愛(ài)華網(wǎng)在數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)（也叫做圓函數(shù)）是角的函數(shù)；它們?cè)谘芯咳切魏徒Ｖ芷诂F(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個(gè)角的直角三角形的兩個(gè)邊的比率，也可以等價(jià)的定義為單位圓上的各種線段的長(zhǎng)度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無(wú)窮級(jí)數(shù)或特定微分方程的解，允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。常見(jiàn)的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測(cè)繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過(guò)幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。
三角函數(shù)_三角函數(shù) -概述
三角函數(shù)： 正弦, 余弦, 正切, 正割, 余割, 余切三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要的應(yīng)用，在物理學(xué)中也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。
三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。
它有六種基本函數(shù)(初等基本表示)：
函數(shù)名分別是：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割
三角函數(shù)_三角函數(shù) -基本函數(shù)
函數(shù) 簡(jiǎn)寫 關(guān)系正弦 Sine sin余弦 Cosine cos正切 Tangent tan(或tg)余切cotangent cot(或 ctg、ctn)正割secantsec余割cosecant csc(或 cosec)三角函數(shù)_三角函數(shù) -少用函數(shù)
除六個(gè)基本函數(shù)，歷史上還有下面六個(gè)函數(shù): 函數(shù) 關(guān)系正矢余矢
半正矢
半余矢
外正割
外余割
三角函數(shù)_三角函數(shù) -歷史
隨著認(rèn)識(shí)到相似三角形在它們的邊之間保持相同的比率，就有了在三角形的邊的長(zhǎng)度和三角形的角之間應(yīng)當(dāng)有某種標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)應(yīng)的想法。就是說(shuō)對(duì)于任何相似三角形，（比如）斜邊和剩下的兩個(gè)邊的比率都是相同的。如果斜邊變?yōu)閮杀堕L(zhǎng)，其他邊也要變?yōu)閮杀堕L(zhǎng)。三角函數(shù)表達(dá)的就是這些比率。
研究三角函數(shù)的有尼西亞的喜帕恰斯（公元前180-125年）、埃及的托勒密（公元90-180年）、Aryabhata（公元476-550年），Varahamihira、婆羅摩笈多、花拉子密、Abū al-Wafā' al-Būzjānī、歐瑪爾?海亞姆、婆什迦羅第二、Nasir al-Din al-Tusi、Ghiyath al-Kashi（14世紀(jì)）、Ulugh Beg（14世紀(jì)）、約翰?繆勒（1464）、Rheticus和 Rheticus 的學(xué)生 Valentin Otho。
Madhava of Sangamagramma（約1400）以無(wú)窮級(jí)數(shù)的方式做了三角函數(shù)的分析的早期研究。歐拉的《無(wú)窮微量解析入門》(Introductio in Analysin Infinitorum)（1748）對(duì)建立三角函數(shù)在歐洲的分析處理做了最主要的貢獻(xiàn)，他定義三角函數(shù)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡(jiǎn)寫 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。
三角函數(shù)_三角函數(shù) -直角三角定義
坐標(biāo)系直角三角形中
在直角三角形中僅有銳角三角函數(shù)的定義。
1.一個(gè)銳角的正弦是它的對(duì)邊與斜邊的比值。在圖中，sinA = 對(duì)邊/斜邊 = a/h。
2.一個(gè)銳角的余弦是它的鄰邊與斜邊的比值。在圖中，cosA= 鄰邊/斜邊 = b/h。
3.一個(gè)銳角的正切是它的對(duì)邊與鄰邊的比值。在圖中，tanA = 對(duì)邊/鄰邊 = a/b。
直角坐標(biāo)系中設(shè)α是平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)象限角，
函數(shù)是角的終邊上一點(diǎn)，
函數(shù)是P到原點(diǎn)O的距離，則α的六個(gè)三角函數(shù)定義為：
函數(shù)名定義函數(shù)名定義正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
三角函數(shù)_三角函數(shù) -單位圓定義
單位圓
六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點(diǎn)的單位圓來(lái)定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒(méi)有大的價(jià)值；實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖像，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是:
。圖像中給出了用弧度度量的一些常見(jiàn)的角。逆時(shí)針?lè)较虻亩攘渴钦?，而順時(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的線，同 x 軸正半部分得到一個(gè)角 θ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的 x 和 y 坐標(biāo)分別等于 cos θ 和 sin θ。圖像中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過(guò)改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等于 1的一種查看無(wú)限個(gè)三角形的方式。對(duì)于大于 2π 或小于 ?2π 的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為 2π的周期函數(shù):對(duì)于任何角度 θ 和任何整數(shù)k。
周期函數(shù)的最小正周期叫做這個(gè)函數(shù)的“基本周期”(primitive period)。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圓，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的，其他四個(gè)三角函數(shù)可以定義為:
在正切函數(shù)的圖像中，在角 kπ 附近變化緩慢，而在接近角 (k 1/2)π 的時(shí)候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在 θ = (k 1/2)π 有垂直漸近線。這是因?yàn)樵?θ 從左側(cè)接進(jìn) (k 1/2)π 的時(shí)候函數(shù)接近正無(wú)窮，而從右側(cè)接近 (k 1/2)π 的時(shí)候函數(shù)接近負(fù)無(wú)窮。另一方面，所有基本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為 O 的單位圓來(lái)定義，類似于歷史上使用的幾何定義。特別是，對(duì)于這個(gè)圓的弦 AB，這里的 θ 是對(duì)向角的一半，sin(θ) 是 AC (半弦)，這是印度的 Aryabhata(AD 476
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