愛(ài)華網(wǎng)一、概念精髓
1、概念精髓：積分變微分
對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，積分難于上青天，微分三下五除二。
微分算子法正是將積分的難轉(zhuǎn)化為微分的易。
這也正是引入微分算子法的最大最好的理由依據(jù)
2、概念 正誤分辨
說(shuō)明
D是微分，1/D 是積分。
在其前的都是因式，其后的都是待微分或積分的
分辨
x(1/D)ex =(1/D)xex =ex(1/D)x ? 錯(cuò)，因?yàn)轫樞虿灰粯樱?/b>
待積分的項(xiàng)也不一樣，分別為ex，xex，x
sinxD(ex) =exD(sinx)?錯(cuò)，因?yàn)榇⒎值捻?xiàng)分別為ex,sinx
總之，在有微分算子的式子中不要以為就像普通的因式相乘一樣可以前后交換因式。
但是，它以算子為分界，只分前后兩部分，如xexsinx(1/D)x3cos4x前面的因式中
xexsinx是可交換的相乘，后面的待微積分的x3cos4x也可交換(是因式)。
二、方法 單純項(xiàng)
這是基礎(chǔ)，要牢記
若f(x)含常數(shù)系數(shù)，直接保留不變。這適合所有算子公式。
1、f(x)=ekx(純冪函數(shù))直接代入系數(shù)
如y”+2y’+3y=4e5x→y*=(1/D2+2D+3)4e5x=(1/(25+10+3))4e5x
=4/38e5x=2/19e5x
2、f(x)=v(x)=a0xm+a1xm-1+…am-1x+am(純多項(xiàng)式)用長(zhǎng)除法
如y”+2y’+3y=4x2+5x+6→y*=(1/D2+2D+3)4x2+5x+6
長(zhǎng)除法就是僅對(duì)1/(D2+2D+3)的除法用小學(xué)的除法計(jì)算式來(lái)算。
限于文本方式無(wú)法直觀示出。本例中先以1除以3得商1/3，要減的乘積
為1+2/3D+1/3D2，余數(shù)為-2/3D-1/3D2。再除以3得商-2/9D，要減的乘積
為-2/3D-4/9D2-2/9D3，余數(shù)為1/9D2。此時(shí)3次方項(xiàng)不必再寫出，因?yàn)?/b>此
多項(xiàng)式的最高次為2。再除以3得商1/27D2，至此計(jì)算結(jié)束，
即1/(D2+2D+3)=1/3-2/9D+1/27D2。
∴y*=(1/3-2/9D+1/27D2)4x2+5x+6(上面是積分，現(xiàn)已變?yōu)槲⒎?
=(4/3x2+5/3x+6/3)+(-2/9*8x-2/9*5)+(1/27*8)
=4/3x2-1/9x+32/27
這算是一個(gè)較復(fù)雜的例子，但若用待定系數(shù)法應(yīng)該會(huì)更復(fù)雜。
例y”+2y’=6→ y*=(1/D2+2D)6=1/D(1/D+2)6 =1/D(1/2)6=3x
本例說(shuō)明①分母可提D的因式時(shí)要先提出來(lái)(不提也能正確計(jì)算，
只是算時(shí)略繁)，算時(shí)作積分。②f(x)只是常數(shù)時(shí)只要一步除法，
不用出現(xiàn)D，如本例1/D+2的商為1/2。
例y”+2y’=6x→ y*=(1/D2+2D)6x=1/D(1/D+2)6x =1/D(1/2-D/4)6x
=(1/2D – 1/4)6x=3x2/2 - 3x/2
本例說(shuō)明先提D的因式(是積分式)，后項(xiàng)長(zhǎng)除法得出商，再兩個(gè)
乘回去以化簡(jiǎn)，可以減少微分積分次數(shù)。
3、f(x)=sinax或cosax
三、方法 組合項(xiàng)
1、f(x)=ekxv(x)
2、f(x)=ekxsinax或ekxcosax
3、f(x)=xsinax或xcosax
4、f(x)=xekxsinax或xekxcosax
愛(ài)華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/25101016/315215.html
