愛華網(wǎng)下面，我以三角函數(shù)為例來說明如何運(yùn)用“徹底理解+ 把握規(guī)律”的方法來記憶數(shù)量巨大而且非常復(fù)雜的理科公式。
怎樣一個(gè)小時(shí)記住中學(xué)所有三角函數(shù)公式？（三角函數(shù)的記憶規(guī)律）
所謂徹底理解，就是能夠從最簡單的概念推出最復(fù)雜的結(jié)論。所以當(dāng)我們覺得某個(gè)知識很難理解的時(shí)候，首先應(yīng)該想到的就是，這個(gè)知識背后那些最簡單的概念我們有沒有真正弄清楚。
所以，我們要把三角函數(shù)徹底搞清楚，記下來并且活學(xué)活用，首先就要問：三角函數(shù)最簡單的概念是什么？
顯然，就是sin、cos、tg、ctg這四個(gè)概念。這是三角函數(shù)的基本元素?？上в泻芏嗳藢W(xué)了很長時(shí)間的三角函數(shù)，這四個(gè)符號倒是認(rèn)識了，卻沒有能夠真正理解它們的內(nèi)涵。所謂三角函數(shù)，簡單來說，就是直角三角形的幾條邊的比例關(guān)系。假設(shè)有直角△ABC，∠ C=90°，對應(yīng)斜邊c，∠ A 和∠ B 分別對應(yīng)直角邊a 和b。
那么，sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a。實(shí)際上，這四個(gè)函數(shù)就是為了把直角三角形的比例線段簡單化，為了避免每次都要寫一大堆線段的比例式，而發(fā)明出來的。sinA就代表∠A 所對的直角邊與斜邊的比例，cosA 就代表∠ A 的鄰邊與斜邊的比例，tgA 就代表∠ A 的對邊與鄰邊的比例，ctgA就代表∠A 的鄰邊與對邊的比例。
把這些最簡單的概念弄清楚了，有很多基礎(chǔ)的三角函數(shù)公式就不用記了。比如sin2A+cos2A=1，tgA ctgA=1，cosAtgA= sinA，sinA ctgA= cosA。因?yàn)檫@些全都是直接從這個(gè)基本概念推出來的，比如cosAtgA=sinA，sinActgA= cosA 這兩個(gè)公式顛來倒去的，很容易把tgA 和ctgA記混淆，一不小心就會記成sinAtgA=cosA 或
者cosAct--gA= sinA。但是，只要我們知道這四個(gè)基本概念，就知道
永遠(yuǎn)都不會記混淆。所以說真正高效的記憶是在徹底理解的基礎(chǔ)上記憶，徹底理解了之后，過個(gè)十年八年都忘不掉，更不可能說什么聽完課就忘、看完書就忘、過一天就忘了等等。
到了高中，三角函數(shù)最大的變化其實(shí)不是公式變得更多了，而是基礎(chǔ)概念擴(kuò)大了。也就是三角函數(shù)的取值范圍從初中的0 到90度，變成了任意角，也就是從負(fù)無窮到正無窮。但是sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a這四個(gè)基本概念還是沒有變。學(xué)好高中的三角函數(shù)，最根本的還是在這四個(gè)基本概念的基礎(chǔ)上，再認(rèn)真理解“單位圓”的概念。把這個(gè)單位圓弄清楚了之后，整個(gè)高中的三角函數(shù)公式就迎刃而解，不管它怎么變來變?nèi)ザ继硬怀鑫覀兊氖终菩摹?/p>
“標(biāo)準(zhǔn)圓”就是在坐標(biāo)軸上以O(shè) 點(diǎn)為圓心，以1 為直徑的圓。從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)做一條到X 軸的垂線，這條垂線與X軸還有這個(gè)點(diǎn)到圓心的連線，正好組成一個(gè)直角三角形。如圖所示，在直角坐標(biāo)系上的四個(gè)象限的單位圓上任取一點(diǎn)P（x，y），做PMMO，則
這里的PO=1，PM=y，所以sinO的值就是PM 的長度，也就是P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)值y。同理，
這里和初中惟一不同的地方是，初中學(xué)習(xí)的是0到90 度，所有的值都是非負(fù)數(shù)，而這里不僅有線段的長度，還有向量值，也就是x 和y 可能是負(fù)數(shù)。在第二象限，y 是正數(shù)，而x是負(fù)數(shù)，所以在這個(gè)象限里sinO 是正數(shù)，而cosO 是負(fù)數(shù)；在第三象限，x和y 都是負(fù)數(shù)，所以sinO 和cosO都是正數(shù)；在第四象限，y 是
負(fù)數(shù)，x 是正數(shù)，所以sinO 是負(fù)數(shù)，而cosO 是正數(shù)。
把這個(gè)道理徹底梳理清楚之后，高中三角函數(shù)的所有角度變化公式就全部都不用記憶了。什么sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ你就想到是角度沿著X 軸對折過來了，從第一象限跑到第四象限了，再看第四象限對應(yīng)的y 肯定是負(fù)數(shù)，所以sin(-θ)=-sinθ，而x值還是正數(shù)，所以cos(-θ)=cosθ。有了這個(gè)東西，剩下那些千變?nèi)f化的什么，sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ，sin(θ-3π/2)=-cosθ,cos(θ+π)=-cosθ……反正加上一個(gè)角度，就是PO往逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，減去一個(gè)角度，就是PO 往順時(shí)針方向轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到哪個(gè)象限，符號是正
是負(fù)馬上就知道了。這樣后面三角函數(shù)的周期性也順帶著完全弄明白了。
然后就是三角函數(shù)和與差的公式，這個(gè)也是從單位圓出來的，無非就是單位圓上兩個(gè)點(diǎn)的距離而已。這個(gè)推導(dǎo)課本上都有，看起來推導(dǎo)過程比較長，但只要自己動手在草稿紙上畫一下，整個(gè)過程就一目了然了。三角函數(shù)和與差的公式很復(fù)雜，不僅有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，還有tg（α+β）和ctg（α+β）的公式。這些公式顛來倒去的，死記硬背足以把人背出數(shù)學(xué)恐懼癥。如果我們不用“徹底理解+把握規(guī)律”的方法來記憶，永遠(yuǎn)也別想學(xué)好三角函數(shù)。
其實(shí)，我們只需要記住sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ這一個(gè)公式就行了，剩下的全都可以根據(jù)我們的基本概念想出來。因?yàn)槲覀円呀?jīng)把標(biāo)準(zhǔn)圓記在腦子里面了，無論什么角度變化，只要大腦里面好像出現(xiàn)一個(gè)鬧鐘一樣：加上一個(gè)角，指針就逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；減去一個(gè)角，指針就順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。有了這個(gè)東西，怎么變都不會糊涂。
所以，sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)，這里多了個(gè)符號，是減，所以要把指針向順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)到第四象限，y 是負(fù)數(shù)，x 是正數(shù)，sin值變成負(fù)，cos 值還是正值， 所以
sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)= sinαcosβ-cosαsinβ。這就出來了，不管是符號還是sin 和cos 的順序，都絕不會記錯(cuò)。
同理， c o s （ α + β ） = - s i n （ α + β + π / 2 ）=-sinαcos(β+π/2)- cosαsin(β+π/2)，這里是加上π/2，指針要逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，sin要變成cos，根據(jù)我們的單位圓，我們又可以得出
cos（ α+β）的公式了。同樣，cos（ α-β）= cos［α+（-β）］，我們又可以很容易地知道
cos（ α-β）的公式了。至于tg（ α+β），tg（α-β），ctg（α+β），ctg（α-β），
我們只要知道最基礎(chǔ)的四個(gè)概念：sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a，就足夠了。
tg（α+β）= sin（α+β）/ cos（α+β），tg（α-β）= sin（α-β）/ cos（α-β）……
以此類推，看起來無比復(fù)雜的兩角和與差的公式就很清楚地排列在腦海里面，而且過很長很長的時(shí)間，也不會記錯(cuò)一個(gè)符號，不會記錯(cuò)一個(gè)順序。這樣的記憶效果，又豈是任何一種投機(jī)取巧的方法所能夠比擬的？！
至于三角函數(shù)的二倍角公式，那就更簡單了。既然已經(jīng)知道sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，那么sin2α=sin（α+α）=sinαcosα+ cosαsinα=2 sinαcosα。后面的cos2α、tg2α、ctg2α公式也就可以繼續(xù)按照單位圓概念及這四個(gè)基本概念輕而易舉地就想出來了，根本不需要刻意地去記憶它們。所以說來說去，整個(gè)初中高中的三角函數(shù)那么復(fù)雜，其實(shí)記住兩個(gè)東西就行了：第一，sinA=a/c,cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，單位圓的圖形變化。
實(shí)際上，有誰記不住嗎？任何人都記得住這兩個(gè)東西，但是，為什么那么多人把初高中的三角函數(shù)學(xué)視為畏途呢？很多人就是在復(fù)雜的公式中轉(zhuǎn)暈了頭，而忘記了那些最基本的概念和知識之間最基本的聯(lián)系。所以，如果我們在學(xué)習(xí)一個(gè)看似很復(fù)雜的知識時(shí)覺得頭痛，我們記憶一些看似很復(fù)雜的公式時(shí)覺得背完就忘，那么，請立即回到最基礎(chǔ)的地方，去理解和尋找規(guī)律吧。這才是高效記憶的惟一法門。
“正確的學(xué)習(xí)方法，可以把普通人變成天才；錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)方法，可以把天才變成白癡?！庇涀∥疫@句話。
