在不等式應(yīng)用中，經(jīng)常涉及重量、面積、體積等，也涉及某些數(shù)學(xué)對(duì)象（如實(shí)數(shù)、向量）的大小或絕對(duì)值。它們都是通過非負(fù)數(shù)來度量的。掌握解絕對(duì)值不等式等不等式的基本思路，會(huì)用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式。解絕對(duì)值不等式的基本思想:解絕對(duì)值不等式的基本思想是去絕對(duì)值，常采用的方法是討論符號(hào)和平方。注意利用三角不等式證明含有絕對(duì)值的問題。并指出等號(hào)條件。含絕對(duì)值的不等式性質(zhì)（雙向不等式），左邊在時(shí)取得等號(hào)，右邊在時(shí)取得等號(hào)。常用的方法是：（1）分類討論；（2）平方；（3）利用絕。如：|a-b|表示a-b與原點(diǎn)的距離，也表示a與b之間的距離。

絕對(duì)值不等式_絕對(duì)值不等式 -性質(zhì)

|a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。

兩個(gè)重要性質(zhì)：

1.|ab| = |a||b|

|a/b| = |a|/|b| （b≠0）

2.|a||a|

||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng) ab≤0 時(shí)左邊等號(hào)成立，ab≥0 時(shí)右邊等號(hào)成立。

另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|

| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

絕對(duì)值不等式_絕對(duì)值不等式 -相關(guān)公式

絕對(duì)值重要不等式推導(dǎo)過程

我們知道

|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x

因此，有：

-|a|≤a≤|a| ......①

-|b|≤b≤|b| ......②

-|b|≤-b≤|b|......③

由①+②得：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b| ......④

由①+③得：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|

即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤

另：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|

由④知：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

由⑧，⑨得：

| |a|-|b| |≤|a-b|......?

綜合④⑤⑩?得到有關(guān) 絕對(duì)值(absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

要注意等號(hào)成立的條件（特別是求最值），即：

|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

解法

解決與絕對(duì)值有關(guān)的問題（如解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值方程，研究含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)等等），其關(guān)鍵往往在于去掉絕對(duì)值符號(hào)。而去掉絕對(duì)值符號(hào)的基本方法有二。

以下，具體說說絕對(duì)值不等式的解法：

其一為平方，所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2=9，絕對(duì)值符號(hào)沒有了！

其二為討論，所謂討論，即x≥0時(shí)，|x|=x ；x

說到討論，就是令絕對(duì)值中的式子等于0，分出x的段，然后根據(jù)每段討論得出的x值，取交集，綜上所述即可。

其三為數(shù)形結(jié)合法，即在數(shù)軸上將各點(diǎn)畫出，將數(shù)轉(zhuǎn)換為長度的概念求解。

絕對(duì)值不等式_絕對(duì)值不等式 -應(yīng)用

解不等式|x-x2-2|>x2-3x-4

解∵|x-x2-2|=|x2-x+2|

而x2-x+2=(x-1/4)2+7/4>0

所以|x-x2-2|中的絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉.

故原不等式等價(jià)于x2-x+2>x2-3x-4

解得：x>-3

∴原不等式解集為{x>-3}

絕對(duì)值不等式_絕對(duì)值不等式 -解法

解決與絕對(duì)值有關(guān)的問題（如解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值方程，研究含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)等等），其關(guān)鍵往往在于去掉絕對(duì)值的符號(hào)。

而去掉絕對(duì)值符號(hào)的基本方法有二：其一為平方，其二為討論。所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2;=9，絕對(duì)值符號(hào)沒有了！所謂討論，即x≥0時(shí)，|x|=x ；x

不等式兩邊可不可以同時(shí)平方呢？一般來說，有點(diǎn)問題。比如5>3，平方后，5^2;>3^2;，但1>-2，平方后，1^2;

事實(shí)上，本質(zhì)原因在于函數(shù)y=x^2;在R上不單調(diào)。但我們知道，y=x^2;在R+上是單調(diào)遞增的，因此不等式兩邊都是非負(fù)時(shí)，同時(shí)平方，不等號(hào)的方向不變，這是可以的。這里說到的單調(diào)性的問題，是高一,二數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，現(xiàn)在不明白可以跳過，到時(shí)候可一定要用心聽! 有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也應(yīng)該明白，對(duì)兩個(gè)非負(fù)數(shù)來說，大的那個(gè)數(shù)，它的平方也相應(yīng)會(huì)大一些;反過來，平方大一些的數(shù)，這個(gè)數(shù)本來也會(huì)大一些。比如|2x-1|≥1，兩邊同時(shí)平方，可得(2x-1)^2;≥1，整理得4x^2;-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1。

絕對(duì)值不等式_絕對(duì)值不等式 -高考要求

1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

2．掌握解絕對(duì)值不等式等不等式的基本思路，會(huì)用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；

3、．理解絕對(duì)值不等式的定義，掌握絕對(duì)值不等式的定理和推論，會(huì)用絕對(duì)值不等式的定理和推論解決絕對(duì)值不等式的有關(guān)證明問題

4、解絕對(duì)值不等式的基本途徑是去掉絕對(duì)值符號(hào)，常用的方法是：（1）分類討論；（2）平方；（3）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，如

等

5、證明絕對(duì)值不等式的基本思想和基本方法分別是轉(zhuǎn)化思想和比較法，分析法，換元法，綜合法，放縮法，反證法等等

絕對(duì)值不等式_絕對(duì)值不等式 -知識(shí)歸納

1．解絕對(duì)值不等式的基本思想:解絕對(duì)值不等式的基本思想是去絕對(duì)值，常采用的方法是討論符號(hào)和平方

2．注意利用三角不等式證明含有絕對(duì)值的問題

||a|─|b||?|a+b|?|a|+|b|;||a|─|b||?|a─b|?|a|+|b|;并指出等號(hào)條件

3．(1)|f(x)|

(2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)

（3）含絕對(duì)值的不等式性質(zhì)（雙向不等式）

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