愛華網最近我在網上看了梁燦彬教授的微分幾何與廣義相對論視頻講座，感覺不錯就順便買了本教材，前幾天正好把前面的微分幾何學完了。盡管他主要是對物理系的學生講的，像單位分解之類的大定理都沒有證明，但很多地方還是頗有心得，下面我就簡單小結一下。
書中比較注重微分幾何理論與經典分析理論之間聯(lián)系，即作者所說的“天地連通”。先是對dx做了微分形式的解釋，避免了很多無聊的哲學爭論，然后用微分形式的積分定義流形上函數(shù)的積分，這就對經典積分做了全新的解釋，還把經典的積分公式推廣為Stokestheory與Gausslaw，特別對沿邊界積分做了一個沿切向分量的細致解釋。最讓人欣慰還是用微分幾何的語言重述R^3中的場論，如何借助對偶與*算子解釋了R^3中為什么沒有出現(xiàn)微分形式，比如矢量的叉積其實就是先作用Hodge*再作用外積：×=∧·*，最后用外微分做了刻畫grad、curl與div，借助于Poincarelemma可以輕松的證明了“無旋場必可表梯度”、“無散場必可表旋度”。
既然講述微分幾何，對張量語言想必是非常關注的。作者先給出了一個“張量面面觀”，清楚的解釋了張量作為函數(shù)、作為向量空間之間的映射與對偶空間之間的映射這三種觀點的轉化與聯(lián)系，避免了只把張量當成滿足相應關系的一堆數(shù)初級見解。在此觀點的影響下，作者特別討論的張量的抽象指標記法，借助此記法給出了幾個常用運算關系，這對后面的計算化簡是非常有幫助的。
作者特別討論了Christoffelsymbol是不是張量的問題。很多書中是直接通過坐標基協(xié)變導數(shù)的展開系數(shù)來引入Christoffelsymbol，然后發(fā)現(xiàn)它不滿足張量變換律，就說它不是一個張量，有些書為了防止慣性思維還要特強調一下。但作者卻是先討論了協(xié)變導數(shù)差的局部不變性，給出一個一般的張量C，然后把其中一個協(xié)變導數(shù)取為普通導數(shù)，得到的Christoffelsymbol也就自然成為張量了。這里說它是張量是先取定一個坐標系，然后它在此坐標系下的分量表現(xiàn)對其他坐標系滿足張量法則，如果沒有取定坐標系籠統(tǒng)的看，它自然是不成為張量的。因此我們在說Christoffelsymbol是張量的時候，最好要加一句它是依賴于坐標系的張量。
順便談一下關于坐標系的問題，書中著重討論了坐標系主動觀點與被動觀點的一致性，也就是說點之間的主動變換可以通過拉回等價于坐標系之間的變換。在Lorenz坐標系中，所謂的偽轉動（boost）本質上就是狹義相對論中Lorenz變換，其歐式空間的類比則是轉動對應著正交變換。
既然是為相對論準備的微分幾何，那么似乎更側重于一般的pseudo-Riemann space，其中有一些在普通的Riemanngeometry見不到的怪異性質。一般Riemann manifold中的度量到了pseudo-Riemannmanifold中稱為度規(guī)，它可正可負也可以對非零向量取零，由此得到相應的類空、類時與類光向量。對于某個空間的超曲面而言，其類光向量（nullvector）作為法向量是可以位于切平面之內的，而類光超曲面上是沒有誘導度規(guī)的。最大的挑戰(zhàn)還在于測地線的最短性，這里主要不是指Riemanngeometry中因為越過共軛點而造成對整體最短性的破壞，而是由更本質的線元可負導致結果。事實上，對于類時測地線而言，它恰恰就是（局部）最長的，利用這一點可以輕松的解釋相對論中的雙生子詳謬。
有些人可能會覺得微分幾何部分太簡略了，但視頻中講到這只是后面講相對論中最必要的，其他的部分可以在講到相關理論的時候隨時補充。目前我剛看完尺縮鐘慢、雙生子效應，用幾何語言能夠輕松的搞定，感覺還是非常令人興奮的，等以后有了心得再文章哈~
聽講座的感覺還真是不錯哦，請看博文：回歸課堂的感覺
