愛(ài)華網(wǎng)在泛函分析中，卷積、旋積或摺積（英語(yǔ)：Convolution）是通過(guò)兩個(gè)函數(shù)f和g生成第三個(gè)函數(shù)的一種數(shù)學(xué)算子，表征函數(shù)f與經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)和平移的g的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個(gè)函數(shù)看作區(qū)間的指示函數(shù)，卷積還可以被看作是“滑動(dòng)平均”的推廣。
卷積運(yùn)算_卷積 -簡(jiǎn)介
褶積(又名卷積)和反褶積(又名去卷積)是一種積分變換的數(shù)學(xué)方法,在許多方面得到了廣泛應(yīng)用。用褶積解決試井解釋中的問(wèn)題,早就取得了很好成果;而反褶積,直到最近,Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解決了其計(jì)算方法上的穩(wěn)定性問(wèn)題,使反褶積方法很快引起了試井界的廣泛注意。有專(zhuān)家認(rèn)為,反褶積的應(yīng)用是試井解釋方法發(fā)展史上的又一次重大飛躍。他們預(yù)言,隨著測(cè)試新工具和新技術(shù)的增加和應(yīng)用,以及與其它專(zhuān)業(yè)研究成果的更緊密結(jié)合,試井在油氣藏描述中的作用和重要性必將不斷增大。
卷積運(yùn)算_卷積 -基本內(nèi)涵
簡(jiǎn)單定義：卷積是分析數(shù)學(xué)中一種重要的運(yùn)算。
設(shè):f(x),g(x)是R1上的兩個(gè)可積函數(shù)，作積分：
卷積
可以證明，關(guān)于幾乎所有的實(shí)數(shù)x，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個(gè)積分就定義了一個(gè)新函數(shù)h(x)，稱(chēng)為函數(shù)f與g的卷積，記為h(x)=(f*g)(x)。
容易驗(yàn)證，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍為可積函數(shù)。這就是說(shuō)，把卷積代替乘法，L1（R1）空間是一個(gè)代數(shù)，甚至是巴拿赫代數(shù)。
卷積與傅里葉變換有著密切的關(guān)系。利用一點(diǎn)性質(zhì)，即兩函數(shù)的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問(wèn)題的處理得到簡(jiǎn)化。
由卷積得到的函數(shù)f*g一般要比f(wàn)和g都光滑。特別當(dāng)g為具有緊致集的光滑函數(shù)，f為局部可積時(shí)，它們的卷積f * g也是光滑函數(shù)。利用這一性質(zhì)，對(duì)于任意的可積函數(shù)f，都可以簡(jiǎn)單地構(gòu)造出一列逼近于f的光滑函數(shù)列fs，這種方法稱(chēng)為函數(shù)的光滑化或正則化。
卷積的概念還可以推廣到數(shù)列、測(cè)度以及廣義函數(shù)上去。
卷積運(yùn)算_卷積 -定義
卷積是兩個(gè)變量在某范圍內(nèi)相乘后求和的結(jié)果。如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結(jié)果
卷積
，
其中星號(hào)*表示卷積。當(dāng)時(shí)序n=0時(shí)，序列h(-i)是h(i)的時(shí)序i取反的結(jié)果；時(shí)序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180度，所以這種相乘后求和的計(jì)算法稱(chēng)為卷積和，簡(jiǎn)稱(chēng)卷積。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對(duì)應(yīng)不同的卷積結(jié)果。
如果卷積的變量是函數(shù)x(t)和h(t)，則卷積的計(jì)算變?yōu)?/p>
卷積
，
其中p是積分變量，積分也是求和，t是使函數(shù)h(-p)位移的量，星號(hào)*表示卷積。
參考《數(shù)字信號(hào)處理》楊毅明著，p.55、p.188、p.264，機(jī)械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。
卷積運(yùn)算_卷積 -性質(zhì)
perfect spaces卷積混響
各
種卷積算子都滿(mǎn)足下列性質(zhì)：
交換律 結(jié)合律 分配律 數(shù)乘結(jié)合律 其中a為任意實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）。
微分定理 其中Df表示f的微分，如果在離散域中則是指差分算子，包括前向差分與后向差分兩種。
卷積運(yùn)算_卷積 -卷積定理
卷積定理指出，函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積。即，一個(gè)域中的卷積相當(dāng)于另一個(gè)域中的乘積，例如時(shí)域中的卷積就對(duì)應(yīng)于頻域中的乘積。
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
其中F表示的是傅里葉變換。
這一定理對(duì)拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見(jiàn)Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調(diào)和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。
利用卷積定理可以簡(jiǎn)化卷積的運(yùn)算量。對(duì)于長(zhǎng)度為n的序列，按照卷積的定義進(jìn)行計(jì)算，需要做2n- 1組對(duì)位乘法，其計(jì)算復(fù)雜度為；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對(duì)位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之后，總的計(jì)算復(fù)雜度為。這一結(jié)果可以在快速乘法計(jì)算中得到應(yīng)用。
卷積運(yùn)算_卷積 -群上卷積
卷積與相關(guān)分析
若G是有某m測(cè)度的群（例如豪斯多夫空間上Harr測(cè)度下局部緊致的拓?fù)淙海瑢?duì)于G上m-勒貝格可積的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)函數(shù)f和g，可定義它們的卷積：
對(duì)于這些群上定義的卷積同樣可以給出諸如卷積定理等性質(zhì)，但是這需要對(duì)這些群的表示理論以及調(diào)和分析的Peter-Weyl定理。
卷積運(yùn)算_卷積 -應(yīng)用
卷積在工程和數(shù)學(xué)上都有很多應(yīng)用：
統(tǒng)計(jì)學(xué)中，加權(quán)的滑動(dòng)平均是一種卷積。概率論中，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立變量X與Y的和的概率密度函數(shù)是X與Y的概率密度函數(shù)的卷積。聲學(xué)中，回聲可以用源聲與一個(gè)反映各種反射效應(yīng)的函數(shù)的卷積表示。電子工程與信號(hào)處理中，任一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出都可以通過(guò)將輸入信號(hào)與系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)的沖激響應(yīng)）做卷積獲得。物理學(xué)中，任何一個(gè)線性系統(tǒng)（符合疊加原理）都存在卷積。
卷積應(yīng)用
介紹一個(gè)實(shí)際的概率學(xué)應(yīng)用例子。假設(shè)需求到位時(shí)間的到達(dá)率為poisson(λ)分布，需求的大小的分布函數(shù)為D（.)，則單位時(shí)間的需求量的分布函數(shù)為 F(x)：
其中 D(k)(x)為k階卷積。
卷積是一種線性運(yùn)算,圖像處理中常見(jiàn)的mask運(yùn)算都是卷積，廣泛應(yīng)用于圖像濾波。castlman的書(shū)對(duì)卷積講得很詳細(xì)。
高斯變換就是用高斯函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行卷積。高斯算子可以直接從離散高斯函數(shù)得到：
for(i=0; i
{
for(j=0; j
{
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum += g[i*N+j];
}
}
再除以 sum 得到歸一化算子
N是濾波器的大小，delta自選
首先，在提到卷積之前，必須提到卷積出現(xiàn)的背景。卷積是在信號(hào)與線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上或背景中出現(xiàn)的，脫離這個(gè)背景單獨(dú)談卷積是沒(méi)有任何意義的，除了那個(gè)所謂褶反公式上的數(shù)學(xué)意義和積分（或求和，離散情況下）。
信號(hào)與線性系統(tǒng)，討論的就是信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)以后發(fā)生的變化（就是輸入 輸出 和所經(jīng)過(guò)的所謂系統(tǒng)，這三者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系）。所謂線性系統(tǒng)的含義，就是，這個(gè)所謂的系統(tǒng)，帶來(lái)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的數(shù)學(xué)關(guān)系式之間是線性的運(yùn)算關(guān)系。
因此，實(shí)際上，都是要根據(jù)我們需要待處理的信號(hào)形式，來(lái)設(shè)計(jì)所謂的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，那么這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號(hào)，在數(shù)學(xué)上的形式就是所謂的卷積關(guān)系。
卷積關(guān)系最重要的一種情況，就是在信號(hào)與線性系統(tǒng)或數(shù)字信號(hào)處理中的卷積定理。利用該定理，可以將時(shí)間域或空間域中的卷積運(yùn)算等價(jià)為頻率域的相乘運(yùn)算，從而利用FFT等快速算法，實(shí)現(xiàn)有效的計(jì)算，節(jié)省運(yùn)算代價(jià)。
C++語(yǔ)言代碼：
卷積運(yùn)算_卷積 -地震中的應(yīng)用
地震勘探中,在地表激發(fā)點(diǎn)激發(fā)的地震子波(seismic wavelet)向地下傳播,當(dāng)遇到地下波阻抗界面時(shí),一部分能量就會(huì)作為反射地震波向上反射回地表,被地面的傳感器接收,隨著地震波不斷向下傳播、反射、接收,就會(huì)記錄一系列時(shí)間延遲的地震波(大地濾波后的地震子波),稱(chēng)為地震記錄
.
這一過(guò)程或地震記錄可以用數(shù)學(xué)模型描述.如果假設(shè)地下介質(zhì)為古皮奧(Goupilaud)的水平層狀介質(zhì)模型,子波為雷克(Ricker)子波,地震記錄可以看作是由震源子波與地下反射率函數(shù)、多次反射、儀器等諸多因素的相褶
公式
積的過(guò)程,令x(t),w(t)和n(t)分別表示地震記錄,地震子波及噪聲,褶積過(guò)程數(shù)學(xué)模型描述為
：
長(zhǎng)期以來(lái),褶積模型廣泛用于描述地震信號(hào).顧名思義,反褶積就是褶積的逆過(guò)程,從地震記錄x(t)中恢復(fù)出反射率函數(shù)r(t)
.
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