1 (mod n) 其中n是正整數(shù)，φ(n)是小于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),稱歐拉函數(shù)。 證：設(shè)R={x1,x2,...,xφ(n)}是由小于n且與n互素的全體數(shù)組成的集合，a

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