發(fā)布時(shí)間：2022年04月15日 05:54:40分享人:肆意的青春來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)23
注：數(shù)學(xué)本非我專業(yè)，以下說(shuō)法歡迎糾錯(cuò)1.傅里葉變換的定義傅里葉變換從數(shù)學(xué)上的定義，為F(w)=int(x*exp(-jwt),t=-inf...inf)其中，int表示積分，t是時(shí)間，x是時(shí)域信號(hào)，inf表示無(wú)窮，exp表示指數(shù)運(yùn)算。其含義說(shuō)的是給一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)域信號(hào)和一個(gè)頻點(diǎn)w，可以唯一確定一個(gè)復(fù)數(shù)F。于是，F(xiàn)和w就有了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，考慮到F是個(gè)復(fù)數(shù)。F的絕對(duì)值和w關(guān)系叫幅頻，F(xiàn)的幅角和w關(guān)系叫相頻。2.matlab的fft命令helpfft可以知道這個(gè)和數(shù)學(xué)上的傅里葉不一樣，因?yàn)橛?jì)算機(jī)是離散的！因?yàn)橛?jì)算機(jī)的時(shí)域信號(hào)存儲(chǔ)量是有限的！比如等時(shí)采樣得到的信號(hào)，高頻分量是不可能獲得的，對(duì)于比較大的w將無(wú)法計(jì)算。于是，fft這樣計(jì)算傅里葉變換：把時(shí)域信號(hào)進(jìn)行周期延拓，取一組w，就是時(shí)域信號(hào)的周期及該周期的二分之一，三分之一，直到n分之一，其中n是一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)。這樣做的結(jié)果，就是對(duì)一段有限長(zhǎng)的時(shí)域信號(hào)，將其長(zhǎng)度作為基頻率，分析基頻和高頻含量。當(dāng)然，能分析到的最高頻為n次諧波，再高次諧波由于香農(nóng)定理而無(wú)法體現(xiàn)。3.寫(xiě)一個(gè)數(shù)學(xué)定義傅里葉變換的程序
將有限長(zhǎng)時(shí)域信號(hào)不延拓，時(shí)域信號(hào)外的時(shí)間內(nèi)，認(rèn)為信號(hào)為零。于是獲得無(wú)限長(zhǎng)時(shí)域信號(hào)，取頻點(diǎn)若干，分析其傅里葉變換?？紤]到matlab對(duì)于由描點(diǎn)法定義的函數(shù)，數(shù)值積分時(shí)常用的方法有：矩形法，梯形法。一下代碼采用梯形法，算例如下：
clearclc%% 輸入信號(hào)t=0:1e-3:20;%時(shí)域信號(hào)的時(shí)間范圍x=sin(t)+sin(1.5*t+1)+5*cos(0.5*t)+2*randn(size(t));%時(shí)域信號(hào)xw=[0:1e-2:2];%想要觀察的頻率范圍%% 預(yù)定義y=w;a=w;j=sqrt(-1);%先定義變量維度，提高運(yùn)算速度%% 計(jì)算頻點(diǎn)for i=1:length(w) f=trapz(t,x.*exp(-j*w(i)*t)); y(i)=abs(f); a(i)=angle(f);end%% 輸出subplot(3,1,1),plot(t,x)subplot(3,1,2),plot(w,y)subplot(3,1,3),plot(w,a)
算例中的時(shí)域信號(hào)，里有三個(gè)正余弦分量，一個(gè)干擾分量。等時(shí)采樣，并認(rèn)為采樣頻率足夠高，即得到的信號(hào)是連續(xù)信號(hào)。
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