牛頓、萊布尼茨和微積分

微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。
從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō)，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類(lèi)型的問(wèn)題：第一類(lèi)是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類(lèi)問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類(lèi)問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類(lèi)問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。
十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類(lèi)問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。
十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題(積分學(xué)的中心問(wèn)題)。
1605年5月20日，在牛頓手寫(xiě)的一面文件中開(kāi)始有“流數(shù)術(shù)”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫(xiě)于1665-1676年間，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微積分是一對(duì)互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來(lái)著名的牛頓-萊而尼茨公式。
牛頓是那個(gè)時(shí)代的科學(xué)巨人。在他之前，已有了許多積累：哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，哥白尼創(chuàng)立日心說(shuō)，伽利略出版《力學(xué)對(duì)話》，開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律--航海的需要，礦山的開(kāi)發(fā)，火松制造提出了一系列的力學(xué)和數(shù)學(xué)的問(wèn)題，微積分在這樣的條件下誕生是必然的。
牛頓于1642年出生于一個(gè)貧窮的農(nóng)民家庭，艱苦的成長(zhǎng)環(huán)境造就了人類(lèi)歷史上的一位偉大的科學(xué)天才，他對(duì)物理問(wèn)題的洞察力和他用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力，都是空前卓越的。盡管取得無(wú)數(shù)成就，他仍保持謙遜的美德。
如果說(shuō)牛頓從力學(xué)導(dǎo)致“流數(shù)術(shù)”，那萊布尼茨則是從幾何學(xué)上考察切線問(wèn)題得出微分法。他的第一篇論文刊登于1684年的《都市期刊》上，這比牛頓公開(kāi)發(fā)表微積分著作早3年，這篇文章給一階微分以明確的定義。
萊布尼茨1646年生于萊比錫。15歲進(jìn)入萊比錫大學(xué)攻讀法律，勤奮地學(xué)習(xí)各門(mén)科學(xué)，不到20歲就熟練地掌握了一般課本上的數(shù)學(xué)、哲學(xué)、神學(xué)和法學(xué)知識(shí)。萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)有超人的直覺(jué)，并且對(duì)于設(shè)計(jì)符號(hào)很第三。他的微積分符號(hào)“dx"和”∫”已被證明是很發(fā)用的。
牛頓和萊布尼茨總結(jié)了前人的工作，經(jīng)過(guò)各自獨(dú)立的研究，掌握了微分法和積分法，并洞悉了二者之間的聯(lián)系。因而將他們兩人并列為微積分的創(chuàng)始人是完全正確的，盡管牛頓的研究比萊布尼茨早10年，但論文的發(fā)表要晚3年，由于彼此都是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，曾經(jīng)長(zhǎng)期爭(zhēng)論誰(shuí)是最早的發(fā)明者就毫無(wú)意義。牛頓和萊尼茨的晚年就是在這場(chǎng)不幸的爭(zhēng)論中度過(guò)的。
牛頓的“流數(shù)術(shù)”
數(shù)學(xué)史的另一次飛躍就是研究“形”的變化。17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固、充實(shí)和擴(kuò)大，而且由于實(shí)踐的需要，開(kāi)始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴(lài)關(guān)系。到了17世紀(jì)下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國(guó)大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克?牛頓（1642~1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論，即牛頓稱(chēng)之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮極數(shù)》。這些概念是力不概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動(dòng)存在于空間，依賴(lài)于時(shí)間，因而他把時(shí)間作為自變量，把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形――線、角、體，都看作力學(xué)位移的結(jié)果。因而，一切變量都是流量。
牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類(lèi)問(wèn)題。
（1）已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系，這相當(dāng)于微分學(xué)。
（2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。這相當(dāng)于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。
（3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計(jì)算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和曲率，求曲線長(zhǎng)度及計(jì)算曲邊形面積等。
牛頓已完全清楚上述（1）與（2）兩類(lèi)問(wèn)題中運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。
牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標(biāo)志。
萊布尼茨使微積分更加簡(jiǎn)潔和準(zhǔn)確
而德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz1646~1716）則是從幾何方面獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過(guò)，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過(guò)研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則的。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣?shì)^萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。
萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像印度――阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。
牛頓當(dāng)時(shí)采用的微分和積分符號(hào)現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號(hào)現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到，好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門(mén)學(xué)科早期也稱(chēng)為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱(chēng)的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。
牛頓在1671年寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程(積分法)。
德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類(lèi)型的計(jì)算》。就是這樣一片說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。
微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。
前面已經(jīng)提到，一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。
不幸的事，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰(shuí)是這門(mén)學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見(jiàn)，過(guò)于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。
其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開(kāi)發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見(jiàn)，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。
應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問(wèn)題上，其說(shuō)不一，十分含糊。牛頓的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說(shuō)。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。
直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái)。
任何新興的、具有無(wú)量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國(guó)的拉格朗日、……
歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問(wèn)題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。
留給后人的思考
從始創(chuàng)微積分的時(shí)間說(shuō)牛頓比萊布尼茨大約早10年，但從正式公開(kāi)發(fā)表的時(shí)間說(shuō)牛頓卻比萊布尼茨要晚。牛頓系統(tǒng)論述“流數(shù)術(shù)”的重要著作《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮極數(shù)》是1671年寫(xiě)成的，但因1676年倫敦大火殃及印刷廠，致使該書(shū)1736年才發(fā)表，這比萊布尼茨的論文要晚半個(gè)世紀(jì)。另外也有書(shū)中記載：牛頓于1687年7月，用拉丁文發(fā)表了他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，在此文中提出了微積分的思想。他用“0”表示無(wú)限小增量，求出瞬時(shí)變化率，后來(lái)他把變量X稱(chēng)為流量，X的瞬時(shí)變化率稱(chēng)為流數(shù)，整個(gè)微積分學(xué)稱(chēng)為“流數(shù)學(xué)”，事實(shí)上，他們二人是各自獨(dú)立地建立了微積分。最后還應(yīng)當(dāng)指出的是，牛頓的“流數(shù)術(shù)”，在概念上是不夠清晰的，理論上也不夠嚴(yán)密，在運(yùn)算步驟中具有神秘的色彩，還沒(méi)有形成無(wú)窮小及極限概念。牛頓和萊布尼茨的特殊功績(jī)?cè)谟冢麄冋驹诟叩慕嵌?，分析和綜合了前人的工作，將前人解決各種具體問(wèn)題的特殊技巧，統(tǒng)一為兩類(lèi)普通的算法――微分與積分，并發(fā)現(xiàn)了微分和積分互為逆運(yùn)算，建立了所謂的微積分基本定理（現(xiàn)今稱(chēng)為牛頓――萊布尼茨公式），從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，并為其深入發(fā)展和廣泛應(yīng)用鋪平了道路。由于受當(dāng)時(shí)歷史條件的限制，牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎(chǔ)還不十分牢靠，有些概念比較模糊，因此引發(fā)了長(zhǎng)期關(guān)于微積分的邏輯基礎(chǔ)的爭(zhēng)論和探討。經(jīng)過(guò)18、19世紀(jì)一大批數(shù)學(xué)家的努力，特別是在法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點(diǎn)定義了微積分的基本概念，并簡(jiǎn)潔而嚴(yán)格地證定理即牛頓―萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個(gè)基本嚴(yán)格的完整體系。
不幸的是牛頓和萊布尼茨各自創(chuàng)立了微積分之后，歷史上發(fā)生了優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論，從而使數(shù)學(xué)家分為兩派，歐洲大陸數(shù)學(xué)家兩派，歐洲大陸的數(shù)學(xué)家，尤其是瑞士數(shù)學(xué)家雅科布?貝努利（1654~1705）和約翰?貝努利（1667~1748）兄弟支持萊布尼茨，而英國(guó)數(shù)學(xué)家捍衛(wèi)牛頓，兩派爭(zhēng)吵激烈，甚至尖銳到互相敵對(duì)、嘲笑。牛頓死后，經(jīng)過(guò)調(diào)查核實(shí)，事實(shí)上，他們各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分。這件事的結(jié)果致使英國(guó)和歐洲大陸的數(shù)學(xué)家停止了思想交流，使英國(guó)人在數(shù)學(xué)上落后了一百多年，因?yàn)榕ｎD在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中使用的是幾何方法，英國(guó)人差不多在一百多年中照舊使用幾何工具，而大陸的數(shù)學(xué)家繼續(xù)使用萊布尼茨的分析方法，并使微積分更加完善，在這100年中英國(guó)甚至連大陸通用的微積分都不認(rèn)識(shí)。雖然如此，科學(xué)家對(duì)待科學(xué)謹(jǐn)慎和刻苦的精神還是值得我們學(xué)習(xí)的。
萊布尼茲
萊布尼茲(1646-1716)
萊布尼茲是17、18世紀(jì)之交德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才。他博覽群書(shū)，涉獵百科，對(duì)豐富人類(lèi)的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。　
生平事跡
萊布尼茲出生于德國(guó)東部萊比錫的一個(gè)書(shū)香之家，廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學(xué)者的著作，由此而獲得了堅(jiān)實(shí)的文化功底和明確的學(xué)術(shù)目標(biāo)。15歲時(shí)，他進(jìn)了萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，還廣泛閱讀了培根、開(kāi)普勒、伽利略、等人的著作，并對(duì)他們的著述進(jìn)行深入的思考和評(píng)價(jià)。在聽(tīng)了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興————趣。17歲時(shí)他在耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)了短時(shí)期的數(shù)學(xué)，并獲得了哲學(xué)碩士學(xué)位。
20歲時(shí)他發(fā)表了第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計(jì)算的結(jié)果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學(xué)才華。
萊布尼茲在阿爾特道夫大學(xué)獲得博士學(xué)位后便投身外交界。在出訪巴黎時(shí)，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學(xué)，并研究了笛卡兒、費(fèi)爾馬、帕斯卡等人的著作。他的興趣已明顯地朝向了數(shù)學(xué)和自然科學(xué)，開(kāi)始了對(duì)無(wú)窮小算法的研究，獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學(xué)。1700年被選為巴黎科學(xué)院院士，促成建立了柏林科學(xué)院并任首任院長(zhǎng)。
始創(chuàng)微積分　　
17世紀(jì)下半葉，歐洲科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會(huì)各方面的迫切需要，經(jīng)各國(guó)科學(xué)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應(yīng)運(yùn)而生了。微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計(jì)算面積和體積的方法。1665年牛頓創(chuàng)始了微積分，萊布尼茲在1673-1676年間也發(fā)表了微積分思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是分別加以研究的?？ㄍ吡欣?、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導(dǎo)數(shù)）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的，不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來(lái)，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算。而這是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)。并從對(duì)各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號(hào)表明了微積分基本示的微積分運(yùn)算法則。
然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，數(shù)學(xué)上曾掀起了一場(chǎng)激烈的爭(zhēng)論。實(shí)際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓。萊布尼茲在1684年10月發(fā)表的《教師學(xué)報(bào)》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類(lèi)型的計(jì)算”，在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。牛頓在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版也寫(xiě)道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類(lèi)似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫(xiě)道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒(méi)有什么不同，除了他的措詞和符號(hào)而外?！币虼耍髞?lái)人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茲是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。萊布尼茲認(rèn)識(shí)到好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用的符號(hào)系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，∫表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號(hào)進(jìn)一步促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。
1713年，萊布尼茲發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說(shuō)明了自己成就的獨(dú)立性。
萊布尼茲在數(shù)學(xué)方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。他的一系列重要數(shù)學(xué)理論的提出，為后來(lái)的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)?！　∪R布尼茲曾討論過(guò)負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)的結(jié)論。在后來(lái)的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確的。他還對(duì)線性方程組進(jìn)行研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號(hào)邏輯學(xué)的基本概念，發(fā)明了能夠進(jìn)行加、減、乘、除及開(kāi)方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)和二進(jìn)制，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
豐碩的物理學(xué)成果
萊布尼茲的物理學(xué)成就也是非凡的。他發(fā)表了《物理學(xué)新假說(shuō)》，提出了具體運(yùn)動(dòng)原理和抽象運(yùn)動(dòng)原理，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止?fàn)顟B(tài)的物體的部分一起運(yùn)動(dòng)。他還對(duì)笛卡兒提出的動(dòng)量守恒原理進(jìn)行了認(rèn)真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯(cuò)誤的簡(jiǎn)短證明”，提出了運(yùn)動(dòng)的量的問(wèn)題，證明了動(dòng)量不能作為運(yùn)動(dòng)的度量單位，并引入動(dòng)能概念，第一次認(rèn)為動(dòng)能守恒是一個(gè)普通的物理原理。他又充分地證明了“永動(dòng)機(jī)是不可能”的觀點(diǎn)。他也反對(duì)牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，認(rèn)為“沒(méi)有物質(zhì)也就沒(méi)有空見(jiàn)，空間本身不是絕對(duì)的實(shí)在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的區(qū)別一樣，可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”。在光學(xué)方面，萊布尼茲也有所建樹(shù)，他利用微積分中的求極值方法，推導(dǎo)出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學(xué)基本定律。可以說(shuō)萊布尼茲的物理學(xué)研究一直是朝著為物理學(xué)建立一個(gè)類(lèi)似歐氏幾何的公理系統(tǒng)的目標(biāo)前進(jìn)的。
發(fā)明乘法計(jì)算機(jī)
德國(guó)人萊布尼茲發(fā)明了乘法計(jì)算機(jī)，他受中國(guó)易經(jīng)八卦的影響最早提出二進(jìn)制運(yùn)算法則。萊布尼茲對(duì)帕斯卡的加法機(jī)很感興趣。于是，萊布尼茲也開(kāi)始了對(duì)計(jì)算機(jī)的研究。1672年1月，萊布尼茲搞出了一個(gè)木制的機(jī)器模型，向英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員們做了演示。但這個(gè)模型只能說(shuō)明原理，不能正常運(yùn)行。
1674年，最后定型的那臺(tái)機(jī)器，就是由奧利韋一人裝配而成的。萊布尼茲的這臺(tái)乘法機(jī)長(zhǎng)約1米，寬30厘米，高25厘米。它由不動(dòng)的計(jì)數(shù)器和可動(dòng)的定位機(jī)構(gòu)兩部分組成。整個(gè)機(jī)器由一套齒輪系統(tǒng)來(lái)傳動(dòng)，它的重要部件是階梯形軸，便于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的乘除運(yùn)算。萊布尼茲設(shè)計(jì)的樣機(jī)，先后在巴黎、倫敦展出。由于他在計(jì)算設(shè)備上的出色成就，被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。
中西文化交流之倡導(dǎo)者　　
萊布尼茲對(duì)中國(guó)的科學(xué)、文化和哲學(xué)思想十分關(guān)注，是最早研究中國(guó)文化和中國(guó)哲學(xué)的德國(guó)人。他向耶酥會(huì)來(lái)華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關(guān)中國(guó)的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學(xué)文字等等，并將這些資料編輯成冊(cè)出版。他認(rèn)為中西相互之間應(yīng)建立一種交流認(rèn)識(shí)的新型關(guān)系。在《中國(guó)近況》一書(shū)的緒論中，萊布尼茲寫(xiě)道：“全人類(lèi)最偉大的文化和最發(fā)達(dá)的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國(guó)?！薄爸袊?guó)這一文明古國(guó)與歐洲相比，面積相當(dāng)，但人口數(shù)量則已超過(guò)?！薄霸谌粘Ｉ钜约敖?jīng)驗(yàn)地應(yīng)付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過(guò)相互交流使對(duì)方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時(shí)間哲學(xué)，即在生活與人類(lèi)實(shí)際方面的倫理以及治國(guó)學(xué)說(shuō)方面，我們實(shí)在是相形見(jiàn)拙了?！痹谶@里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學(xué)精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍(lán)圖，極力推動(dòng)這種交流向縱深發(fā)展，是東西方人民相互學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同繁榮進(jìn)步。萊布尼茲為促進(jìn)中西文化交流做出了畢生的努力，產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響。
由于萊布尼茨在牛頓完成其前兩段工作之后曾訪問(wèn)巴黎（1672年）和倫敦（1673年），并且和了解牛頓微積分工作的科學(xué)家們通過(guò)信，因而被指責(zé)為“剽竊者”。這使他起而為自己的名譽(yù)辨護(hù)，因而使這場(chǎng)爭(zhēng)論達(dá)到了相當(dāng)激烈的地步。許多數(shù)學(xué)家都被牽扯了進(jìn)來(lái)，直到使歐洲數(shù)學(xué)家分成兩派，大陸的數(shù)學(xué)家們?yōu)槿R布尼茨辯護(hù)，英國(guó)的數(shù)學(xué)家們則捍衛(wèi)牛頓，以至長(zhǎng)期對(duì)立，形成學(xué)術(shù)上的門(mén)戶(hù)之見(jiàn)，達(dá)到雙方停止了學(xué)術(shù)思想交流的程度，影響了此后一段時(shí)間的數(shù)學(xué)進(jìn)展。在牛頓和萊布尼茨都已逝世之后進(jìn)行的調(diào)查表明：雖然牛頓的大部分工作是在萊布尼茨之前做的，但萊布尼茨也是微積分主要思想的獨(dú)立創(chuàng)立者，他們都同樣地接受了前輩數(shù)學(xué)家的啟發(fā)，同樣地作出了自己的獨(dú)立貢獻(xiàn)。在以前的科學(xué)史上我們已經(jīng)看到，在以后的科學(xué)史上我們還將一再地看到這種同一發(fā)現(xiàn)在大致相同的時(shí)間被完全不同甚至互不相識(shí)的人們獨(dú)立完成的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象的大量出現(xiàn)，最好不過(guò)地說(shuō)明：是科學(xué)的發(fā)展造就了杰出的科學(xué)家，而不是杰出科學(xué)家的個(gè)人天賦決定了科學(xué)的發(fā)展。

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