愛華網(wǎng)在集合論這一數(shù)學(xué)分支里，阿列夫數(shù)，又稱阿列夫數(shù)是一連串超窮基數(shù)。其標(biāo)記符號為？？？（由希伯來字母？？？？？？演變而來）加角標(biāo)表示可數(shù)集（包括自然數(shù)）的勢標(biāo)記為？？？，下一個(gè)較大的勢為？？？，再下一個(gè)是，以此類推。一直繼續(xù)下來，便可以對任一序數(shù)？α？定義一個(gè)基數(shù)。阿列夫數(shù)用來衡量集合的大小，而無限只是定義成實(shí)數(shù)線上的最大的極限或擴(kuò)展的實(shí)軸上的端點(diǎn)。某些阿列夫數(shù)會大于另一些阿列夫數(shù)，而無限只是無限而已。
在了解阿列夫零前，先看一個(gè)關(guān)于無窮大悖論的故事
基塔：“無窮飯店”是我們銀河系中心的一家巨大的旅館。它擁有無窮多個(gè)房間，這些房間通過黑洞伸展到更高級的時(shí)空領(lǐng)域。房間號從1開始，無限制地排下去。
基塔：一天，這個(gè)旅店的客房全住進(jìn)了客人，這時(shí)候來了一位飛碟（不明飛行物）的駕駛員，他正要去別的星系。
基塔：盡管已經(jīng)沒有空房間了，可是旅店老板仍然給駕駛員找到了一個(gè)房間。他不過是把原來住在各個(gè)房間里的房客都一一移到高一號的房間。于是左邊第1號房間就空出來給該駕駛員住。
基塔：第二天又來了五對夫婦渡蜜月。無窮飯店能不能接待他們？可以，老板只不過把每個(gè)客人都一一移到高5號的房間中去，空出的1到5號房就給這5對夫婦
基塔：周末，又有無窮多個(gè)泡泡糖推銷員來到這家旅館開會。
赫爾曼：我能夠理解無窮飯店可以怎樣接待有限數(shù)量的新到者，可是它怎么能夠再給無窮多旅客找到新房間呢？
基塔：很容易，我親愛的赫爾曼。老板只要把每個(gè)房間里的客人移到原來號碼兩倍的房間中去就行了。
赫爾曼：對了！這下每個(gè)房間里的人都住到雙號房中，余下的所有單號房間有無窮多個(gè)，它們空出來給泡泡糖商人住！
關(guān)于無窮大還有很多悖論。計(jì)數(shù)用的數(shù)是無窮大等級中最低一級的無窮數(shù)。在整個(gè)宇宙中的點(diǎn)數(shù)是第二級無窮大數(shù)，第三級無窮大數(shù)比這要多得多！
德國數(shù)學(xué)家喬治?康妥發(fā)現(xiàn)了無窮大的這種等級，他把這種新型的奇異等級稱為阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。關(guān)于阿列夫數(shù)有很多深刻的神秘性，解決它們是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最激動(dòng)人心的挑戰(zhàn)之一。
如我們所知，任何一個(gè)有限集都不能與它的一個(gè)真子集建立一一對應(yīng)的關(guān)系。對于無窮集這―點(diǎn)就不成立了?？瓷先ミ@樣就違反了整體大于局部這一古老法則。確實(shí)，一個(gè)無窮集可以定義為能夠與它的一個(gè)真子集一一對應(yīng)的集。
無窮飯店的老板首先表明了由一切計(jì)數(shù)用的數(shù)所組成的集合（這是喬治?康妥稱為阿列夫零的集合）可以與它的某一個(gè)真子集一一對應(yīng)，并余下一個(gè)元素，或者五個(gè)元素。顯然，這一程序可以變化，使得從一個(gè)阿列夫零集中減去它的一個(gè)子集，這個(gè)子集也是阿列夫零集，從其余下的數(shù)中就會得到所要的任何有限個(gè)數(shù)量的元素。
還有一個(gè)辦法可以使這一減法形象化，想象有兩根無限長的測量棒并排放在桌子上，把兩棍棒的零端對齊放在桌子中心。兩根棒都刻了線，按厘米計(jì)數(shù)。兩根棒在右端延伸到無窮遠(yuǎn)，所有數(shù)都一一對應(yīng)：0―0、1―1、2―2等等?，F(xiàn)在想象把一根棒向右移動(dòng)n厘米。移動(dòng)以后，那棍棒上的所有數(shù)仍與不動(dòng)的棒上的數(shù)一一對應(yīng)。如果那根棒移動(dòng)了3厘米，則棒上教的對應(yīng)就是0―3、1―4、2―5、……。移動(dòng)的n厘米代表兩棍棒長之差。不過，兩根棒的長度仍然是阿列夫零厘米長。由于我們可以讓二者之差n為我們所要的任何一個(gè)值，很明顯用阿列夫零減阿列夫零就是一個(gè)不確定的運(yùn)算。
飯店老板最后施的策略就是打開無窮多個(gè)房間。這表明如何用阿列夫零減阿列夫零得到阿列夫零。讓每一個(gè)數(shù)與每一個(gè)偶數(shù)一一對應(yīng)，則余下的是一個(gè)由全部奇數(shù)所構(gòu)成的阿列夫零集。
由實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合形成更高一級的無窮集，康妥稱之為阿列夫1。康妥的輝煌成就之一就是著名的“對角線證明”，它說的是阿列夫1的元素不可能與阿列夫0的元素構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。阿列夫1也就是在一條線段上全部點(diǎn)的數(shù)目。康妥證明了這些點(diǎn)怎樣能與一條無限直線上的點(diǎn)一一對應(yīng)，怎樣與一方塊上的點(diǎn)、與一無限大平面上的點(diǎn)；與一立方體中的點(diǎn)、與無限大空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)，如此下去還可以與超立方體或更高維空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)。阿列夫1又稱為“連續(xù)統(tǒng)的勢”。
阿列夫2是一切可能的數(shù)學(xué)函數(shù)――連續(xù)函數(shù)和不連續(xù)函數(shù)的數(shù)目。因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可畫為一曲線，我們把“曲線”取廣義以包括不連續(xù)曲線，則阿列夫2就是一切可能的曲線數(shù)目。同樣，如果我們所指的曲線是在一張郵票上，或者在一個(gè)無窮空間里，或者在一個(gè)無窮超空間里的全部曲線，這一切都沒有問題，仍是阿列夫2?？低走€證明了阿列夫2不可能與阿列夫1一一對應(yīng)。
當(dāng)一個(gè)阿列夫數(shù)被升級為它本身的冪，則產(chǎn)生一個(gè)更高級的阿列夫數(shù)，它不能與產(chǎn)生它的阿列夫數(shù)一一對應(yīng)。因此，阿列夫數(shù)的階梯向上是無窮的。
在阿列夫數(shù)之間有沒有什么超限數(shù)？比如說，有沒有一個(gè)數(shù)比阿列夫零大、比阿列夫1??？康妥確信不存在這種數(shù)。他的猜測成為著名的廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。
1938年，哥德爾證明標(biāo)準(zhǔn)集合論與不存在中介的超限數(shù)假設(shè)是一致的。1963年，保羅?科恩證明，如果人們假定存在中介數(shù)，這也不與集合論矛盾。簡言之，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是由表明它是“不可判定的”來判定的。
科恩的研究結(jié)果是：集合論現(xiàn)在分為康妥型和非康妥型的?？低仔图险撌羌僭O(shè)在阿列夫數(shù)之間沒有中介數(shù)。非康妥型集合論是假定有無限多個(gè)中介數(shù)。情況類似于幾何學(xué)中，發(fā)現(xiàn)平行線假設(shè)不能被證明后，幾何學(xué)分成了歐氏幾何和非歐幾何一樣。
希望學(xué)習(xí)更多關(guān)于這些神秘的超限數(shù)知識的學(xué)生可以閱讀愛德華?卡斯納和詹姆斯?紐曼著的《數(shù)學(xué)與想象力》第二章“古格爾之后”和《科學(xué)美國人》1966年三月號數(shù)學(xué)游戲部分
阿列夫(aleph)，是希伯來文字母表的第一個(gè)字母。
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