愛華網(wǎng)用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想。在平面解析幾何的教學過程中，教師應(yīng)幫助學生將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題化為代數(shù)問題，處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想要貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。
平面解析幾何_平面解析幾何 -平面解析幾何
平面解析幾何包含以下幾部分平面解析幾何_平面解析幾何 -一 直角坐標
1.1 有向線段1.2 直線上的點的直角坐標
1.3 幾個基本公式
1.4平面上的點的直角坐標
1.5 射影的基本原理
1.6 幾個基本公式
平面解析幾何_平面解析幾何 -二 曲線與方程
2.1曲線的直角坐標方程的定義2.2 已知曲線，求它的方程
2.3 已知曲線的方程，描繪曲線
2.4 曲線的交點
平面解析幾何_平面解析幾何 -三 直線
3.1 直線的傾斜角和斜率3.2 直線的方程
Y=kx+b
3.3 直線到點的有向距離
3.4 二元一次不等式表示的平面區(qū)域
3.5 兩條直線的相關(guān)位置
3.6 二元二方程表示兩條直線的條件
3.7 三條直線的相關(guān)位置
3.8 直線系
平面解析幾何_平面解析幾何 -四 圓
4.1 圓的定義4.2 圓的方程
4.3 點和圓的相關(guān)位置
4.4 圓的切線
4.5 點關(guān)于圓的切點弦與極線
4.6 共軸圓系
4.7 平面上的反演變換
圓的基本知識
圓
圓的定義
幾何說：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。
軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。
集合說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。
概括
把一個圓按一條直線對折過去，并且完全重合，展開再換個方向?qū)φ?，折出后，這些折痕相交的一個點，叫做圓心，用字母O表示。連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，用字母r表示。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母d表示。圓心決定圓的位置，半徑和直徑?jīng)Q定圓的大小。在同一個圓或等圓中，半徑都相等，直徑也都相等，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2。
用字母表示是：d=2r或r=d/2
圓的相關(guān)量
圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)的小數(shù)通常用π表示，π=3.1415926535...，在實際應(yīng)用中我們只取它的近似值，即π≈3.14（在奧數(shù)中一般π只取3、3.1416或3.14159）
圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc)。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord)。圓中最長的弦為直徑(diameter)。
圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
內(nèi)心和外心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。
扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。
【圓和圓的相關(guān)量字母表示方法】
圓―⊙ 半徑―r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母） 弧―⌒ 直徑―d
扇形弧長/圓錐母線―l 周長―C 面積―S
圓和其他圖形的位置關(guān)系
圓和點的位置關(guān)系：以點P與圓O的為例（設(shè)P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O內(nèi)，0≤PO
直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO>r；AB與⊙O相切，PO=r；AB與⊙O相交，0≤PO
兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。
⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理
①一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；
②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）
④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的直線）
⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。
（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。
（5）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。
（6）圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。
（7）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。
（8）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。
（9）圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。
有關(guān)切線的性質(zhì)和定理
圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。
切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于過切點的半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。
切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。
〖有關(guān)圓的計算公式〗
1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr^2; 3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=(nπr^2)/360=lr/2(l為扇形的弧長）5.圓錐側(cè)面積S=πrl 6.圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角n=360r/l(r是底面半徑,l是母線長)
切割線定理 圓的一條切線與一條割線相交于p點，切線交圓于C點，割線交圓于A B兩點 ， 則有pC^2=pA·pB
割線定理 與切割線定理相似 兩條割線交于p點，割線m交圓于A1 B1兩點，割線n交圓于A2 B2兩點
則pA1·pB1=pA2·pB2
圓的解析幾何性質(zhì)和定理
圓的解析幾何方程
圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圓的一般方程：把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0）。其中和標準方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a^2+b^2-r^2。該圓圓心坐標為（-D/2,-E/2)，半徑r=0.5√D^2+E^2-4F。
圓的參數(shù)方程：以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ為參數(shù))
圓的端點式：若已知兩點A(a1,b1),B(a2,b2)，則以線段AB為直徑的圓的方程為 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
經(jīng)過圓 x^2+y^2=r^2上一點M（a0，b0）的切線方程為 a0*x+b0*y=r^2
在圓(x^2+y^2=r^2)外一點M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0*x+b0*y=r^2
圓與直線的位置關(guān)系判斷
平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關(guān)于x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關(guān)系如下：
如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。
如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。
如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。
2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，并且規(guī)定x1
當x=-C/Ax2時，直線與圓相離；
當x1
半徑r，直徑d
在直角坐標系中，圓的解析式為：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=> 圓心坐標為(-D/2,-E/2)
其實只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1
就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2)
這可以作為一個結(jié)論運用的
且r=根號（圓心坐標的平方和-F）
圓知識點總結(jié)
定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。
（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。
圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心
（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。
（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。
（4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。
注：圓心一般用字母O表示
直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。
圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。
圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。
圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3.14。
直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr²，用字母S表示。
一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
周長計算公式
1.、已知直徑：C=πd
2、已知半徑：C=2πr
3、已知周長：D=c/π
4、圓周長的一半:1/2周長(曲線)
5、半圓的周長：1/2周長+直徑（π÷2+1）
面積計算公式：
1、已知半徑：S=πr²
2、已知直徑：S=π(d/2)²;
3、已知周長：S=π(c/2π)²;
平面解析幾何_平面解析幾何 -五 橢圓
5.1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.
第二定義：
5.2 用平面截直圓錐面可以得到橢圓
5.3橢圓的標準方程
5.4 橢圓的基本性質(zhì)及有關(guān)概念
5.5 點和橢圓的相關(guān)位置
5.6 橢圓的切線與法線
5.7 點關(guān)于橢圓的切點弦與極線
5.8 橢圓的面積
平面解析幾何_平面解析幾何 -六 雙曲線
6.1 雙曲線的定義6.2 用平面截直圓錐面可以得到雙曲線
6.3 雙曲線的標準方程
6.4 雙曲線的基本性質(zhì)及有關(guān)概念
6.5等軸雙曲線
6.6共軛雙曲線
6.7 點和雙曲線的相關(guān)位置
6.8 雙曲線的切線與法線
6.9 點關(guān)于雙曲線的切點弦與極線
平面解析幾何_平面解析幾何 -七 拋物線
7.1 拋物線的定義7.2 用平面截直圓錐面可以得到拋物線
7.3 拋物線的標準方程
7.4 拋物線的基本性質(zhì)及有關(guān)概念
7.5 點和拋物線的相關(guān)位置
7.6 拋物線的切線與法線
7.7 點關(guān)于拋物線的切點弦與極線
7.8 拋物線弓形的面積
平面解析幾何_平面解析幾何 -八 坐標變換·二次曲線的一般理論
8.1 坐標變換的概念
8.2 坐標軸的平移
8.3 利用平移化簡曲線方程
8.4圓錐曲線的更一般的標準方程
8.5 坐標軸的旋轉(zhuǎn)
8.6 坐標變換的一般公式
8.7 曲線的分類
8.8 二次曲線在直角坐標變換下的不變量
8.9二元二次方程的曲線
8.10 二次曲線方程的化簡
8.11 確定一條二次曲線的條件
8.12 二次曲線系
平面解析幾何_平面解析幾何 -九 參數(shù)方程
定義
在給定的平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)x=f(t),y=φ(t)――(1)；且對于t的每一個允許值，由方程組(1)所確定的點m(x，y)都在這條曲線上，那么方程組(1)稱為這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)稱為參變數(shù)，簡稱參數(shù)。類似地，也有曲線的極坐標參數(shù)方程ρ=f(t),θ=g(t)。(2)圓的參數(shù)方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (θ屬于[0，2π） ) (a,b)為圓心坐標 r為圓半徑 θ為參數(shù) (x,y)為經(jīng)過點的坐標
橢圓的參數(shù)方程 x=a cosθ y=b sinθ (θ屬于[0，2π） ) a為長半軸 長 b為短半軸長 θ為參數(shù)
雙曲線的參數(shù)方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a為實半軸長 b為虛半軸長 θ為參數(shù)
拋物線的參數(shù)方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦點到準線的距離 t為參數(shù)
直線的參數(shù)方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直線經(jīng)過(x',y'),且傾斜角為a,t為參數(shù).
或者x=x'+ut， y=y'+vt (t屬于R) x', y'直線經(jīng)過定點(x',y'),u，v表示直線的方向 向量d=（u，v）
應(yīng)用
在柯西中值定理的證明中，也運用到了參數(shù)方程。 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足： (1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)； (2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導； (3)對任一x∈(a，b)，F(xiàn)'(x)≠0， 那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ζ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立?？挛骱啙嵍鴩栏竦刈C明了微積分學基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。=-c>或x=-c>，那么：>。>。>愛華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/8103440103/98253.html
