愛華網(wǎng)微分流形（differentiable manifold），也稱為光滑流形（smooth manifold），是拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)中一類重要的空間，是帶有微分結(jié)構(gòu)的拓?fù)淞餍巍?微分流形是微分幾何與微分拓?fù)涞闹饕芯繉ο?，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數(shù)，而不必有距離和度量的概念。
微分流形_微分流形 -概念
參見條目:流形
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具體說來,設(shè)M是一個豪斯多夫拓?fù)淇臻g。U是M的開集,h是U到n維歐氏空間R的開集(常取為單位球內(nèi)部或立方體內(nèi)部等等)上的一個同胚映射,則(U，h)稱為一個坐標(biāo)圖,U稱為其中點(diǎn)的一個坐標(biāo)鄰域。設(shè)M為開集系{Uα}所復(fù)蓋,則(Uα,hα)的集合稱為M的一個坐標(biāo)圖冊。如果M的坐標(biāo)圖冊中任何兩個坐標(biāo)圖都是C相關(guān)的,則稱M有C微分結(jié)構(gòu),又稱M為n維的C微分流形。C相關(guān)是指流形M上同一點(diǎn)的不同坐標(biāo)之間的變換關(guān)系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常記號C表示解析函數(shù)。具體來說, 如p∈Uα∩Uβ,(x,)(x)(i=1,…,n)分別是p在兩個坐標(biāo)圖(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐標(biāo),即那么它們之間的關(guān)系式可表為而?關(guān)于x(j=1,2，…，n)具有直到k次的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。k=0時,M是拓?fù)淞餍?k>0時,就是微分流形;k=ω時，是解析流形。C流形又常稱為光滑流形。如果微分流形M是一個仿緊或緊致拓?fù)淇臻g，則稱M為仿緊或緊致微分流形。如果可選取坐標(biāo)圖冊使微分流形M中各個坐標(biāo)鄰域之間的坐標(biāo)變換的雅可比行列式都大于零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。
同一拓?fù)淞餍慰梢跃哂斜举|(zhì)上不同的微分結(jié)構(gòu)。米爾諾(John Milnor)首先發(fā)現(xiàn)作為一個拓?fù)淞餍?，七維球面上可有不同于標(biāo)準(zhǔn)微分結(jié)構(gòu)的怪異微分結(jié)構(gòu)。后來弗里德曼(Michael Freedman)等得出如下的重要結(jié)果:四維歐氏空間中也有多種微分結(jié)構(gòu)，這與其他維數(shù)的歐氏空間只有惟一的微分結(jié)構(gòu)有著重大區(qū)別。
微分流形_微分流形 -類別
可微映射
設(shè)φ是從C流形M到C流形N的連續(xù)映射,如果對于N上的任意Cr函數(shù)?,M上的函數(shù)?。φ總是Cr的,則稱φ是Cr可微映射，或簡稱Cr映射。如果φ是從M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，則稱φ為微分同胚，此時也稱M與N是微分同胚的微分流形。
映射的微分
公式
設(shè)φ是從M到N的C映射。對M上點(diǎn)p的切向量x可以如下地定義N在點(diǎn)φ(p)處的切向量x┡：
這個對應(yīng)x→x┡用dφP表示,稱為φ在點(diǎn)p處的微分。微分dφP是從切空間TP(M)到
(N)的線性映射,有時也稱為φ在切空間的誘導(dǎo)映射, 常用φ*P或φ*表示。利用對偶性，φ也自然地誘導(dǎo)了從余切空間
到T壩的線性映射，常記為(dφP)或φ壩或φ。由張量積運(yùn)算，φ還可以誘導(dǎo)對應(yīng)點(diǎn)之間某些張量空間之間的線性映射。
子流形
設(shè)M和N是兩個C流形，φ：M→N是C映射。如果微分dφP在M的每一點(diǎn)都是單射,則稱φ是浸入，而φ(M)稱為N的浸入子流形。如果浸入φ還是單射,則稱為嵌入，此時φ(M)稱為N的嵌入子流形。
微分流形_微分流形 -張量場
微分流形上可以定義可微函數(shù)、切向量、切向量場、各種張量場等對象并建立其上的分析學(xué)，并可以賦予更復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)以研究它們的性質(zhì)。
光滑函數(shù)
流形M上的實(shí)數(shù)值連續(xù)函數(shù)f:M →R是一個光滑函數(shù)，如果對每一個相容的坐標(biāo)卡ρ：U→M, f(ρ):U→R是一個U上的光滑函數(shù)。因?yàn)樽鴺?biāo)卡之間的坐標(biāo)變換是光滑映射，這是一個良好的定義。特別的，光滑函數(shù)可以看成一種0階張量場。
向量場
條件
設(shè)p∈M,M在點(diǎn)p處的一個切向量是指從F（M）到R的一個線性映射x，使得對于任意的?，g∈F(M)，滿足：
對于在p點(diǎn)的切向量x1,x2和實(shí)數(shù)λ1,λ2,定義λ1x1+λ2x2如下： 那么,點(diǎn)p處的切向量全體構(gòu)成一個n維的實(shí)線性空間TP，TP稱為在p處M的切空間或切向量空間(也記為TP(M))。如果（x，x，…，x）為點(diǎn)p處
的局部坐標(biāo)系，則由
定義的n個獨(dú)立的切向量，構(gòu)成TP的一組基，稱為自然標(biāo)架（或坐標(biāo)標(biāo)架）。M的切向量全體構(gòu)成以M為底空間的向量叢（見纖維叢），稱為M的切向量叢，簡稱切叢。M的切叢的一個截面稱為M上的一個向量場。在局部坐標(biāo)系中，向量場可表成
的形式，式中ξ(x)是坐標(biāo)(x)的C函數(shù)。
TP的對偶空間稱為M在點(diǎn)p處的余切空間，記為T壩。T壩中的元素稱為余切向量,也稱協(xié)變向量。M的余切向量全體構(gòu)成M的余切向量叢，簡稱余切叢，它的截面稱為M上的一次微分形式。 “1=2”
一般張量場
由切空間和余切空間通過張量積的運(yùn)算可以得到M在點(diǎn)p處的各種(r,s)型張量,M的(r,s)型的張量全體構(gòu)成張量叢，它的截面就是M上的一個(r,s)型張量場（見多重線性代數(shù)、張量）。
微分流形_微分流形 -微分形式
公式
公式
在微分流形上還可以定義外微分形式(見外微分形式)。p次外微分形式(2)是一些微分的外積的線性組合，這些微分的外積是反對稱的,即是p階反對稱協(xié)變張量,
M上p次外微分形式的全體構(gòu)成一個實(shí)數(shù)域上的無限維向量空間E。對外微分形式可以進(jìn)行加法運(yùn)算(同次外微分形式可以相加),外積運(yùn)算(p次外微分形式與q次外微分形式的外積是一個(p+q)次外微分形式)，還可以進(jìn)行外微分運(yùn)算及積分運(yùn)算。在局部坐標(biāo)下，外微分運(yùn)算為
公式
(3) 設(shè)ω∈E且dω =0,則稱ω為閉形式。M上p次閉形式的全體構(gòu)成E的一個子空間記為Z。設(shè)ω∈E,且ω=dσ(σ∈E，則稱ω為正合形式。正合形式一定是閉形式。M上p次正合形式的全體也構(gòu)成E的一個子空間記為B，B
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