1.數(shù)據(jù)存儲(chǔ)

float的指數(shù)位有8位，而double的指數(shù)位有11位，分布如下:

float:

double:

在數(shù)學(xué)中，特別是在計(jì)算機(jī)相關(guān)的數(shù)字(浮點(diǎn)數(shù))問(wèn)題的表述中，有一個(gè)基本表達(dá)法:

valueoffloating-point= significandx base^exponent,withsign
即:數(shù)值 = 尾數(shù) ×底數(shù)^指數(shù),(附加正負(fù)號(hào))

其實(shí)不論是float還是double在存儲(chǔ)方式上都是遵從IEEE的規(guī)范的，float遵從的是IEEER32.24,而double遵從的是R64.53。R32. 24和R64.53的存儲(chǔ)方式都是用科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的。

指數(shù)部分的存儲(chǔ)采用移位存儲(chǔ)，存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)為元數(shù)據(jù)+127，下面就看看8.25和120.5在內(nèi)存中真正的存儲(chǔ)方式。

8.25用十進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法表示就為:8.25*10^0,而120.5可以表示為:1.205*10^2。而在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)中，首先要將上面的數(shù)更改為二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，8.25用二進(jìn)制表示可表示為1000.01，120.5用二進(jìn)制表示為:1110110.1用二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法表示1000.01可以表示為1.0001*2^3,1110110.1可以表示為1.1101101*2^6。

首先看下8.25，二進(jìn)制:1.0001*2^3

按照上面的存儲(chǔ)方式，符號(hào)位為:0，表示為正，指數(shù)位為:3+127=130,位數(shù)部分為,故8.25的存儲(chǔ)方式如下圖所示:

而單精度浮點(diǎn)數(shù)120.5的存儲(chǔ)方式如下圖所示:

對(duì)于一個(gè)小數(shù)其默認(rèn)類型為double型，如果需要指定為float型，需要在小數(shù)后面添加F或f后綴。

如floata=0.5f;

2.范圍

范圍主要是來(lái)討論最大最小值。

float和double的范圍是由指數(shù)的位數(shù)來(lái)決定的。對(duì)于指數(shù)部分，因?yàn)橹笖?shù)可正可負(fù)，8位的指數(shù)位能表示的指數(shù)范圍就應(yīng)該為:-127~+128了。

即float的指數(shù)范圍為-127 ~+128(+-2^7)，

而double的指數(shù)范圍為-1023 ~ +1024 (+-2^10)，

并且指數(shù)位是按補(bǔ)碼的形式來(lái)劃分的。

其中負(fù)指數(shù)決定了浮點(diǎn)數(shù)所能表達(dá)的絕對(duì)值最小的非零數(shù)；而正指數(shù)決定了浮點(diǎn)數(shù)所能表達(dá)的絕對(duì)值最大的數(shù)，也即決定了浮點(diǎn)數(shù)的取值范圍。

float的范圍為-2^128 ~+2^128 也即-3.40E+38~+3.40E+38；

double的范圍為-2^1024~+2^1024，也即-1.79E+308~+1.79E+308。

其他特殊表示

111111111尾數(shù)的23位不全為0:表示不是數(shù)值
11111111100000000000000000000000:表示負(fù)無(wú)窮大.比最小負(fù)數(shù)還小的數(shù)都視為負(fù)無(wú)窮大.
11111111011111111111111111111111:表示最小的負(fù)數(shù),即-2^128=-3.4*10^38
10000000100000000000000000000000:表示最大的負(fù)數(shù),即-2^(-126)=-1.18*10^(-38)
00000000000000000000000000000000:表示0
00000000100000000000000000000000:表示最小的正數(shù),即2^(-126)=1.18*10^(-38)
01111111011111111111111111111111:表示最大的正數(shù),即2^(128)=3.4*10^(38)
01111111100000000000000000000000:表示正無(wú)窮大,比最大正數(shù)還大的數(shù)都視為正無(wú)窮大.
011111111尾數(shù)的23位不全為0:表示不是數(shù)值

當(dāng)指數(shù)部分和小數(shù)部分全為0時(shí),表示0值,有+0和-0之分(符號(hào)位決定),0x00000000表示正0,0x80000000表示負(fù)0.
指數(shù)部分全1,小數(shù)部分全0時(shí),表示無(wú)窮大,有正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮,0x7f800000表示正無(wú)窮,0xff800000表示負(fù)無(wú)窮.

故，float型數(shù)據(jù)的表示范圍包括:
負(fù)無(wú)窮大;-3.4*10^38<x<-1.175*10^(-38);0;1.175*10^(-38)<x<3.4*10^38;正無(wú)窮大.

3.精度

精度主要是來(lái)討論數(shù)據(jù)通過(guò)科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)后，小數(shù)點(diǎn)后數(shù)據(jù)位數(shù)。

float和double的精度是由尾數(shù)的位數(shù)來(lái)決定的。任何一個(gè)數(shù)的科學(xué)計(jì)數(shù)法表示都為1.xxx*2^n,尾數(shù)部分就可以表示為xxxx，第一位都是1，可以將小數(shù)點(diǎn)前面的1省略，故不能對(duì)精度造成影響。

那么對(duì)于尾數(shù)

float:2^23=8388608，一共七位，這意味著最多能有7位有效數(shù)字，但絕對(duì)能保證的為6位，也即float的精度為6~7位有效數(shù)字；

double:2^52=4503599627370496，一共16位，同理，double的精度為15~16位。

或，

log(2^23)=6.xx,取整即6；

log(2^53)=15.95,取整即15；
log(2^65)=19.57,取整即19。

4.問(wèn)題

inti=Int32.MaxValue;

floatf=i;

intj=(int)f;

boolb=i==j;

這里的b，是false。剛才這個(gè)操作，如果我們把float換成long，第一次進(jìn)行隱式轉(zhuǎn)換，第二次進(jìn)行強(qiáng)制轉(zhuǎn)換，結(jié)果將會(huì)是true。乍一看，float.MaxValue是比int.MaxValue大了不知道多少倍的，然而這個(gè)隱式轉(zhuǎn)換中，卻造成了數(shù)據(jù)丟失。int.MaxValue，這個(gè)值等于2^31-1，寫成二進(jìn)制補(bǔ)碼形式就是01111…(31個(gè)1)，這個(gè)數(shù)，在表示成float計(jì)數(shù)的科學(xué)計(jì)數(shù)法的時(shí)候，將會(huì)寫成+0.1111…(23個(gè)1)*2^31，對(duì)于那31個(gè)1，里面的最后8個(gè)，被float拋棄了，因此，再將這個(gè)float強(qiáng)制轉(zhuǎn)換回int的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的int的二進(jìn)制補(bǔ)碼表示已經(jīng)變成了0111…(23個(gè)1)00000000，這個(gè)數(shù)與最初的那個(gè)int相差了255，所以造成了不相等。

那么提出另一個(gè)問(wèn)題，什么樣的int變成float再變回來(lái)，和從前的值相等呢？這個(gè)問(wèn)題其實(shí)完全出在那23位float的數(shù)據(jù)位上了。對(duì)于一個(gè)int，把它寫成二進(jìn)制形式之后，成為了個(gè)一32個(gè)長(zhǎng)度的0、1的排列，對(duì)于這個(gè)排列，只要第一個(gè)1與最后一個(gè)1之前的間距，不超過(guò)23，那么它轉(zhuǎn)換成float再轉(zhuǎn)換回來(lái)，兩個(gè)值就會(huì)相等。這個(gè)問(wèn)題是與大小無(wú)關(guān)的，而且這個(gè)集合在int這個(gè)全集下并不連續(xù)。

floatf=2.2f;

doubled=(double)f;

Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

f=2.25f;

d=(double)f;

Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能輸出的結(jié)果讓大家疑惑不解，單精度的2.2轉(zhuǎn)換為雙精度后，精確到小數(shù)點(diǎn)后13位后變?yōu)榱?.2000000476837，而單精度的2.25轉(zhuǎn)換為雙精度后，變?yōu)榱?.2500000000000，為何2.2在轉(zhuǎn)換后的數(shù)值更改了而2.25卻沒有更改呢？首先我們看看2.25的單精度存儲(chǔ)方式，01000000100100000000000000000000，而2.25的雙精度表示為:0100000000010010000000000000000000000000000000000000000000000000，這樣2.25在進(jìn)行強(qiáng)制轉(zhuǎn)換的時(shí)候，數(shù)值是不會(huì)變的，而我們?cè)倏纯?.2呢，2.2用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示應(yīng)該為:將十進(jìn)制的小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的小數(shù)的方法為將小數(shù)*2，取整數(shù)部分，所以0.282=0.4，所以二進(jìn)制小數(shù)第一位為0.4的整數(shù)部分0，0.4×2=0.8，第二位為0,0.8*2=1.6,第三位為1，0.6×2=1.2，第四位為1，0.2*2=0.4，第五位為0，這樣永遠(yuǎn)也不可能乘到=1.0，得到的二進(jìn)制是一個(gè)無(wú)限循環(huán)的排列00110011001100110011...,對(duì)于單精度數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，尾數(shù)只能表示24bit的精度，所以2.2的float存儲(chǔ)為

但是這樣存儲(chǔ)方式，換算成十進(jìn)制的值，卻不會(huì)是2.2的，應(yīng)為十進(jìn)制在轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的時(shí)候可能會(huì)不準(zhǔn)確，如2.2，而double類型的數(shù)據(jù)也存在同樣的問(wèn)題，所以在浮點(diǎn)數(shù)表示中會(huì)產(chǎn)生些許的誤差，在單精度轉(zhuǎn)換為雙精度的時(shí)候，也會(huì)存在誤差的問(wèn)題，對(duì)于能夠用二進(jìn)制表示的十進(jìn)制數(shù)據(jù)，如2.25，這個(gè)誤差就會(huì)不存在，所以會(huì)出現(xiàn)上面比較奇怪的輸出結(jié)果。

類似地，

doubled=0.6;

floatf=(float)d;

doubled2=f;

boolb=d==d2;

這里的b，也是false。由于float保存23位，而double保存52位，就造成了double轉(zhuǎn)化成float的時(shí)候，丟失掉了一定的數(shù)據(jù)，非再轉(zhuǎn)換回去的時(shí)候，那些丟掉的值被補(bǔ)成了0，因此這個(gè)后來(lái)的double和從前的double值已經(jīng)不再一樣了。

那么什么樣的十進(jìn)制小數(shù)，表示成二進(jìn)制不是無(wú)限小數(shù)呢？對(duì)于所有的最后一位以5結(jié)尾的十進(jìn)制有限小數(shù)，都可以化成二進(jìn)制的有限小數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)與十進(jìn)制之間的互相轉(zhuǎn)換體現(xiàn)在存在內(nèi)存里的數(shù)明顯實(shí)際與0.6不等，但是無(wú)論哪種語(yǔ)言，都能夠在Debug以及輸入的時(shí)候，將它正確的顯示成0.6提供給用戶(程序員)，最好的例子就是double和ToString方法，如果我寫doubled=0.59999999999999999999999999999，d.ToString()給我的是0.6。

最后，一個(gè)有意思有問(wèn)題，剛才說(shuō)過(guò)0.6表示成為二進(jìn)制小數(shù)之后，是0.1001并且以1001為循環(huán)節(jié)的無(wú)限循環(huán)小數(shù)，那么在我們將它存成浮點(diǎn)數(shù)的時(shí)候，一定會(huì)在某個(gè)位置將它截?cái)?比如float的23位和double的52位)，那么真正存在內(nèi)存里的這個(gè)二進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)化回十進(jìn)制，到底是比原先的十進(jìn)制數(shù)大呢，還是小呢？答案是Itdepends。人計(jì)算十進(jìn)制的時(shí)候，是四舍五入，計(jì)算機(jī)再計(jì)算二進(jìn)制小數(shù)也挺簡(jiǎn)單，就是0舍1入。對(duì)于float，要截?cái)喑蔀?3位，假如卡在24位上的是1，那么就會(huì)造成進(jìn)位，這樣的話，存起來(lái)的值就比真正的十進(jìn)制值大了，如果是0，就舍去，那么存起來(lái)的值就比真正的十進(jìn)制值小了。因此，這可以合理的解釋一個(gè)問(wèn)題，就是0.6d轉(zhuǎn)換成float再轉(zhuǎn)換回double，它的值是0.60000002384185791，這個(gè)值是比0.6大的，原因就是0.6的二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，第24位是1，造成了進(jìn)位。

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