一個(gè)問(wèn)題如果其解存在、唯一并且連續(xù)的依賴于數(shù)據(jù)，就稱該問(wèn)題是適定的(well-posed)，否則稱為不適定的(ill-posed)。不適定問(wèn)題通常是由一組線性代數(shù)方程定義的，而且這組方程組通常來(lái)源于有著很大的條件數(shù)的不適定反問(wèn)題，大條件數(shù)意味著舍入誤差或其它誤差會(huì)嚴(yán)重地影響問(wèn)題的結(jié)果。

一個(gè)不適定問(wèn)題通常是病態(tài)的，并且不論是簡(jiǎn)單地還是復(fù)雜地改變問(wèn)題本身的形式都不會(huì)顯著地改善病態(tài)問(wèn)題。另一方面，病態(tài)問(wèn)題不一定是不適定的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)改變問(wèn)題的形式往往可以改善病態(tài)問(wèn)題。

在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上，我們通常不可能對(duì)不適定問(wèn)題進(jìn)行求解并得到準(zhǔn)確解答。

然而通過(guò)使用先驗(yàn)知識(shí)，我們通常有希望能夠得到一個(gè)接近準(zhǔn)確解答的答案！

求解不適定問(wèn)題的普遍方法是:

用一族與原不適定問(wèn)題相“鄰近”的適定問(wèn)題的解去逼近原問(wèn)題的解,這種方法稱為正則化方法。

（從而，如何構(gòu)造“鄰近問(wèn)題”而獲得所謂的正則算子和正則解，如何控制與原問(wèn)題的“鄰近程度”而決定與原始資料的誤差水平相匹配的正則參數(shù)）。也把求數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的穩(wěn)定近似解的方法稱為正則化方法(regularization)。

如何建立有效的正則化方法是反問(wèn)題領(lǐng)域中不適定問(wèn)題研究的重要內(nèi)容。通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov正則化、各種迭代方法以及其它的一些改進(jìn)方法,這些方法都是求解不適定問(wèn)題的有效方法,在各類反問(wèn)題的研究中被廣泛采用,并得到深入研究。（百度百科）

反問(wèn)題的研究與不適定問(wèn)題的研究是密切相關(guān)的。基于實(shí)際問(wèn)題的推動(dòng)，20世紀(jì)60年代中期，前蘇聯(lián)院士Tikhonov提出了處理不適定問(wèn)題的正則化方法，從此反問(wèn)題和不適定問(wèn)題的研究進(jìn)入了新的階段。

一種較為有效的數(shù)值方法就是在求解過(guò)程中結(jié)合某些解的已知信息對(duì)解進(jìn)行限制，當(dāng)將解的2-范數(shù)最小作為附加條件加入到原問(wèn)題中，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

λ為正則化參數(shù)，控制著殘差的范數(shù)與附加條件之間的權(quán)重，λ的選擇是否恰當(dāng)在正則化問(wèn)題中起著非常重要的作用。

當(dāng)L=I時(shí)，為最基本的Tikhonov正則化，這時(shí)得到的是最小能量（長(zhǎng)度）解估計(jì)；

當(dāng)L為平緩度矩陣時(shí)，得到的是最光滑解估計(jì)。（適用于離散的模型參數(shù)）；

當(dāng)L為粗糙度矩陣，在一階導(dǎo)數(shù)離散化的基礎(chǔ)上再做差值，得到的是最平滑解估計(jì)。
簡(jiǎn)單寫(xiě)兩句，還是有空多看看書(shū)吧！《反問(wèn)題的數(shù)值解法》、《反演問(wèn)題的計(jì)算方法及其應(yīng)用》……

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