愛華網(wǎng)正定矩陣是數(shù)學(xué)計算的一種，正定矩陣在相似變換下可化為標(biāo)準(zhǔn)型，即單位矩陣。計算方式設(shè)M是n階實系數(shù)對稱矩陣，如果對任何非零向量X=(x_1,...x_n)都有XMX^t>0，就稱M正定。在代數(shù)中，正定矩陣(英文：positive definite matrix)有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數(shù)中，正定矩陣的性質(zhì)類似復(fù)數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應(yīng)的線性算子是對稱正定雙線性形式（復(fù)域中則對應(yīng)埃爾米特正定雙線性形式）。一個n×n的實對稱矩陣M是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的非零實系數(shù)向量z，都有zTMz>0。其中zT表示z的轉(zhuǎn)置。對于復(fù)數(shù)的情況，定義則為：一個n×n的埃爾米特矩陣(或厄米矩陣)M是正定的當(dāng)且僅當(dāng)對于每個非零的復(fù)向量z，都有z*Mz>0。其中z*表示z的共軛轉(zhuǎn)置。由于M是埃爾米特矩陣，經(jīng)計算可知，對于任意的復(fù)向量z，z*Mz必然是實數(shù)，從而可以與0比較大小。因此這個定義是自洽的。
正定矩陣_正定矩陣 -基本定義
廣義定義
正定矩陣
設(shè)M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有z'Mz>0，其中z'表示z的轉(zhuǎn)置，就稱M正定矩陣。
例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數(shù)。aE+B在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）
狹義定義
一個n階的實對稱矩陣M是正定的當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的非零實系數(shù)向量z，都有z’Mz>0。其中z'’表示z的轉(zhuǎn)置。
正定矩陣_正定矩陣 -特征及性質(zhì)
正定矩陣在合同變換下可化為標(biāo)準(zhǔn)型， 即對角矩陣。
所有特征值大于零的對稱矩陣（或厄米矩陣）也是正定矩陣。
判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正。
判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。
判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同于單位陣。
正定矩陣的性質(zhì)：
1.正定矩陣一定是非奇異的。奇異矩陣的定義：若n階矩陣A為奇異陣，則其的行列式為零，即 |A|=0。
2.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。
3.若A為n階對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣L，使得A=L*L′，此分解式稱為 正定矩陣的喬列斯基（Cholesky）分解。
4.若A為n階正定矩陣，則A為n階可逆矩陣。
愛華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/8103350103/68418.html
