愛華網(wǎng)第8章MATLAB數(shù)值積分與微分
8.1 數(shù)值積分
8.2 數(shù)值微分
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8.1 數(shù)值積分
8.1.1 數(shù)值積分基本原理
求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡(jiǎn)單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。
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8.1.2 數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法
1．變步長(zhǎng)辛普生法
基于變步長(zhǎng)辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。
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例8-1求定積分。
(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =
0.9008
n =
77
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2．牛頓－柯特斯法
基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。
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例8-2 求定積分。
(1) 被積函數(shù)文件fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2)調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。
I=quad8('fx',0,pi)
I =
2.4674
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例8-3分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。
調(diào)用函數(shù)quad求定積分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254766
n =
65
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調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254754
n =
33
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3．被積函數(shù)由一個(gè)表格定義
在MATLAB中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。
例8-4用trapz函數(shù)計(jì)算定積分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X);%生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量
trapz(X,Y)
ans =
0.28579682416393
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8.1.3 二重定積分的數(shù)值求解
使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。
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例8-5 計(jì)算二重定積分
(1) 建立一個(gè)函數(shù)文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;%ki用于統(tǒng)計(jì)被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 調(diào)用dblquad函數(shù)求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =
1.57449318974494
ki =
1038
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8.2 數(shù)值微分
8.2.1 數(shù)值差分與差商
8.2.2 數(shù)值微分的實(shí)現(xiàn)
在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：
DX=diff(X)：計(jì)算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。
DX=diff(X,n)：計(jì)算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。
DX=diff(A,n,dim)：計(jì)算矩陣A的n階差分，dim=1時(shí)(缺省狀態(tài))，按列計(jì)算差分；dim=2，按行計(jì)算差分。
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例8-6生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]為基礎(chǔ)的范得蒙矩陣，按列進(jìn)行差分運(yùn)算。
命令如下：
V=vander(1:6)
DV=diff(V)%計(jì)算V的一階差分
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例8-7用不同的方法求函數(shù)f(x)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，并在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出f'(x)的圖像。
程序如下：
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');
g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');
x=-3:0.01:3;
p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多項(xiàng)式p擬合f(x)
dp=polyder(p);%對(duì)擬合多項(xiàng)式p求導(dǎo)數(shù)dp
dpx=polyval(dp,x);%求dp在假設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%直接對(duì)f(x)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)
gx=g(x);%求函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)g在假設(shè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');%作圖
