拓?fù)淇臻g

拓?fù)淇臻g是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以在上頭形式化地定義出如收斂、連通、連續(xù)等概念。拓?fù)淇臻g在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都有應(yīng)用，是一個(gè)居于中心地位的、統(tǒng)一性的概念。拓?fù)淇臻g有獨(dú)立研究的價(jià)值，研究拓?fù)淇臻g的數(shù)學(xué)分支稱為拓?fù)鋵W(xué)。

[編輯]定義

拓?fù)淇臻g是一個(gè)集合 X，和一個(gè) 包含 X 的子集族 τ，其滿足如下公理：

1. 空集和 X 都屬于 τ。
2.  τ 內(nèi)任意個(gè)集合的并集都仍然會(huì)屬于 τ。
3.  τ 內(nèi)任意兩個(gè)集合的交集也仍然會(huì)屬于 τ。

滿足上述公理的集族 τ 即稱為 X 的拓?fù)?/b>。X 內(nèi)的元素通常稱做“點(diǎn)”，但它們其實(shí)可以是任意的元素。里面的“點(diǎn)”為函數(shù)的拓?fù)淇臻g稱為“函數(shù)空間”。τ 內(nèi)的集合稱為開集，而其在 X 內(nèi)的補(bǔ)集則稱為閉集。一個(gè)集合可能是開放的、封閉的、非開非閉或亦開亦閉。

[編輯]例子

1. X = {1,2,3,4} 和 X 內(nèi)兩個(gè)子集組成的集族 τ = {∅, X} 會(huì)形成一個(gè)平庸拓?fù)洹?/li>
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內(nèi)六個(gè)子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會(huì)形成另一個(gè)拓?fù)洹?/li>
3. X = ℤ（整數(shù)集合）及集族 τ 等于所有的有限整數(shù)子集加上 ℤ 自身不是一個(gè)拓?fù)?，因?yàn)椋ɡ纾┧胁话愕挠邢藜系牟⒓菬o限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內(nèi)。

[編輯]拓?fù)渲g的關(guān)系

同一個(gè)空間可以擁有不同的拓?fù)?，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓?fù)渲g可以形成一種偏序關(guān)系。當(dāng)拓?fù)涞拿恳粋€(gè)開集都屬于拓?fù)鋾r(shí)，我們說拓?fù)浔韧負(fù)涓?b>細(xì)，或者說拓?fù)浔韧負(fù)涓?b>粗。

僅依賴于特定開集的存在而成立的結(jié)論，在更細(xì)的拓?fù)渖弦廊怀闪ⅲ活愃频模瑑H依賴于特定集合不是開集而成立的結(jié)論，在更粗的拓?fù)渖弦惨廊怀闪ⅰ?/p>

最粗的拓?fù)涫怯煽占腿瘍蓚€(gè)元素構(gòu)成的拓?fù)?，最?xì)的拓?fù)涫请x散拓?fù)?，這兩個(gè)拓?fù)涠际瞧接沟摹?/p>

在有些文獻(xiàn)中，我們也用大小或者強(qiáng)弱來表示這里粗細(xì)的概念。

[編輯]連續(xù)映射

拓?fù)淇臻g上的一個(gè)映射，如果它對(duì)于每個(gè)開集的原像都仍然是開集，那么我們稱這個(gè)映射是連續(xù)的。這個(gè)定義符合我們關(guān)于連續(xù)映射不會(huì)出現(xiàn)破碎或者分離的直觀印象。

同胚映射是一個(gè)連續(xù)的雙射，并且它的逆映射也連續(xù)。兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間存在同胚映射，則稱這兩個(gè)空間是同胚的。從拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)上來講，同胚的空間是等同的。

拓?fù)淇臻g作為對(duì)象，連續(xù)映射作為態(tài)射，構(gòu)成了拓?fù)淇臻g范疇，它是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)性的范疇。試圖通過不變量來對(duì)這個(gè)范疇進(jìn)行分類的想法，激發(fā)和產(chǎn)生了整個(gè)領(lǐng)域的研究工作，包括同倫論、同調(diào)論和K-理論。

[編輯]等價(jià)定義

雖然利用開集來定義拓?fù)淇臻g是最常見的定義方法，但我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^其他的多種方式來定義拓?fù)淇臻g。這些不同的定義方式都是等價(jià)的。這些不同的拓?fù)淇臻g的定義連同各自連續(xù)映射的定義，從范疇論的角度看，都定義了同一個(gè)范疇即拓?fù)淇臻g范疇。

[編輯]閉集

利用德·摩根律，和上面定義中關(guān)于開集的公理相對(duì)偶的，我們引入下述關(guān)于閉集的公理。

集合X上的子集族，它們滿足如下的公理：

集族中的元素稱為集合X上的閉集。我們也可以直接利用閉集來定義連續(xù)映射：映射f是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)，f對(duì)任何閉集的原像也是閉集。

[編輯]鄰域

我們考慮集合X上的一個(gè)映射，其中P(P(X))指集合X的冪集的冪集。我們假設(shè)將X中的點(diǎn)x映射為X的子集族，即有。

對(duì)任意的，如果上述的滿足如下公理：

那么，我們稱集族的元素為點(diǎn)x的鄰域，而集族(即點(diǎn)x的所有鄰域)稱為點(diǎn)x的鄰域系統(tǒng)。

可以直接利用鄰域來定義出映射在某一點(diǎn)連續(xù)：映射是在點(diǎn)x是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)y點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域V，都存在x點(diǎn)的一個(gè)鄰域U，使得。而連續(xù)映射即點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)的映射。

類似的，拓?fù)湟部梢酝ㄟ^點(diǎn)和集合間的接近關(guān)系來定義。

[編輯]閉包運(yùn)算

我們考慮集合X的冪集P(X)上的一元運(yùn)算。

稱為一個(gè)拓?fù)淇臻g，當(dāng)且僅當(dāng)，運(yùn)算c滿足下述的庫拉托夫斯基閉包公理：

運(yùn)算c被稱為閉包運(yùn)算，集合X上的閉集是閉包運(yùn)算的不動(dòng)點(diǎn)。

利用閉包運(yùn)算也可以定義連續(xù)映射：映射f是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意的集合A，成立。

[編輯]開核運(yùn)算

我們還可以建立和閉包運(yùn)算相對(duì)偶的開核運(yùn)算，然后通過開核運(yùn)算建立起拓?fù)淇臻g。我們考慮集合X的冪集P(X)上的一元運(yùn)算。運(yùn)算o滿足下述的開核公理：

運(yùn)算o被稱為開核運(yùn)算，集合X上的開集是開核運(yùn)算的不動(dòng)點(diǎn)。

和閉包運(yùn)算相對(duì)偶，利用開核運(yùn)算也可以定義連續(xù)映射：映射f是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意的集合A，成立。

[編輯]網(wǎng)

網(wǎng)的目的在推廣序列及極限，網(wǎng)的收性稱作Moore-Smith收斂。其關(guān)鍵在于以有向集合代替自然數(shù)集。

空間X上的一個(gè)網(wǎng)是從有向集合A映至X的映射。

若存在，使得對(duì)每個(gè)x的鄰域U都存在，使得，則稱網(wǎng)收斂至x。

幾乎所有點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的基本概念都能表述作網(wǎng)的收斂性，請(qǐng)參閱主條目網(wǎng)

[編輯]拓?fù)淇臻g的例子

[編輯]拓?fù)淇臻g的構(gòu)造

[編輯]拓?fù)淇臻g的分類

依據(jù)點(diǎn)和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等，拓?fù)淇臻g可以進(jìn)行各種各樣的分類。并且由于這些分類產(chǎn)生了許多不同的術(shù)語。

[編輯]分離性

詳細(xì)資料請(qǐng)參照分離公理。有些術(shù)語在老的文獻(xiàn)中采用了不同地定義方式，請(qǐng)參照分離公理的歷史

[編輯]可數(shù)性

第二可數(shù)空間總是可分的；第一可數(shù)空間總是林德勒夫的。

[編輯]連通性

[編輯]緊性

一個(gè)空間是緊的，當(dāng)且僅當(dāng)任何開覆蓋都有有限的子覆蓋，詳細(xì)資料請(qǐng)參照緊集。

[編輯]可度量化

可度量性意味著可賦予空間一個(gè)度量，使之給出該空間的拓?fù)?。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個(gè)第二可數(shù)的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導(dǎo)出任何第二可數(shù)的流形皆可度量化。

[編輯]擁有代數(shù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g

對(duì)于任一類代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們都可以考慮其上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并要求相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算是連續(xù)映射。例如，一個(gè)拓?fù)淙?i>G乃是一個(gè)拓?fù)淇臻g配上連續(xù)映射（群乘法）及（逆元素），使之具備群結(jié)構(gòu)。

同樣地，可定義拓?fù)涫噶靠臻g為一個(gè)賦有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的矢量空間，使得加法與純量乘法是連續(xù)映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓?fù)洵h(huán)、拓?fù)溆虻鹊取?/p>

結(jié)合拓?fù)渑c代數(shù)結(jié)構(gòu)，往往可以引出相當(dāng)豐富而實(shí)用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何中，人們也常定義適當(dāng)?shù)耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)以簡化理論，并得到較簡明的陳述；如數(shù)論中的局部域（一種拓?fù)溆颍?，伽羅瓦理論中考慮的Krull拓?fù)洌ㄒ环N特別的拓?fù)淙海约岸x形式概形所不可少的I-進(jìn)拓?fù)洌ㄒ环N拓?fù)洵h(huán)）等等。

[編輯]擁有序結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g

拓?fù)淇臻g也可能擁有自然的序結(jié)構(gòu)，例子包括：

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